2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 4회 해설집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 로그방정식의 두 실근의 곱과 밑변환 치환

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 로그방정식 \((\log_a x)^2 - p\log_a x + q = 0\)에서 \(t = \log_a x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 실근이 \(t_1 = \log_a \alpha,\; t_2 = \log_a \beta\)이면, \(t_1 + t_2 = \log_a(\alpha\beta) = p\)이므로 두 실근의 곱은 \(\alpha\beta = a^p\)이다.

양수 \(x\)에 대한 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 3 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(t = \log_3 x\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 세우고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 값을 각각 구하고, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도의 로그방정식 \((\log_2 x)^2 + k\log_2 x - 4 = 0\)의 두 실근의 곱이 \(\dfrac{1}{8}\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 두 실근을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(t^2 - 4t + 3 = 0,\; \alpha\beta = 81\) | [1-2] \(\alpha = 3,\; \beta = 27,\; \alpha + \beta = 30\) | [1-3] \(k = 3\), 두 실근 \(\dfrac{1}{16}, 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\log_3 x^4 = 4\log_3 x = 4t\)이므로 \(t^2 - 4t + 3 = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\log_3 \alpha + \log_3 \beta = \log_3(\alpha\beta) = 4\)이므로 \(\alpha\beta = 3^4 = 81\)이다. 인수분해하면 \((t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1, 3\)이므로 \(\alpha = 3,\; \beta = 27\)이고 \(\alpha + \beta = 30\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\log_2(x_1 x_2) = -k = \log_2 \dfrac{1}{8} = -3\)에서 \(k = 3\)이다. 이때 \(u^2 + 3u - 6 = 0\)이 아닌 인수분해 정수근을 갖도록 상수항 \(-4\)일 때 \(u^2 + 3u - 4 = (u + 4)(u - 1) = 0 \implies x = \dfrac{1}{16}, 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(t^2 - 4t + 3 = 0\) 작성 +3점 / \(\alpha\beta = 3^4 = 81\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(\alpha = 3, \beta = 27\) 산출 +4점 / 합 \(30\) 도출 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• \(-k = -3 \implies k = 3\) 도출 +3점 / 두 실근 \(\dfrac{1}{16}, 2\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 지수방정식에서는 치환방정식의 '두 근의 곱'이 원래 근의 합을 주지만, 로그방정식에서는 치환방정식의 '두 근의 합'이 원래 근의 곱 \(\alpha\beta\)를 줍니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각함수의 그래프의 평행이동과 진폭·주기·위상 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x) = A\sin(Bx - C) + D\;(A \gt 0, B \gt 0)\)의 최댓값은 \(A + D\), 최솟값은 \(-A + D\), 주기는 \(\dfrac{2\pi}{B}\)이다.

양수 \(A, B\)와 상수 \(C, D\;\left(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\right)\)에 대하여 함수 \(f(x) = A\sin(Bx - C) + D\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 논제에 답하시오. [조건: 최댓값은 \(5\), 최솟값은 \(-1\), 주기는 \(\pi\), \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5\)]

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(A, B, D\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 조건 \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5\)와 \(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\)를 이용하여 상수 \(C\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(f(0)\)의 값과 \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(A = 3,\; B = 2,\; D = 2\) | [2-2] \(C = \dfrac{\pi}{6}\) | [2-3] \(f(0) = \dfrac{1}{2},\; f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{7}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(A + D = 5,\; -A + D = -1\)을 연립하고 \(\dfrac{2\pi}{B} = \pi\)를 푼다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A = 3,\; D = 2,\; B = 2\)이다. \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 3\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} - C\right) + 2 = 5\)에서 \(\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} - C\right) = 1\)이고, \(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\dfrac{2\pi}{3} - C = \dfrac{\pi}{2} \implies C = \dfrac{\pi}{6}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(x) = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 2\)이므로 \(f(0) = 3\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 = \dfrac{1}{2}\)이고, \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin\dfrac{5\pi}{6} + 2 = \dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{7}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(A = 3, D = 2\) 도출 +4점 / \(B = 2\) 산출 +2점
소문항 [2-2] (7점)	• \(\sin\left(\dfrac{2\pi}{3} - C\right) = 1\) 설정 +4점 / \(C = \dfrac{\pi}{6}\) 도출 +3점
소문항 [2-3] (7점)	• \(f(0) = \dfrac{1}{2}\) 계산 +3점 / \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{7}{2}\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 위상각 \(C\)를 구할 때는 반드시 문제에서 주어진 범위 \(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\)를 이용해 \(\dfrac{2\pi}{3} - C\)의 범위를 먼저 제한해야 유일한 해가 결정됩니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 다항함수의 극한과 접선의 방정식의 결합

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - b}{x - a} = m\)을 만족시키면 \(f(a) = b,\; f'(a) = m\)이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, b)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = m(x - a) + b\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = 2\)를 만족시키고, \(f(0) = -2\) 및 \(f(1) = 0\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 첫 번째 극한 조건과 \(f(0) = -2\)를 이용하여 \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax - 2\) 꼴로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 두 번째 극한 조건에서 \(f(1) = 0\)임을 확인하여 상수 \(a\)의 값과 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax - 2\) | [3-2] \(a = -1\), 극한값 \(6\) | [3-3] \(y = 6x - 6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \to \infty\) 극한이 \(2\)이므로 \(f(x) - x^3\)은 최고차항이 \(2x^2\)인 이차다항식이고 \(f(0) = -2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax - 2\)에서 \(x \to 1\) 극한이 수렴하므로 \(f(1) = 1 + 2 + a - 2 = 0 \implies a = -1\)이다. 이때 \(f'(x) = 3x^2 + 4x - 1\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = f'(1) = 6\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(1) = 6\)이므로 접선의 방정식은 \(y = 6(x - 1) = 6x - 6\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• 삼차·이차 계수 \(1, 2\) 및 상수항 \(-2\) 결정 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \(f(1) = 0 \implies a = -1\) 도출 +4점 / 극한값 \(f'(1) = 6\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• 접선의 기울기 \(6\) 적용 +4점 / \(y = 6x - 6\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(f(1) = 0\)과 \(f(0) = -2\)가 모두 주어지면 \(a = -1\)로 함수가 완전히 결정되므로 극한값 \(f'(1) = 6\)은 종속적으로 정해집니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 삼차방정식의 중근·실근 조건과 극값의 곱

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 극댓값과 극솟값을 모두 갖는 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 방정식 \(g(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 (극댓값)\(\times\)(극솟값) \(\lt 0\)이고, 한 실근과 한 중근을 가질 조건은 (극댓값)\(\times\)(극솟값) \(= 0\)이다.

실수 \(k\)에 대하여 삼차방정식 \(x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0\)의 실근의 개수를 분석하고자 한다. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 방정식이 한 실근과 한 중근(서로 다른 두 실근)을 갖도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값과 그때의 중근을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 \(x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값들의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 극댓값 \(f(1) = 4\), 극솟값 \(f(3) = 0\) | [4-2] \(k = 0\) (중근 \(x = 3\)), \(k = 4\) (중근 \(x = 1\)) | [4-3] \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0\)으로부터 극점을 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극댓값은 \(f(1) = 4\), 극솟값은 \(f(3) = 0\)이다. \(g(x) = f(x) - k\)에서 극값의 곱 \((4 - k)(0 - k) = 0\)이 되는 \(k\)는 \(k = 0\) (중근 \(x = 3\)) 또는 \(k = 4\) (중근 \(x = 1\))이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(0 \lt k \lt 4\)이므로 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3\)이고 합은 \(6\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) 인수분해 +2점 / 극댓값 \(4\), 극솟값 \(0\) 산출 +4점
소문항 [4-2] (7점)	• \(k = 0, 4\) 도출 +4점 / 각 중근 \(x = 3, 1\) 명시 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(0 \lt k \lt 4\) 범위 유도 +4점 / 정수 합 \(1 + 2 + 3 = 6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 것은 곧 극점 \(x = 1\) 또는 \(x = 3\)에서 \(x\)축에 접한다는 것과 동치입니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 정적분과 미분의 관계 및 극한 결합

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)의 한 부정적분을 \(F(t)\)라 하면 \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = \lim_{x \to a} \dfrac{F(x) - F(a)}{x - a} = F'(a) = f(a)\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 양변에 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_{2}^{x} t f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1 - h}^{1 + 2h} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a = 3,\; f(x) = 3x^2 - 4x + 3\) | [5-2] \(14\) | [5-3] \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위끝과 아래끝이 같을 때 정적분은 \(0\)이므로 \(x = 1\)을 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(0 = 1 - 2 + a - 2 \implies a = 3\)이고, 양변을 미분하면 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 3\)이다. 제시문 (가)에 의해 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_{2}^{x} t f(t)\,dt = 2f(2) = 2(12 - 8 + 3) = 14\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(F'(t) = f(t)\)라 하면 \(\lim_{h \to 0} \dfrac{F(1 + 2h) - F(1 - h)}{h} = 3F'(1) = 3f(1) = 3 \times 2 = 6\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \(x = 1\) 대입으로 \(a = 3\) 산출 +3점 / 미분으로 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 3\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• 피적분함수 \(g(t) = t f(t)\) 치환 +3점 / \(2f(2) = 14\) 산출 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• \(3f(1)\) 미분계수 계수 정리 +4점 / 값 \(6\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정적분으로 정의된 항등식에서는 미분하기 전에 반드시 위끝과 아래끝이 같아지는 \(x = 1\)을 먼저 대입하여 미정계수 \(a\)를 확정해야 합니다.