2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 상용로그의 실생활 모델링(반감기·빛 투과율)과 부등식

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.13 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 빛이 유리판 \(1\)장을 통과할 때마다 밝기가 일정한 비율 \(r\;(0 \lt r \lt 1)\)배가 될 때, 초기 밝기가 \(I_0\)인 빛이 \(n\)장의 유리판을 통과한 후의 밝기 \(I_n\)은 \(I_n = I_0 r^n\)이다.

빛이 특수 필름 \(1\)장을 통과할 때마다 그 밝기가 \(20\%\)씩 감소한다고 한다. 초기 밝기가 \(I_0\)인 빛이 \(n\)장의 특수 필름을 통과한 후의 밝기를 \(I_n\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(\log_{10} 2 = 0.301\)로 계산한다.)

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 비율 \(r\)의 값을 구하고, \(\log_{10}\left(\dfrac{I_n}{I_0}\right)\)을 \(n\)에 대한 일차식으로 나타내시오.

[문항 1-2] (7점) \(5\)장의 필름을 통과한 후의 밝기 \(I_5\)는 초기 밝기 \(I_0\)의 몇 배인지 \(10\)의 거듭제곱 지수로 나타내고, \(\log_{10}\left(\dfrac{I_5}{I_0}\right)\)의 값을 소수로 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 빛의 밝기가 초기 밝기 \(I_0\)의 \(\dfrac{1}{10}\) 이하가 되려면 최소 몇 장의 특수 필름을 통과해야 하는지 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 삼각형의 중선과 외접원 넓이

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 \(\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)을 구한 뒤, 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)에 다시 코사인법칙을 적용하면 중선 \(\overline{\mathrm{AM}}\)의 길이를 구할 수 있다.

세 변의 길이가 \(\overline{\mathrm{AB}} = 5,\; \overline{\mathrm{BC}} = 6,\; \overline{\mathrm{CA}} = 7\)인 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 변 \(\mathrm{BC}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 코사인법칙을 이용하여 \(\cos B\)와 \(\sin B\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 중선 \(\overline{\mathrm{AM}}\)의 길이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 합성함수의 연속성과 구간별 이차·일차함수의 계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.17 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 불연속이고 좌극한 \(L_-\), 우극한 \(L_+\), 함숫값 \(f(a)\)를 가질 때, 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 합성함수 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)가 \(x = a\)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \(g(L_-) = g(L_+) = g(f(a))\)인 것이다.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 3 & (x \lt 1) \\ x - 1 & (x \ge 1) \end{cases}\)와 이차함수 \(g(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 합성함수 \((g \circ f)(x)\)가 \(x = 1\)에서 연속이고 \(g(2) = 5\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) \(x = 1\)에서 함수 \(f(x)\)의 좌극한 \(L_-\), 우극한 \(L_+\), 함숫값 \(f(1)\)을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 이차함수 \(g(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 1} g(f(x))\)의 값과 이차함수 \(g(x)\)의 최솟값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 도형의 최대 부피·넓이 최적화(내접 원기둥·직사각형)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 닫힌구간이나 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(V(r)\)이 구간 안에서 유일한 극댓값을 가지면, 그 극댓값은 구간 \((a, b)\)에서의 함수 \(V(r)\)의 최댓값과 같다.

밑면의 반지름의 길이가 \(6\)이고 높이가 \(12\)인 직원뿔에 내접하는 직원기둥(밑면이 원뿔의 밑면 위에 놓인 원기둥)의 부피가 최대가 될 때를 분석하고자 한다. 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 \(r\;(0 \lt r \lt 6)\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 닮음비를 이용하여 원기둥의 높이 \(h\)를 \(r\)에 대한 일차식으로 나타내고, 원기둥의 부피 \(V(r)\)을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 도함수 \(V'(r)\)을 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 부피 \(V(r)\)이 최대가 될 때의 반지름 \(r\)과 최대 부피 \(V_{\max}\)를 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 부피가 최대일 때의 원기둥의 옆넓이 \(S_{\mathrm{side}} = 2\pi r h\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 공식과 극값

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.27 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 삼차함수 \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 그래프 위의 점 \(x = \alpha\)에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표를 \(\beta\;(\alpha \ne \beta)\)라 하면, 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\beta} |a(x - \alpha)^2(x - \beta)|\,dx = \dfrac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)이다.

곡선 \(C : y = x^3 - 3x^2 + 4\) 위의 점 \(\mathrm{A}(1, 2)\)가 아닌 점 \(\mathrm{P}(0, 4)\)에서의 접선을 \(l\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}(0, 4)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하고, 접선 \(l\)이 곡선 \(C\)와 다시 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 곡선 \(C\)와 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분(또는 제시문 (가))을 이용하여 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 곡선 \(C\) 위의 점 \((t, f(t))\;(0 \lt t \lt 3)\)에서 접선 \(l\)까지의 거리가 최대가 될 때의 \(t\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.