2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 상용로그의 실생활 모델링(반감기·빛 투과율)과 부등식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 빛이 유리판 \(1\)장을 통과할 때마다 밝기가 일정한 비율 \(r\;(0 \lt r \lt 1)\)배가 될 때, 초기 밝기가 \(I_0\)인 빛이 \(n\)장의 유리판을 통과한 후의 밝기 \(I_n\)은 \(I_n = I_0 r^n\)이다.

빛이 특수 필름 \(1\)장을 통과할 때마다 그 밝기가 \(20\%\)씩 감소한다고 한다. 초기 밝기가 \(I_0\)인 빛이 \(n\)장의 특수 필름을 통과한 후의 밝기를 \(I_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.301\)로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 비율 \(r\)의 값을 구하고, \(\log_{10}\left(\dfrac{I_n}{I_0}\right)\)을 \(n\)에 대한 일차식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) \(5\)장의 필름을 통과한 후의 밝기 \(I_5\)는 초기 밝기 \(I_0\)의 몇 배인지 \(10\)의 거듭제곱 지수로 나타내고, \(\log_{10}\left(\dfrac{I_5}{I_0}\right)\)의 값을 소수로 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 빛의 밝기가 초기 밝기 \(I_0\)의 \(\dfrac{1}{10}\) 이하가 되려면 최소 몇 장의 특수 필름을 통과해야 하는지 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(r = 0.8,\; -0.097n\) | [1-2] \(10^{-0.485},\; -0.485\) | [1-3] 최소 \(11\)장

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(20\%\) 감소하므로 \(r = 1 - 0.2 = 0.8 = \dfrac{8}{10} = \dfrac{2^3}{10}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\log_{10} r = 3\log_{10} 2 - 1 = 0.903 - 1 = -0.097\)이므로 \(\log_{10}\left(\dfrac{I_n}{I_0}\right) = -0.097n\)이다. \(n = 5\)일 때 \(\log_{10}\left(\dfrac{I_5}{I_0}\right) = -0.485\)이고 \(\dfrac{I_5}{I_0} = 10^{-0.485}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(I_n \le \dfrac{1}{10}I_0 \iff -0.097n \le -1 \iff n \ge \dfrac{1000}{97} = 10.309\cdots\)이므로 최소 \(11\)장을 통과해야 한다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(r = 0.8\) 도출 +2점 / \(\log_{10} 0.8 = -0.097\) 계산으로 \(-0.097n\) 유도 +4점
소문항 [1-2] (7점)	• \(n = 5\) 대입 \(-0.485\) 산출 +4점 / \(10^{-0.485}\) 표현 +3점
소문항 [1-3] (7점)	• 부등식 \(-0.097n \le -1\) 수립 +4점 / 최소 자연수 \(11\)장 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log_{10} 0.8 = \log_{10}\dfrac{2^3}{10} = 3\log_{10} 2 - 1\)로 변형하면 \(\log_{10} 2\) 값 하나만으로 정확히 계산할 수 있습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 삼각형의 중선과 외접원 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 \(\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)을 구한 뒤, 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에 다시 코사인법칙을 적용하면 중선 \(\overline{\mathrm{AM}}\)의 길이를 구할 수 있다.

세 변의 길이가 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6,\; \overline{\mathrm{CA}} = 7\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)와 \(\sin B\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 중선 \(\overline{\mathrm{AM}}\)의 길이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\cos B = \dfrac{1}{5},\; \sin B = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) | [2-2] \(S = 6\sqrt{6},\; R = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}\) | [2-3] \(\overline{\mathrm{AM}} = 2\sqrt{7}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(c = 5,\; a = 6,\; b = 7\)을 코사인법칙에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos B = \dfrac{25 + 36 - 49}{2 \times 5 \times 6} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\)이고, \(\sin B = \sqrt{1 - \dfrac{1}{25}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\)이다. 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \dfrac{2\sqrt{6}}{5} = 6\sqrt{6}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{7}{2\sin B} = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\overline{\mathrm{BM}} = 3\)이므로 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에서 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \times \dfrac{1}{5} = 25 + 9 - 6 = 28\)이어서 \(\overline{\mathrm{AM}} = 2\sqrt{7}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(\cos B = \dfrac{1}{5}\) 산출 +3점 / \(\sin B = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (7점)	• 넓이 \(S = 6\sqrt{6}\) 계산 +3점 / 사인법칙 \(R = \dfrac{35\sqrt{6}}{24}\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• 삼각형 \(\mathrm{ABM}\) 코사인법칙 식 수립 +4점 / \(\overline{\mathrm{AM}} = 2\sqrt{7}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 파푸스의 중선정리 \(\overline{\mathrm{AB}}^2 + \overline{\mathrm{AC}}^2 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + \overline{\mathrm{BM}}^2)\)에 \(25 + 49 = 2(\overline{\mathrm{AM}}^2 + 9)\)를 대입하면 \(\overline{\mathrm{AM}}^2 = 28\)을 즉시 검산할 수 있습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 합성함수의 연속성과 구간별 이차·일차함수의 계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 불연속이고 좌극한 \(L_-\), 우극한 \(L_+\), 함숫값 \(f(a)\)를 가질 때, 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 합성함수 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)가 \(x = a\)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \(g(L_-) = g(L_+) = g(f(a))\)인 것이다.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 3 & (x \lt 1) \\ x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)와 이차함수 \(g(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 합성함수 \((g \circ f)(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이고 \(g(2) = 5\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(x = 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 좌극한 \(L_-\), 우극한 \(L_+\), 함숫값 \(f(1)\)을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 이차함수 \(g(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 1} g(f(x))\)의 값과 이차함수 \(g(x)\)의 최솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(L_- = 4,\; L_+ = 0,\; f(1) = 0\) | [3-2] \(a = -4,\; b = 9,\; g(x) = x^2 - 4x + 9\) | [3-3] 극한값 \(9\), 최솟값 \(5\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \to 1-\)일 때 \(f(x) \to 4\), \(x \to 1+\)일 때 \(f(x) \to 0\)이고 \(f(1) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)에 의해 \(g(4) = g(0)\)이어야 하므로 \(16 + 4a + b = b \implies a = -4\)이다. 또한 \(g(2) = 4 - 8 + b = 5\)에서 \(b = 9\)이므로 \(g(x) = x^2 - 4x + 9\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{x \to 1} g(f(x)) = g(0) = 9\)이고, \(g(x) = (x - 2)^2 + 5\)이므로 최솟값은 \(5\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(L_- = 4,\; L_+ = 0,\; f(1) = 0\) 산출 +6점
소문항 [3-2] (7점)	• \(g(4) = g(0) \implies a = -4\) 도출 +4점 / \(g(2) = 5 \implies b = 9\) 산출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• 극한값 \(g(0) = 9\) 도출 +3점 / 최솟값 \(5\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 이차함수 \(g(x)\)에서 \(g(4) = g(0)\)이라는 조건은 대칭축이 \(x = \dfrac{4 + 0}{2} = 2\)임을 의미하므로 \(a = -4\)를 즉시 알 수 있습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 도형의 최대 부피·넓이 최적화(내접 원기둥·직사각형)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 닫힌구간이나 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(V(r)\)이 구간 안에서 유일한 극댓값을 가지면, 그 극댓값은 구간 \((a, b)\)에서의 함수 \(V(r)\)의 최댓값과 같다.

밑면의 반지름의 길이가 \(6\)이고 높이가 \(12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥(밑면이 원뿔의 밑면 위에 놓인 원기둥)의 부피가 최대가 될 때를 분석하고자 한다. 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 \(r\;(0 \lt r \lt 6)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 닮음비를 이용하여 원기둥의 높이 \(h\)를 \(r\)에 대한 일차식으로 나타내고, 원기둥의 부피 \(V(r)\)을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 도함수 \(V'(r)\)을 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 부피 \(V(r)\)이 최대가 될 때의 반지름 \(r\)과 최대 부피 \(V_{\max}\)를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 부피가 최대일 때의 원기둥의 옆넓이 \(S_{\mathrm{side}} = 2\pi r h\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(h = 12 - 2r,\; V(r) = \pi r^2(12 - 2r)\) | [4-2] \(r = 4,\; V_{\max} = 64\pi\) | [4-3] \(32\pi\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 원뿔의 단면 직각삼각형의 닮음비 \((6 - r) : h = 6 : 12 = 1 : 2\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(h = 2(6 - r) = 12 - 2r\)이므로 \(V(r) = \pi r^2(12 - 2r) = 2\pi(6r^2 - r^3)\;(0 \lt r \lt 6)\)이다. 미분하면 \(V'(r) = 6\pi r(4 - r) = 0\)에서 \(r = 4\)일 때 유일한 극대이자 최대이며, \(V_{\max} = V(4) = 16\pi \times 4 = 64\pi\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(r = 4\)일 때 \(h = 4\)이므로 옆넓이는 \(2\pi r h = 2\pi \times 4 \times 4 = 32\pi\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 닮음비로 \(h = 12 - 2r\) 유도 +3점 / \(V(r) = \pi r^2(12-2r)\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(V'(r) = 6\pi r(4-r)\) 미분 +3점 / \(r = 4,\; V_{\max} = 64\pi\) 산출 +4점
소문항 [4-3] (7점)	• \(h = 4\) 대입 +3점 / 옆넓이 \(32\pi\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 직원뿔에 내접하는 원기둥의 부피는 항상 밑면 반지름이 원뿔 반지름의 \(\dfrac{2}{3}\) (높이는 원뿔 높이의 \(\dfrac{1}{3}\))일 때 최대가 됩니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 극값

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프 위의 점 \(x = \alpha\)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(\beta\;(\alpha \ne \beta)\)라 하면, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\beta} |a(x - \alpha)^2(x - \beta)|\,dx = \dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)이다.

곡선 \(C : y = x^3 - 3x^2 + 4\) 위의 점 \(\mathrm{A}(1, 2)\)가 아닌 점 \(\mathrm{P}(0, 4)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}(0, 4)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선 \(C\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(C\)와 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분(또는 제시문 (가))을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \((t, f(t))\;(0 \lt t \lt 3)\)에서 접선 \(l\)까지의 거리가 최대가 될 때의 \(t\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(y = 4,\; \mathrm{Q}(3, 4)\) | [5-2] \(S = \dfrac{27}{4}\) | [5-3] \(t = 2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이므로 \(f'(0) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 점 \(\mathrm{P}(0, 4)\)에서의 접선은 \(y = 4\)이고, \(x^3 - 3x^2 + 4 = 4 \iff x^2(x - 3) = 0\)에서 다시 만나는 점은 \(\mathrm{Q}(3, 4)\)이다. 따라서 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{0}^{3} (4 - (x^3 - 3x^2 + 4))\,dx = \dfrac{1}{12}(3 - 0)^4 = \dfrac{27}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 직선 \(y = 4\)와의 거리 \(4 - f(t)\;(0 \lt t \lt 3)\)가 최대가 되는 점은 접선의 기울기 \(f'(t) = 0\)인 극소점 \(t = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 접선 \(y = 4\) 도출 +3점 / 교점 \(\mathrm{Q}(3, 4)\) 산출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(\int_0^3 (-x^3+3x^2)\,dx\) 계산 +4점 / \(S = \dfrac{27}{4}\) 도출 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• 평행 접선 조건 \(f'(t) = 3t(t-2) = 0\) 설정 +4점 / \(t = 2\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차곡선과 접선의 두 교점 \(x = 0\) (중근)과 \(x = 3\) (단근)에 대하여 거리가 최대가 되는 점은 항상 \(2 : 1\) 내분점인 \(t = 2\)입니다.