2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 성신여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제10회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 2합7

[대문항 1] 비선형 분수 점화식의 역수 등차수열 변환과 부분분수 급수의 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.39 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 모든 항이 양수인 수열이 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\;\left(a_1 = \dfrac{1}{285}\right)\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = 6\)가 되어 역수 수열은 공차가 \(6\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제를 수학적 귀납법으로 증명할 때는 초기항 \(n = 1\;(a_1 = 1/285)\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

첫째항이 \(a_1 = \dfrac{1}{285}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{6a_n + 1}\)을 만족시키는 수열에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 285\right)\)을 이용하여 \(b_n = 6n + 279\)와 \(a_n\)의 일반항을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 279}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 1-3] (7점) 부분분수 항등식 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)을 이용하여 급수 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{10}{98325}\)의 값을 유도하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(b_n = 6n + 279,\; a_n = \dfrac{1}{6n + 279}\) | [1-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [1-3] \(\dfrac{10}{285\times 345} = \dfrac{10}{98325}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 역수 치환 \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\;\left(b_1 = 285\right)\)에서 \(b_{n+1} - b_n = 6\)이므로 \(b_n = 285 + 6(n - 1) = 6n + 279\)이고 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 279}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] (i) 초기항 \(a_1 = \dfrac{1}{285}\) 성립. (ii) \(a_k = \dfrac{1}{6k + 279}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{a_k}{6a_k + 1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 279}\)이므로 모든 자연수에서 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 부분분수 분해에 의해 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{285} - \dfrac{1}{345}\right) = \dfrac{10}{98325}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역수 등차수열 \(b_n = 6n + 279\) 유도 +3점 / 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{6n + 279}\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 초기 조건 \(a_1 = \dfrac{1}{285}\) 확인 +2점 / 귀납 가정 후 \(a_{k+1} = \dfrac{1}{6(k+1) + 279}\) 연역 +5점
소문항 [1-3]	• 망원급수 변형 \(\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{285} - \dfrac{1}{345}\right)\) +4점 / 합 \(\dfrac{10}{98325}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식의 분모를 곱하면 \(6a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 바로 유도되어 망원급수 소거가 한 줄로 정리됩니다.

[대문항 2] 무한대 극한과 영인자 약분 극한을 동시에 만족시키는 삼차함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2803\)을 만족시키면 최고차항 계수가 \(4\)인 삼차함수이다.
<제시문 (나)> \(\lim_{x \to 280} \dfrac{f(x)}{(x - 280)^2} = 557\)이 수렴하면 인수정리에 의해 \(f(x) = (x - 280)^2(4x + r)\) 꼴로 인수분해된다.

삼차다항함수가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 4x^3}{x^2} = -2803\)과 \(\lim_{x \to 280} \dfrac{f(x)}{(x - 280)^2} = 557\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 280)^2(4x + r)\)로 놓고 상수 \(r = -563\)을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 구한 함수 \(f(x) = (x - 280)^2(4x + -563)\)이 무한대 극한 조건 \(-2803\)을 만족시킴을 전개하여 검증하시오.

[문항 2-3] (7점) 함숫값 \(f(282) = 2260\)의 값과 \(x = 280\)에서의 미분계수 \(f'(280) = 0\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(r = -563\) | [2-2] 이차항 계수 \(-2803\) 일치 검증 완료 | [2-3] \(f(282) = 2260,\; f'(280) = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (나)의 극한식에 대입하면 \(\lim_{x \to 280} (4x + r) = 1120 + r = 557\)이므로 \(r = -563\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 560x + 78400)(4x + -563) = 4x^3 + (-2803)x^2 + \cdots\)이므로 이차항 계수 \(-2803\)이 정확히 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 282\)를 대입하면 \(f(282) = 4(1128 + -563) = 2260\)이고, \((x - 280)^2\)을 인수로 가지므로 \(f'(280) = 0\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 인수분해 꼴 설정 +3점 / 극한 대입으로 \(r = -563\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 삼차식 전개 후 이차항 계수 \(-2803\) 확인 +7점
소문항 [2-3]	• \(f(282) = 2260\) 산출 +4점 / 중근 성질로 \(f'(280) = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모에 \((x - 280)^2\)이 있을 때 극한이 수렴하려면 분자는 \(x = 280\)을 반드시 중근 이상으로 가져야 합니다.

[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식의 증명과 역함수 접선의 방정식 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([x_1, x_2]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x) = x^3 + 816x + 2\)에 대하여 평균변화율과 일치하는 순간변화율 \(f'(c) = 3c^2 + 816\)인 \(c\)가 존재한다.
<제시문 (나)> 도함수가 항상 양수인 \(f'(x) = 3x^2 + 816 \gt 0\)이므로 역함수 \(g(x)\)가 존재하며 \(g'(f(a)) = \dfrac{1}{3a^2 + 816}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 증가함수 \(f(x) = x^3 + 816x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 816(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 819\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2) = \dfrac{1}{816}\)와 \(g'(819) = \dfrac{1}{819}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 역함수 곡선 위의 점 \((819, 1)\)에서의 접선의 방정식 \(y = \dfrac{1}{819}x\)를 구하고, \(\dfrac{1}{g'(2)} + \dfrac{1}{g'(819)} = 1635\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 816 \ge 816\) 증명 완료 | [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{816},\; g'(819) = \dfrac{1}{819}\) | [3-3] 접선 \(y = \dfrac{1}{819}x,\; \text{합 } 1635\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = 3c^2 + 816 \ge 816\)이고 \(x_2 - x_1 \gt 0\)이므로 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 816(x_2 - x_1)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 역함수 미분법에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{816}\)이고 \(g'(819) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{819}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((819, 1)\)에서의 접선은 \(y - 1 = \dfrac{1}{819}(x - 819) \implies y = \dfrac{1}{819}x\)이고, 역수의 합은 \(816 + 819 = 1635\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 선언 및 \(f'(c) = 3c^2 + 816 \ge 816\) 서술 +6점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{816}\) 산출 +3점 / \(g'(819) = \dfrac{1}{819}\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{819}x\) 유도 +4점 / 역수 합 \(1635\) 계산 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수의 미분계수 \(g'(819)\)를 구할 때는 \(f(a) = 819\)를 만족시키는 원함수 위의 점 \(a = 1\)을 먼저 찾아야 합니다.

[대문항 4] 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 넓이 분할 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = -6x(x - 279)\)의 그래프와 가로축이 두 점 \((0, 0),\; (279, 0)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_0^{279} (-6x^2 + 1674x)\,dx = 21717639\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 그래프는 대칭축 \(x = \dfrac{279}{2}\)에 대하여 좌우 대칭이므로 대칭축은 전체 넓이 \(21717639\)를 정확히 이등분한다.

포물선 \(C : y = -6x^2 + 1674x\)와 가로축 및 원점을 지나는 직선 \(L : y = 837x\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 정적분을 직접 계산하여 포물선 \(y = -6x^2 + 1674x\)와 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S = 21717639\)를 유도하시오.

[문항 4-2] (7점) 직선 \(x = k\)가 넓이 \(S = 21717639\)를 이등분하는 상수 \(k = \dfrac{279}{2}\)를 구하고, \(\int_0^{279/2} (-6x^2 + 1674x)\,dx = \dfrac{21717639}{2}\)임을 확인하시오.

[문항 4-3] (7점) 포물선 \(y = -6x^2 + 1674x\)와 직선 \(y = 837x\)의 교점의 좌표를 구하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S_1 = \dfrac{21717639}{8}\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(S = 21717639\) | [4-2] \(k = \dfrac{279}{2},\; \text{정적분 } \dfrac{21717639}{2}\) | [4-3] 교점 \(x = 0, \dfrac{279}{2}\), 넓이 \(S_1 = \dfrac{21717639}{8}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 정적분을 계산하면 \(S = \left[-2x^3 + 837x^2\right]_0^{279} = -2(279)^3 + 3(279)^3 = 21717639\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 포물선의 대칭축 \(x = \dfrac{279}{2}\)에 의해 \(k = \dfrac{279}{2}\)이고, 실제로 \(\left[-2x^3 + 837x^2\right]_0^{279/2} = -\dfrac{21717639}{4} + \dfrac{3\times 21717639}{4} = \dfrac{21717639}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 연립방정식 \(-6x^2 + 1674x = 837x \implies 6x\left(x - \dfrac{279}{2}\right) = 0\)이므로 교점은 \(x = 0, \dfrac{279}{2}\)이고 넓이는 \(S_1 = \int_0^{279/2} (-6x^2 + 837x)\,dx = \dfrac{21717639}{8}\)이다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 원시함수 \(-2x^3 + 837x^2\) 적분 +3점 / 넓이 \(S = 21717639\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 대칭축 \(k = \dfrac{279}{2}\) 도출 +3점 / 구간 \([0, 279/2]\) 적분값 \(\dfrac{21717639}{2}\) 확인 +4점
소문항 [4-3]	• 교점 \(x = \dfrac{279}{2}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S_1 = \dfrac{21717639}{8}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차항 계수가 \(-6\)이고 두 교점의 차가 \(\beta - \alpha = \dfrac{279}{2}\)일 때 둘러싸인 넓이는 항상 \((\beta - \alpha)^3 = \dfrac{21717639}{8}\)이 됩니다.

[대문항 5] 벡터를 이용한 공간 평면의 방정식과 정사영 넓이 및 사면체 부피 (20점)

기하 Ⅲ-3. 공간벡터와 평면의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 기하 Ⅲ-3. 공간벡터 · 기출 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 좌표공간의 세 축 위의 점 \(\mathrm{A}(822, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 822, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 822)\)을 지나는 평면의 방정식은 \(x + y + z = 822\)이고 법선벡터는 \(\vec{n} = (1, 1, 1)\;(\text{절편 } 822)\)이다.
<제시문 (나)> 평면 \(x + y + z = 822\)와 바닥평면이 이루는 예각에 대하여 정사영 넓이 공식 \(S' = S\cos\theta = \dfrac{675684}{2}\)가 성립한다.

좌표공간에서 세 점 \(\mathrm{A}(822, 0, 0),\; \mathrm{B}(0, 822, 0),\; \mathrm{C}(0, 0, 822)\)을 지나는 평면 \(x + y + z = 822\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 원점 O에서 평면 \(x + y + z - 822 = 0\)까지의 수선의 길이 \(d = 274\sqrt{3}\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 직각삼각형 OAB의 넓이 \(S' = \dfrac{675684}{2}\)와 방향코사인을 이용하여 정삼각형 ABC의 넓이 \(S = \dfrac{675684\sqrt{3}}{2}\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 사면체 OABC의 부피 \(V = \dfrac{1}{3} S \cdot d = 92568708\)를 계산하여 직각사면체 부피 공식과 일치함을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(d = \dfrac{822}{\sqrt{3}} = 274\sqrt{3}\) | [5-2] \(S' = \dfrac{675684}{2},\; S = \dfrac{675684\sqrt{3}}{2}\) | [5-3] \(V = 92568708\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 점과 평면 사이의 거리 공식에서 \(d = \dfrac{822}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = 274\sqrt{3}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 정사영 넓이는 \(S' = \dfrac{675684}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{3}S' = \dfrac{675684\sqrt{3}}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 사면체 부피는 \(V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{675684\sqrt{3}}{2} \times 274\sqrt{3} = 92568708\)로 정확히 일치한다.

평가 소문항	성신여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 평면 \(x+y+z=822\) 및 법선벡터 확인 +3점 / 원점 거리 \(d = 274\sqrt{3}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 정사영 넓이 \(S' = \dfrac{675684}{2}\) 계산 +3점 / \(S = \dfrac{675684\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점
소문항 [5-3]	• 사면체 부피 대입 검증 +4점 / 부피 \(V = 92568708\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 기하(`12기하03-05`)에서 강화된 벡터를 이용한 평면의 방정식 \(x + y + z = 822\)과 정사영 넓이 공식을 결합한 핵심 문항입니다.

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