양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이다.) [총 25점]

(1) 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)와 이계도함수 \(f''(x)\)를 각각 구하고, 곡선 \(y = f(x)\)의 극값 및 변곡점의 좌표를 모두 구하시오. [7점]

(2) 좌표평면의 원점 \((0, 0)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 그은 접선의 방정식을 구하고, 그 접점의 좌표를 명시하시오. [8점]

(3) 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점에서의 접선을 \(l\)이라 하자. 접선 \(l\)과 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오. [10점]

원점 \(O\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(1\)인 단위원 \(C: x^2 + y^2 = 1\)이 있다. 제1사분면 위에 있는 원 위의 점 \(P(\cos\theta, \sin\theta)\) \(\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\)에서의 접선 \(l\)이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 두 점 \(A, B\)의 좌표를 각각 \(\theta\)에 대한 삼각함수 식으로 나타내시오. [7점]

(2) 직각삼각형 \(OAB\)의 넓이를 \(S(\theta)\)라 할 때, \(S(\theta)\)를 \(\theta\)에 대한 식으로 나타내고, \(S(\theta)\)의 최솟값과 그때의 \(\theta\)의 값을 구하시오. [8점]

(3) 삼각형 \(OAB\)에 내접하는 원의 반지름의 길이를 \(r(\theta)\)라 할 때, \(r(\theta)\)를 구하고 극한값 \(\lim_{\theta \to 0^+} \frac{r(\theta)}{\theta}\)를 구하시오. [10점]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4) e^{-t} dt\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 도함수 \(F'(x)\)를 구하고, 함수 \(F(x)\)가 극댓값과 극솟값을 갖는 \(x\)의 값을 각각 구하시오. [7점]

(2) 부분적분법을 이용하여 정적분 \(F(x)\)를 \(x\)에 대한 초월함수 식으로 명시하고, 극한값 \(\lim_{x \to \infty} F(x)\)를 구하시오. [8점]

(3) 사잇값 정리와 함수의 증감을 엄밀하게 적용하여, 방정식 \(F(x) = 0\)이 열린구간 \((2, \infty)\)에서 오직 하나의 실근을 가짐을 논증하시오. [10점]

닫힌구간 \([0, \pi]\)에서 곡선 \(y = \sqrt{x \sin x}\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 영역을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면은 모두 한 변이 밑면에 놓여 있는 정삼각형이다. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) \(x\)축 위의 점 \((x, 0)\) \((0 \le x \le \pi)\)를 지나고 \(x\)축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이 \(S(x)\)를 구하시오. [7점]

(2) 부분적분법을 이용하여 정적분 \(\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx\)의 값을 구하시오. [8점]

(3) 이 입체도형의 부피 \(V\)를 구하고, 정적분과 무한급수의 관계를 이용하여 극한값 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\)를 계산하시오. [10점]