2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 지수법칙을 이용한 연립지수방정식과 거듭제곱근

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> \(X = 2^x,\; Y = 3^y\;(X \gt 0, Y \gt 0)\)로 치환하면 지수 연립방정식을 \(X, Y\)에 대한 일차 연립방정식으로 바꾸어 풀 수 있다.

실수 \(x, y\)가 연립방정식 \(\begin{cases} 2^{x+1} + 3^y = 17 \\ 2^x - 3^{y+1} = -23 \end{cases}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(X = 2^x,\; Y = 3^y\)에 대한 연립방정식을 세우고 \(X, Y\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 실수 \(x, y\)의 값을 각각 구하고, \((x + y)^3\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(\sqrt[x]{8^y} + \sqrt[y]{9^x}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각부등식의 해집합과 모든실수 이차부등식의 판별식 결합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.20 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 이차부등식 \(x^2 - 2(\cos\theta)x + k \gt 0\)이 항상 성립하기 위한 필요충분조건은 판별식 \(\dfrac{D}{4} = \cos^2\theta - k \lt 0\)인 것이다.

\(0 \le \theta \lt 2\pi\)인 각 \(\theta\)에 대하여 모든 실수 \(x\)에서 이차부등식 \(x^2 - 2(\sin\theta)x + \cos^2\theta - \dfrac{1}{2} \gt 0\)이 항상 성립하도록 하는 \(\theta\)의 값의 범위를 구하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 판별식 조건 \(\dfrac{D}{4} \lt 0\)을 \(\sin\theta\)에 대한 이차부등식으로 정리하시오.

[문항 2-2] (7점) \(\sin\theta\)의 값의 범위를 구하고, \(0 \le \theta \lt 2\pi\)에서 \(\theta\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) [문항 2-2]에서 구한 세 구간의 길이의 총합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 유리함수의 점근선과 무한대·특이점 극한

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 유리함수 \(f(x) = \dfrac{px + q}{x - r}\)에서 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = p\)이고, 분모가 \(0\)이 되는 \(x = r\)은 수직점근선의 방정식이다.

유리함수 \(f(x) = \dfrac{ax + b}{x - 2}\)가 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)과 \(\lim_{x \to 3} (x - 2)f(x) = 7\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 유리함수 \(f(x)\)의 두 점근선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x, f(x))\;(x \gt 2)\)에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 할 때, 직사각형 \(\mathrm{APBQ}\) (단, \(\mathrm{Q}\)는 두 점근선의 교점)의 넓이가 \(x\)에 무관하게 일정함을 보이고 그 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 롤의 정리와 도함수의 영점 존재성 증명

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하며 \(g(a) = g(b)\)이면, \(g'(c) = 0\)인 \(c \in (a, b)\)가 적어도 하나 존재한다 (롤의 정리).

사차함수 \(f(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 롤의 정리를 적용하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) \(f(1) = f(3)\)임을 확인하고, 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 닫힌구간 \([1, 3]\)에서 롤의 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (1, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 2]\)에서도 \(f(0) = f(c_0)\)가 아닌 \(f(0) = f(4) = 9\)를 이용하여 열린구간 \((0, 4)\)에서 \(f'(c) = 0\)을 만족시키는 모든 실수 \(c\)의 값들의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 우함수·기함수 정적분 성질과 주기적 대칭 적분

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 연속인 함수에 대하여 \(\int_{-a}^{a} x^{2k-1}\,dx = 0\)이고 \(\int_{-a}^{a} x^{2k}\,dx = 2\int_{0}^{a} x^{2k}\,dx\)이다 (\(k\)는 자연수).

다항함수 \(f(x) = ax^3 + 3x^2 + bx + 2\)가 \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{16}{15}\)와 \(f(1) = 7\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 \(a, b\)에 무관한 상수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(\int_{-1}^{1} x f(x)\,dx = \dfrac{16}{15}\)와 \(f(1) = 7\)을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.