2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 지수법칙을 이용한 연립지수방정식과 거듭제곱근

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(X = 2^x,\; Y = 3^y\;(X \gt 0, Y \gt 0)\)로 치환하면 지수 연립방정식을 \(X, Y\)에 대한 일차 연립방정식으로 바꾸어 풀 수 있다.

실수 \(x, y\)가 연립방정식 \(\begin{cases} 2^{x+1} + 3^y = 17 \\ 2^x - 3^{y+1} = -23 \end{cases}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(X = 2^x,\; Y = 3^y\)에 대한 연립방정식을 세우고 \(X, Y\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 실수 \(x, y\)의 값을 각각 구하고, \((x + y)^3\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sqrt[x]{8^y} + \sqrt[y]{9^x}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(X = 4,\; Y = 9\) | [1-2] \(x = 2,\; y = 2,\; (x + y)^3 = 64\) | [1-3] \(17\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(2^{x+1} = 2X,\; 3^{y+1} = 3Y\)이므로 \(2X + Y = 17,\; X - 3Y = -19\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 연립하면 \(7X = 32\)가 아닌 정수가 되도록 두 번째 식 우변을 \(-23\)으로 놓으면 \(2X + Y = 17,\; X - 3Y = -23 \implies 7X = 28 \implies X = 4,\; Y = 9\)이다. 따라서 \(2^x = 4 \implies x = 2\)이고 \(3^y = 9 \implies y = 2\)이며 \((x + y)^3 = 64\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x = 2, y = 2\)를 대입하면 \(\sqrt{8^2} + \sqrt{9^2} = 8 + 9 = 17\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(2X + Y = 17,\; X - 3Y = -23\) 변환 +3점 / \(X = 4, Y = 9\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(x = 2, y = 2\) 도출 +4점 / \((x+y)^3 = 64\) 산출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 거듭제곱근 대입 +4점 / \(8 + 9 = 17\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(2^{x+1} = 2 \cdot 2^x\)와 \(3^{y+1} = 3 \cdot 3^y\)에서 지수의 상수항을 계수로 정확히 분리하는 것이 핵심입니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각부등식의 해집합과 모든실수 이차부등식의 판별식 결합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 - 2(\cos\theta)x + k \gt 0\)이 항상 성립하기 위한 필요충분조건은 판별식 \(\dfrac{D}{4} = \cos^2\theta - k \lt 0\)인 것이다.

\(0 \le \theta \lt 2\pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 모든 실수 \(x\)에서 이차부등식 \(x^2 - 2(\sin\theta)x + \cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \gt 0\)이 항상 성립하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 판별식 조건 \(\dfrac{D}{4} \lt 0\)을 \(\sin\theta\)에 대한 이차부등식으로 정리하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\sin\theta\)의 값의 범위를 구하고, \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]에서 구한 세 구간의 길이의 총합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(2\sin^2\theta - \dfrac{1}{2} \lt 0\) | [2-2] \(0 \le \theta \lt \dfrac{\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{6} \lt \theta \lt \dfrac{7\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{11\pi}{6} \lt \theta \lt 2\pi\) | [2-3] \(\dfrac{2\pi}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 이차부등식 \(x^2 - 2(\sin\theta)x + \cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \gt 0\)의 판별식 \(\dfrac{D}{4} \lt 0\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\dfrac{D}{4} = \sin^2\theta - \cos^2\theta + \dfrac{1}{2} = 2\sin^2\theta - \dfrac{1}{2} \lt 0 \implies \sin^2\theta \lt \dfrac{1}{4}\)이므로 \(-\dfrac{1}{2} \lt \sin\theta \lt \dfrac{1}{2}\)이다. 따라서 \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 해는 \(0 \le \theta \lt \dfrac{\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{5\pi}{6} \lt \theta \lt \dfrac{7\pi}{6}\) 또는 \(\dfrac{11\pi}{6} \lt \theta \lt 2\pi\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 세 구간의 길이의 합은 \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{2\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 판별식 \(\dfrac{D}{4} = 2\sin^2\theta - \dfrac{1}{2} \lt 0\) 유도 +6점
소문항 [2-2] (7점)	• \(-\dfrac{1}{2} \lt \sin\theta \lt \dfrac{1}{2}\) 도출 +3점 / \(\theta\) 범위 산출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• 각 구간 길이 합산 +4점 / \(\dfrac{2\pi}{3}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x\)에 대한 이차부등식이 항상 성립할 조건이므로 판별식의 변수는 \(\theta\)가 아니라 \(x\)라는 점을 명확히 구분해야 합니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 유리함수의 점근선과 무한대·특이점 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 유리함수 \(f(x) = \dfrac{px + q}{x - r}\)에서 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = p\)이고, 분모가 \(0\)이 되는 \(x = r\)은 수직점근선의 방정식이다.

유리함수 \(f(x) = \dfrac{ax + b}{x - 2}\)가 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)과 \(\lim_{x \to 3} (x - 2)f(x) = 7\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 유리함수 \(f(x)\)의 두 점근선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x, f(x))\;(x \gt 2)\)에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 직사각형 \(\mathrm{APBQ}\) (단, \(\mathrm{Q}\)는 두 점근선의 교점)의 넓이가 \(x\)에 무관하게 일정함을 보이고 그 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 3,\; b = -2,\; x = 2,\; y = 3\) | [3-2] \(4\) | [3-3] 넓이 \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{ax + b}{x - 2} = a = 3\)이고, \(\lim_{x \to 3} (ax + b) = 3a + b = 7\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(a = 3,\; b = -2\)이고 두 점근선은 \(x = 2,\; y = 3\)이다. 또한 \(f(x) - 3 = \dfrac{3x - 2}{x - 2} - 3 = \dfrac{4}{x - 2}\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{4x}{x - 2} = 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x \gt 2\)일 때 가로의 길이는 \(x - 2\), 세로의 길이는 \(f(x) - 3 = \dfrac{4}{x - 2}\)이므로 직사각형의 넓이는 \((x - 2) \cdot \dfrac{4}{x - 2} = 4\)로 항상 일정하다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(a = 3, b = -2\) 산출 +3점 / 점근선 \(x = 2, y = 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2] (7점)	• \(f(x) - 3 = \dfrac{4}{x - 2}\) 통분 +4점 / 극한값 \(4\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• 가로 \(x-2\), 세로 \(\dfrac{4}{x-2}\) 설정 +4점 / 넓이 \(4\) 일정 증명 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 유리함수 \(y = \dfrac{k}{x - p} + q\) 위의 점에서 두 점근선에 내린 수선으로 만든 직사각형의 넓이는 항상 \(|k|\)로 일정하며, 이는 \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - q\} = k\)와 일치합니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 롤의 정리와 도함수의 영점 존재성 증명

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하며 \(g(a) = g(b)\)이면, \(g'(c) = 0\)인 \(c \in (a, b)\)가 적어도 하나 존재한다 (롤의 정리).

사차함수 \(f(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 롤의 정리를 적용하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(f(1) = f(3)\)임을 확인하고, 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (1, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 2]\)에서도 \(f(0) = f(c_0)\)가 아닌 \(f(0) = f(4) = 9\)를 이용하여 열린구간 \((0, 4)\)에서 \(f'(c) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(c\)의 값들의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f'(x) = 4(x - 1)(x - 2)(x - 3),\; c = 2\) | [4-2] 극댓값 \(f(2) = 1\), 극솟값 \(f(1) = f(3) = 0\) | [4-3] \(c = 1, 2, 3\), 합 \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(1) = f(3) = 0\)이고 다항함수이므로 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 롤의 정리의 전제 조건을 만족시킨다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 곱의 미분법에 의해 \(f'(x) = 2(x - 1)(x - 3)^2 + 2(x - 1)^2(x - 3) = 4(x - 1)(x - 2)(x - 3)\)이므로 \(c \in (1, 3)\)인 값은 \(c = 2\)이다. 극댓값은 \(f(2) = 1\), 극솟값은 \(f(1) = f(3) = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 열린구간 \((0, 4)\)에서 \(f'(c) = 0\)을 만족시키는 모든 실수는 \(c = 1, 2, 3\)이고 그 합은 \(6\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f'(x) = 4(x-1)(x-2)(x-3)\) 유도 +4점 / \(c = 2\) 도출 +2점
소문항 [4-2] (7점)	• 극댓값 \(f(2) = 1\) 산출 +4점 / 극솟값 \(0\) 도출 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• 구간 \((0, 4)\) 내 세 근 \(1, 2, 3\) 확인 +4점 / 합 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \((x - \alpha)^2(x - \beta)^2\) 꼴의 사차함수는 직선 \(x = \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)에 대하여 대칭이므로 롤의 정리를 만족시키는 극대점은 항상 중점 \(c = \dfrac{\alpha + \beta}{2}\)입니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 우함수·기함수 정적분 성질과 주기적 대칭 적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 \(\int_{-a}^{a} x^{2k-1}\,dx = 0\)이고 \(\int_{-a}^{a} x^{2k}\,dx = 2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다 (\(k\)는 자연수).

다항함수 \(f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx + 2\)가 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{16}{15}\)와 \(f(1) = 7\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 \(a, b\)에 무관한 상수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{16}{15}\)와 \(f(1) = 7\)을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(24\) | [5-2] \(a = 1,\; b = 1\) | [5-3] \(18\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x)\)에서 기함수 항 \(ax^3 + bx\)는 대칭 구간 \([-2, 2]\)에서 정적분이 \(0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (3x^2 + 2)\,dx = 2(8 + 4) = 24\)이다. 또한 \(x f(x) = ax^4 + 3x^3 + bx^2 + 2x\)에서 기함수 항을 지우면 \(\int_{-2}^{2} x f(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} (ax^4 + bx^2)\,dx = 2\left(\dfrac{32}{5}a + \dfrac{8}{3}b\right)\)이다. 구간을 \([-1, 1]\)로 두면 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = 2\left(\dfrac{a}{5} + \dfrac{b}{3}\right) = \dfrac{16}{15} \implies 3a + 5b = 8\)이고 \(f(1) = a + b + 5 = 7 \implies a + b = 2\)와 연립하면 \(a = 1,\; b = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 2\)이므로 \(\int_{0}^{2} (x^3 + 3x^2 + x + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 + x^3 + \dfrac{1}{2}x^2 + 2x\right]_{0}^{2} = 4 + 8 + 2 + 4 = 18\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 기함수 항 소거 +3점 / \(2\int_0^2 (3x^2+2)\,dx = 24\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(3a + 5b = 8\) 및 \(a + b = 2\) 연립 +4점 / \(a = 1, b = 1\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• 부정적분 계산 +4점 / 값 \(18\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(x)\)에 \(x\)를 곱한 \(x f(x)\)에서는 원래의 기함수 항 \(ax^3 + bx\)가 우함수 항 \(ax^4 + bx^2\)로 바뀌어 살아남고, 원래의 우함수 항이 사라집니다.