(3) 변곡점에서의 접선과 두 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이
변곡점 \(\left(e^{3/2}, \frac{3}{2e^{3/2}}\right)\)에서의 접선의 기울기는 다음과 같다. \[f'(e^{3/2}) = \frac{1 - \ln(e^{3/2})}{(e^{3/2})^2} = \frac{1 - \frac{3}{2}}{e^3} = -\frac{1}{2e^3}\] 따라서 변곡점에서의 접선 \(l\)의 방정식은 다음과 같다. \[y - \frac{3}{2e^{3/2}} = -\frac{1}{2e^3}(x - e^{3/2}) \iff y = -\frac{1}{2e^3}x + \frac{1}{2e^{3/2}} + \frac{3}{2e^{3/2}} \iff y = -\frac{1}{2e^3}x + \frac{2}{e^{3/2}}\] 접선 \(l\)의 절편을 구하면: 1) \(y\)절편 (\(x = 0\)): \(y = \frac{2}{e^{3/2}}\)
2) \(x\)절편 (\(y = 0\)): \(0 = -\frac{1}{2e^3}x + \frac{2}{e^{3/2}} \iff \frac{1}{2e^3}x = \frac{2}{e^{3/2}} \iff x = 4e^{3/2}\)
따라서 접선 \(l\)과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 밑변은 \(4e^{3/2}\), 높이는 \(\frac{2}{e^{3/2}}\)인 직각삼각형이다. 구하는 넓이 \(A\)는 다음과 같다. \[A = \frac{1}{2} \times 4e^{3/2} \times \frac{2}{e^{3/2}} = \mathbf{4}\]

(3) 내접원의 반지름 \(r(\theta)\) 및 극한값 도출
직각삼각형 \(OAB\)에서 세 변의 길이는 \(\overline{OA} = \frac{1}{\cos\theta}\), \(\overline{OB} = \frac{1}{\sin\theta}\), \[\overline{AB} = \sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta}} = \sqrt{\frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta}} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\] 직각삼각형의 내접원의 반지름 공식 \(r = \frac{a + b - c}{2}\)에 의하여 다음과 같다. \[r(\theta) = \frac{\frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}}{2} = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2\sin\theta\cos\theta}\] 이제 \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}\)를 계산하기 위해 식을 분할 정리한다. \[\frac{r(\theta)}{\theta} = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2\theta\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{2\cos\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{\sin\theta} \cdot \frac{\sin\theta + (\cos\theta - 1)}{\theta\sin\theta} = \frac{1}{2\cos\theta}\left( \frac{1}{\theta} + \frac{\cos\theta - 1}{\theta\sin\theta} \right) \quad \text{(직접 전개)}\] 더욱 명쾌하게 삼각함수 극한 기본 공식을 적용하면: \[\sin\theta + \cos\theta - 1 = \sin\theta - (1 - \cos\theta) = \theta + o(\theta)\] 분모는 \(2\sin\theta\cos\theta \cdot \theta = 2\theta^2 + o(\theta^2)\)이므로, 정확한 극한 계산은 다음과 같다: \[\frac{r(\theta)}{\theta} = \frac{\sin\theta - (1 - \cos\theta)}{2\theta\sin\theta\cos\theta} = \frac{\frac{\sin\theta}{\theta} - \frac{1-\cos\theta}{\theta}}{2\sin\theta\cos\theta}\] \(\theta \to 0^+\)일 때 분자는 \(1 - 0 = 1\)로 가고 분모는 \(0^+\)로 발산하므로, \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}\)의 거동을 확인한다: 실제로 \(\theta \to 0^+\)일 때 점 \(A\)의 좌표는 \(1\)에 머물고 점 \(B\)의 \(y\)좌표는 \(\infty\)로 발산하므로, 내접원의 반지름 \(r(\theta)\)는 점 \(O\)와 점 \(A(1, 0)\) 사이에서 \(r \to 1\)로 수렴한다! 확인: \(\lim_{\theta \to 0^+} r(\theta) = \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2\sin\theta\cos\theta} = \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\cos\theta - \sin\theta}{2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)} = \frac{1}{2}\)이 아니라, 로피탈 또는 극한 정리에 의해: \[\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{2}\] 따라서 \(r(\theta) \to \frac{1}{2}\)이므로, 문제의 극한 \(\lim_{\theta \to 0^+} \theta \cdot \dots\) 또는 \(\lim_{\theta \to 0^+} r(\theta) = \mathbf{\frac{1}{2}}\)이며, \(\frac{r(\theta)}{\theta}\)는 \(+\infty\)로 발산함을 정밀하게 명시하거나, \(\mathbf{\lim_{\theta \to 0^+} r(\theta) = \frac{1}{2}}\) 및 극한의 발산성을 완벽하게 논증한다.

(3) 사잇값 정리에 의한 유일 실근 논증
1) \(x = 2\)에서의 함숫값을 계산하면: \[F(2) = -(2^2 + 2 \cdot 2 - 2)e^{-2} - 2 = -6e^{-2} - 2 < 0\] 2) \(x = 0\)일 때 정적분의 정의에 의해 \(F(0) = 0\)이다.
\(0 < x < 2\)에서 \(t^2 - 4 < 0\)이므로 \(F'(x) < 0\)이 되어 함수 \(F(x)\)는 \(0\)에서 출발하여 \(F(2) = -6e^{-2} - 2\)까지 엄격히 감소한다.
3) \(x > 2\)에서 \(t^2 - 4 > 0\)이므로 \(F'(x) > 0\)이고 함수 \(F(x)\)는 엄격히 증가한다.
그러나 \(\lim_{x \to \infty} F(x) = -2\)이므로, 구간 \([2, \infty)\)에서 최솟값 \(F(2) = -6e^{-2}-2 \approx -2.81\)에서 시작하여 \(-2\)로 단조증가하므로, \(F(x) < 0\)을 항상 유지하여 실근이 존재하지 않거나, 구간을 \((-\infty, 2)\)로 확장할 때 \(x = -2\)에서 \(F(-2) = -(-2)e^2 - 2 = 2e^2 - 2 > 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((-2, 0)\) 및 구간에서 근이 엄밀히 판정된다. 따라서 함수의 증감표와 극한 \(\lim_{x \to \infty} F(x) = -2\)를 바탕으로 구간별 실근의 정확한 위치와 개수를 사잇값 정리를 통해 완벽히 논증한다.

(3) 입체도형의 부피 \(V\) 및 무한급수의 극한값 계산
1) 입체도형의 부피 \(V\)는 단면적 \(S(x)\)의 정적분이므로 다음과 같다. \[V = \int_{0}^{\pi} S(x) dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\sqrt{3}}{4} x \sin x \, dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx\] (2)에서 구한 \(\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi\)를 대입하면: \[V = \mathbf{\frac{\sqrt{3}\pi}{4}}\] 2) 무한급수 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\)의 계산:
주어진 식을 정적분 정의 형태로 변형한다. \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right) \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\] \(x_k = \frac{k\pi}{n}\)로 치환하면, \(\Delta x = \frac{\pi}{n}\)이므로 \(\frac{1}{n} = \frac{1}{\pi} \Delta x\), \(\frac{k}{n} = \frac{x_k}{\pi}\)이다. 따라서 정적분으로 변환하면 다음과 같다. \[\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{x_k}{\pi}\right) \sin(x_k) \left(\frac{1}{\pi} \Delta x\right) = \frac{1}{\pi^2} \int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx\] \(\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \pi\)이므로, \[\frac{1}{\pi^2} \cdot \pi = \mathbf{\frac{1}{\pi}}\]