2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 로그방정식의 두 실근의 곱과 밑변환 치환

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 로그방정식 \((\log_a x)^2 - p\log_a x + q = 0\)에서 \(t = \log_a x\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 실근이 \(t_1 = \log_a \alpha,\; t_2 = \log_a \beta\)이면, \(t_1 + t_2 = \log_a(\alpha\beta) = p\)이므로 두 실근의 곱은 \(\alpha\beta = a^p\)이다.

양수 \(x\)에 대한 로그방정식 \((\log_3 x)^2 - \log_3 x^4 + 3 = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(t = \log_3 x\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 세우고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha\beta\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 값을 각각 구하고, \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도의 로그방정식 \((\log_2 x)^2 + k\log_2 x - 4 = 0\)의 두 실근의 곱이 \(\dfrac{1}{8}\)일 때, 상수 \(k\)의 값과 두 실근을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각함수의 그래프의 평행이동과 진폭·주기·위상 결정

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x) = A\sin(Bx - C) + D\;(A \gt 0, B \gt 0)\)의 최댓값은 \(A + D\), 최솟값은 \(-A + D\), 주기는 \(\dfrac{2\pi}{B}\)이다.

양수 \(A, B\)와 상수 \(C, D\;\left(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\right)\)에 대하여 함수 \(f(x) = A\sin(Bx - C) + D\)가 다음 조건을 만족시킬 때, 논제에 답하시오. [조건: 최댓값은 \(5\), 최솟값은 \(-1\), 주기는 \(\pi\), \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5\)]

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(A, B, D\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 조건 \(f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5\)와 \(0 \lt C \lt \dfrac{\pi}{2}\)를 이용하여 상수 \(C\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(f(0)\)의 값과 \(f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 다항함수의 극한과 접선의 방정식의 결합

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - b}{x - a} = m\)을 만족시키면 \(f(a) = b,\; f'(a) = m\)이므로 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, b)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = m(x - a) + b\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2 + 1} = 2\)를 만족시키고, \(f(0) = -2\) 및 \(f(1) = 0\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 첫 번째 극한 조건과 \(f(0) = -2\)를 이용하여 \(f(x) = x^3 + 2x^2 + ax - 2\) 꼴로 나타내시오.

[문항 3-2] (7점) 두 번째 극한 조건에서 \(f(1) = 0\)임을 확인하여 상수 \(a\)의 값과 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, 0)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 삼차방정식의 중근·실근 조건과 극값의 곱

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.19 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 극댓값과 극솟값을 모두 갖는 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 방정식 \(g(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 (극댓값)\(\times\)(극솟값) \(\lt 0\)이고, 한 실근과 한 중근을 가질 조건은 (극댓값)\(\times\)(극솟값) \(= 0\)이다.

실수 \(k\)에 대하여 삼차방정식 \(x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0\)의 실근의 개수를 분석하고자 한다. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 주어진 방정식이 한 실근과 한 중근(서로 다른 두 실근)을 갖도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값과 그때의 중근을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 \(x^3 - 6x^2 + 9x - k = 0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 \(k\)의 값들의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 정적분과 미분의 관계 및 극한 결합

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-03, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)의 한 부정적분을 \(F(t)\)라 하면 \(\lim_{x \to a} \dfrac{1}{x - a}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = \lim_{x \to a} \dfrac{F(x) - F(a)}{x - a} = F'(a) = f(a)\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{1}^{x} f(t)\,dt = x^3 - 2x^2 + ax - 2\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 양변에 \(x = 1\)을 대입하여 상수 \(a\)의 값을 구하고, 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x - 2}\int_{2}^{x} t f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h}\int_{1 - h}^{1 + 2h} f(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.