$c_k = k^2 - 8k + 12 = (k - 2)(k - 6)$이다.
$1 \le k \le 10$인 자연수 $k$에 대하여:
① $c_k > 0$인 $k$의 집합: $\{1, 7, 8, 9, 10\}$ ($5$개)
② $c_k = 0$인 $k$의 집합: $\{2, 6\}$ ($2$개)
③ $c_k < 0$인 $k$의 집합: $\{3, 4, 5\}$ ($3$개)이다.

$n = k + 1$의 홀짝성과 $c_k$의 부호를 결합하여 $R(c_k, k+1)$을 구하면:
· $k=1$ ($n=2$ 짝수, $c_1=5>0$): $R = 2$
· $k=2$ ($n=3$ 홀수, $c_2=0$): $R = 1$
· $k=3$ ($n=4$ 짝수, $c_3=-3<0$): $R = 0$
· $k=4$ ($n=5$ 홀수, $c_4=-4<0$): $R = 1$
· $k=5$ ($n=6$ 짝수, $c_5=-3<0$): $R = 0$
· $k=6$ ($n=7$ 홀수, $c_6=0$): $R = 1$
· $k=7, 9$ ($n=8, 10$ 짝수, $c_k>0$): 각각 $R = 2$ (합 $4$)
· $k=8, 10$ ($n=9, 11$ 홀수, $c_k>0$): 각각 $R = 1$ (합 $2$)
따라서 $m = 2 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 + 2 = 11$이다.

$\log_2 N = m + \alpha = 11 + \alpha$이므로 $N = 2^{11 + \alpha} = 2^{11} \cdot 2^\alpha = 2048 \cdot \dfrac{5}{4} = 2560$이다.
이때 $N = 2^9 \cdot 5$이므로 $\log_{10} N = \log_{10}(2^9 \cdot 5) = 9\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = 9p + q$이다.

코사인법칙에 의하여 $a^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{4} = 36 + 16 - 12 = 40$이므로 $a = 2\sqrt{10}$이다.
$0 < A < \pi$에서 $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{1}{16}} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$이므로 사인법칙에 의하여
$2R = \dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{15}/4} = \dfrac{8\sqrt{6}}{3} \implies R = \dfrac{4\sqrt{6}}{3}$이다.

$\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/4}{2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{4}$이고, $\sin A = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$이다.
넓이 관계식 $\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle ACD$에서
$\dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \sin A = \dfrac{1}{2}(6 + 4)\overline{AD}\sin\dfrac{A}{2} \implies 24\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2} = 5\overline{AD}\sin\dfrac{A}{2}$이다.
따라서 $\overline{AD} = \dfrac{24}{5}\cos\dfrac{A}{2} = \dfrac{24}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{10}}{4} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}$이다.

원주각의 성질에 의하여 $\angle ABD = \angle AEC$이고 $\angle BAD = \angle EAC = \dfrac{A}{2}$이므로 $\triangle ABD \sim \triangle AEC$이다.
닮음비로부터 $\overline{AB} : \overline{AE} = \overline{AD} : \overline{AC} \implies \overline{AD} \cdot \overline{AE} = \overline{AB} \cdot \overline{AC} = 24$이다.
따라서 $\overline{AE} = \dfrac{24}{\overline{AD}} = \dfrac{24}{6\sqrt{10}/5} = 2\sqrt{10}$이고,
$\overline{DE} = \overline{AE} - \overline{AD} = 2\sqrt{10} - \dfrac{6\sqrt{10}}{5} = \dfrac{4\sqrt{10}}{5}$이다.

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3) = 0$에서 $x = -1, 3$이다.
$x = -1$에서 극댓값 $f(-1) = 16$을 갖고, $x = 3$에서 극솟값 $f(3) = -16$을 갖는다.
두 극점 $(-1, 16)$과 $(3, -16)$의 중점의 좌표는 $(1, 0)$이다.

접점 $(t, f(t))$에서의 접선이 점 $P(0, k)$를 지나므로
$k - (t^3 - 3t^2 - 9t + 11) = (3t^2 - 6t - 9)(0 - t) \iff k = -2t^3 + 3t^2 + 11$이다.
함수 $h(t) = -2t^3 + 3t^2 + 11$이라 하면 $h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$에서
$t = 0$일 때 극솟값 $h(0) = 11$, $t = 1$일 때 극댓값 $h(1) = 12$를 갖는다.
따라서 서로 다른 $3$개의 접선을 그을 조건($g(k) = 3$)은 $11 < k < 12$이다.

함수 $y = |f(x)|$는 $x = -1$과 $x = 3$에서 모두 극댓값 $16$을 갖고, $f(x) = 0$인 세 점에서 함숫값 $0$을 갖는다.
따라서 방정식 $|f(x)| = m$이 서로 다른 $6$개의 실근을 가질 조건은 $0 < m < 16$이다.
이를 만족시키는 자연수 $m$은 $1, 2, \dots, 15$로 총 $15$개이다.

포물선 $y = -x^2 + 6x = -x(x - 6)$과 $x$축의 교점은 $x = 0, 6$이다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이는 $S_0 = \int_0^6 (-x^2 + 6x)\,dx = \dfrac{1}{6}(6 - 0)^3 = 36$이다.

포물선 $y = -x^2 + 6x$와 직선 $y = kx$ ($0 < k < 6$)의 교점은 $-x^2 + 6x = kx \iff x(x - (6 - k)) = 0$에서 $x = 0, \; 6 - k$이다.
제시문 (가)에 의하여 둘러싸인 넓이는 $S(k) = \dfrac{1}{6}(6 - k)^3$이다.
직선 $y = kx$가 넓이 $S_0 = 36$을 이등분하므로 $S(k) = \dfrac{1}{2}S_0 = 18$이다.
따라서 $\dfrac{1}{6}(6 - k)^3 = 18 \implies (6 - k)^3 = 108$이다.

삼각형 $OAP$의 밑변 $\overline{OA} = 6$이고 높이는 점 $P$의 $y$좌표인 $-t^2 + 6t$ ($0 < t < 6$)이다.
따라서 삼각형 $OAP$의 넓이는 $T(t) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot (-t^2 + 6t) = -3(t - 3)^2 + 27$이다.
$t = 3$일 때 최댓값 $M = 27$을 가지므로 $\dfrac{M}{S_0} = \dfrac{27}{36} = \dfrac{3}{4}$이다.