2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 로그의 밑변환 공식과 연쇄 곱·가비의 원리

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)에 대하여 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)가 성립하며, 특히 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)이다.

\(1\)보다 큰 세 실수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b : \log_b c : \log_c a = 2 : 3 : 4\)가 아닌 \(\log_2 a = 2\log_4 b = 3\log_8 c = k\;(k \gt 0)\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(a, b, c\)를 각각 \(2\)의 거듭제곱(\(k\)에 대한 식)으로 나타내고, \(a, b, c\) 사이의 관계를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(abc = 64\)일 때, 양수 \(k\)의 값과 세 실수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 \(x = \log_2 3,\; y = \log_3 5,\; z = \log_5 8\)일 때, \(xyz\)의 값과 \(2^x + 3^y + 5^z\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(a = b = c = 2^k\) | [1-2] \(k = 2,\; a = b = c = 4\) | [1-3] \(xyz = 3\), 합 \(16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(2\log_4 b = 2 \cdot \dfrac{1}{2}\log_2 b = \log_2 b\)이고 \(3\log_8 c = 3 \cdot \dfrac{1}{3}\log_2 c = \log_2 c\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 따라서 \(\log_2 a = \log_2 b = \log_2 c = k\)이므로 \(a = b = c = 2^k\)이다. \(abc = 2^{3k} = 64 = 2^6\)에서 \(k = 2\)이고 \(a = b = c = 4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(xyz = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = 3\)이고, 로그의 정의에 의해 \(2^x = 3,\; 3^y = 5,\; 5^z = 8\)이므로 합은 \(3 + 5 + 8 = 16\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• 밑의 거듭제곱 변환 \(\log_2 a = \log_2 b = \log_2 c = k\) 유도 +3점 / \(a = b = c = 2^k\) 도출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(2^{3k} = 64 \implies k = 2\) 산출 +3점 / \(a = b = c = 4\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (7점)	• 연쇄 곱 \(xyz = 3\) 도출 +3점 / \(3 + 5 + 8 = 16\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b\) 공식을 적용하면 \(2\log_4 b = \log_2 b\)와 \(3\log_8 c = \log_2 c\)로 즉시 간단해집니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각함수의 주기와 대칭성을 이용한 방정식의 모든 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \cos(\omega x)\;(\omega \gt 0)\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)이며, 그 그래프는 직선 \(x = \dfrac{k\pi}{\omega}\) (\(k\)는 정수)에 대하여 선대칭이다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \cos 2x\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{1}{3}\)이 만나는 모든 점의 \(x\)좌표를 작은 것부터 차례로 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x) = \cos 2x\)의 주기를 구하고, 제시문 (가)의 선대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2\)와 \(x_3 + x_4\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 네 실근의 합 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)와 \(\cos(x_1 + x_4)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 \(\cos 2x = -\dfrac{1}{3}\)의 구간 \([0, 2\pi]\)에서의 네 실근을 작은 것부터 \(y_1, y_2, y_3, y_4\)라 할 때, \(x_1 + y_2\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 주기 \(\pi,\; x_1 + x_2 = \pi,\; x_3 + x_4 = 3\pi\) | [2-2] 합 \(4\pi,\; \cos(x_1 + x_4) = 1\) | [2-3] \(\dfrac{\pi}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(x) = \cos 2x\)의 주기는 \(\dfrac{2\pi}{2} = \pi\)이므로 구간 \([0, 2\pi]\)에 두 주기가 포함된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 첫 번째 주기 \([0, \pi]\)에서 두 교점 \(x_1, x_2\)는 직선 \(x = \dfrac{\pi}{2}\)에 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = \pi\)이고, 두 번째 주기 \([\pi, 2\pi]\)에서 \(x_3, x_4\)는 직선 \(x = \dfrac{3\pi}{2}\)에 대칭이므로 \(x_3 + x_4 = 3\pi\)이다. 따라서 네 근의 합은 \(4\pi\)이고 \(x_1 + x_4 = 2\pi\)이므로 \(\cos(x_1 + x_4) = \cos 2\pi = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 점 \(\left(\dfrac{\pi}{4}, 0\right)\)에 대한 점대칭성에 의하여 \(x_1\)과 \(y_2\)의 중점은 \(\dfrac{\pi}{4}\)이므로 \(x_1 + y_2 = \dfrac{\pi}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• 주기 \(\pi\) 도출 +2점 / \(x_1 + x_2 = \pi,\; x_3 + x_4 = 3\pi\) 산출 +4점
소문항 [2-2] (7점)	• 네 근의 합 \(4\pi\) 도출 +3점 / \(x_1 + x_4 = 2\pi \implies \cos 2\pi = 1\) 산출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• \(\cos(\pi - 2x_1) = -\cos 2x_1 = -\dfrac{1}{3}\) 대칭 관계 +4점 / \(x_1 + y_2 = \dfrac{\pi}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 특수각이 아닌 상수 \(y = \dfrac{1}{3}\)과의 교점은 개별 근을 구할 수 없으므로 반드시 대칭축의 \(x\)좌표의 \(2\)배로 두 근의 합을 구해야 합니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 원리합계(적립금)와 등비수열의 합 모델링

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 매월 초에 일정한 금액 \(A\)원을 월이율 \(r\)의 복리로 적립할 때, \(n\)번째 달 말의 적립금 원리합계 \(S_n\)은 첫째항이 \(A(1 + r)\), 공비가 \(1 + r\), 항수가 \(n\)인 등비수열의 합 \(S_n = \dfrac{A(1 + r)\{(1 + r)^n - 1\}}{r}\)이다.

연이율 \(r = 0.05\) (\(5\%\))이고 \(1\)년마다 복리로 계산하는 적금 상품에 매년 초 \(100\)만 원씩 \(10\)년 동안 적립할 때, \(10\)년째 말의 원리합계를 구하고자 한다. (단, \(1.05^{10} = 1.63\)으로 계산한다.) 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(n\)년째 말의 원리합계를 \(S_n\) (단위: 만 원)이라 할 때, \(S_1\)의 값과 \(S_{n+1}\)을 \(S_n\)으로 나타내는 점화식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(10\)년째 말의 원리합계 \(S_{10}\) (단위: 만 원)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 만약 매년 말이 되는 시점마다 \(100\)만 원씩 \(10\)년 동안 적립한다면(기말불), \(10\)년째 말의 원리합계 \(T_{10}\) (단위: 만 원)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(S_1 = 105,\; S_{n+1} = 1.05(S_n + 100)\) | [3-2] \(1323\)만 원 | [3-3] \(1260\)만 원

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(n\)년째 말의 잔액 \(S_n\)에 \((n+1)\)년째 초에 \(100\)만 원을 추가하여 \(1\)년간 이자 \(5\%\)가 붙으므로 \(S_{n+1} = 1.05(S_n + 100)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 제시문 (가)에 \(A = 100,\; r = 0.05,\; n = 10,\; 1.05^{10} = 1.63\)을 대입하면 \(S_{10} = \dfrac{100 \times 1.05 \times (1.63 - 1)}{0.05} = 2100 \times 0.63 = 1323\) (만 원)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 매년 말 적립(기말불)의 첫째항은 \(100\)이므로 \(T_{10} = \dfrac{100(1.63 - 1)}{0.05} = 2000 \times 0.63 = 1260\) (만 원)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(S_1 = 105\) 산출 +2점 / 점화식 \(S_{n+1} = 1.05(S_n + 100)\) 유도 +4점
소문항 [3-2] (7점)	• 기수불 등비수열 합 공식 대입 +4점 / \(1323\)만 원 도출 +3점
소문항 [3-3] (7점)	• 기말불 첫째항 \(100\) 설정 +4점 / \(1260\)만 원 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기수불(초 적립)의 원리합계 \(S_{10}\)은 기말불(말 적립)의 원리합계 \(T_{10}\)에 정확히 \(1 + r = 1.05\)를 곱한 값(\(1260 \times 1.05 = 1323\))과 같습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 삼차함수의 극값 존재 조건과 부등식이 항상 성립할 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않을 필요충분조건은 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)인 것이며, 이때 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가한다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3(a + 2)x + 1\)과 삼차함수 \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(g(x) \ge k\)가 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(-3 \le a \le 6\) | [4-2] 극댓값 \(g(-1) = 15\), 극솟값 \(g(3) = -17\) | [4-3] \(-17\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3(a + 2)\)일 때 판별식 \(\dfrac{D}{4} = a^2 - 9(a + 2) = (a + 3)(a - 6) \le 0\)을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극값을 갖지 않을 범위는 \(-3 \le a \le 6\)이다. \(a = -6\)일 때 \(f(x) = x^3 - 6x^2 - 12x + 1\)이므로 \(f'(x) = 3(x^2 - 4x - 4)\)가 아닌 정수 극점을 갖도록 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3(a + 2)x + 1\)에서 \(a = -5\)가 아닌 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)을 분석하면 \(f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)\)에서 극댓값은 \(f(-1) = 15\), 극솟값은 \(f(3) = -17\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x \ge 0\)에서 함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)은 \(x = 3\)에서 최솟값(극솟값) \(f(3) = -17\)을 가지므로, \(f(x) \ge k\)가 성립하기 위한 \(k\)의 최댓값은 \(-17\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• 도함수 판별식 \(\dfrac{D}{4} \le 0\) 설정 +3점 / \(-3 \le a \le 6\) 범위 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(g'(x) = 3(x+1)(x-3) = 0\) 인수분해 +3점 / 극댓값 \(15\), 극솟값 \(-17\) 산출 +4점
소문항 [4-3] (7점)	• \(x \ge 0\)에서 최솟값 \(g(3) = -17\) 판정 +4점 / \(k\)의 최댓값 \(-17\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 반무한 구간 \(x \ge 0\)에서 부등식 \(g(x) \ge k\)가 항상 성립하려면 구간 내 극솟값 \(g(3)\)과 경계값 \(g(0)\) 중 더 작은 값 이상이어야 합니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 절댓값 함수를 포함한 정적분의 구간 분할과 최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 정의된 절댓값 함수 \(|t - x|\;(a \le x \le b)\)의 정적분은 \(t = x\)를 경계로 구간을 \([a, x]\)와 \([x, b]\)로 나누어 \(\int_{a}^{b} |t - x|\,dt = \int_{a}^{x} (x - t)\,dt + \int_{x}^{b} (t - x)\,dt\)로 계산한다.

닫힌구간 \([0, 4]\)에 속하는 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{0}^{4} |2t - 2x|\,dt + \int_{0}^{2} (3t^2 - 2xt)\,dt\)로 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(0 \le x \le 4\)일 때 \(I(x) = \int_{0}^{4} |2t - 2x|\,dt\)를 \(x\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) \(J(x) = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2xt)\,dt\)를 구하고, 함수 \(F(x) = I(x) + J(x)\)를 완전제곱식으로 정리하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(F(x)\)가 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(I(x) = 2x^2 - 8x + 16\) | [5-2] \(J(x) = 8 - 4x,\; F(x) = 2(x - 3)^2 + 6\) | [5-3] \(x = 3\), 최솟값 \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(0 \le x \le 4\)이므로 구간 \([0, 4]\)를 \([0, x]\)와 \([x, 4]\)로 분할하여 절댓값을 제거한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(I(x) = \int_{0}^{x} (2x - 2t)\,dt + \int_{x}^{4} (2t - 2x)\,dt = x^2 + (4 - x)^2 = 2x^2 - 8x + 16\)이다. 또한 \(J(x) = \left[t^3 - xt^2\right]_{0}^{2} = 8 - 4x\)이므로 \(F(x) = 2x^2 - 12x + 24 = 2(x - 3)^2 + 6\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 꼭짓점 \(x = 3\)이 구간 \([0, 4]\)에 속하므로 \(x = 3\)일 때 최솟값 \(6\)을 갖는다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• \([0, x], [x, 4]\) 구간 분할 적분 +3점 / \(I(x) = 2x^2 - 8x + 16\) 유도 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• \(J(x) = 8 - 4x\) 산출 +3점 / \(F(x) = 2(x-3)^2 + 6\) 정리 +4점
소문항 [5-3] (7점)	• \(x = 3 \in [0, 4]\) 확인 +3점 / 최솟값 \(6\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\int_{0}^{4} |2t - 2x|\,dt\)는 두 직각이등변삼각형(밑변·높이가 \(x, 2x\)와 \(4-x, 2(4-x)\))의 넓이의 합 \(x^2 + (4 - x)^2\)과 같으므로 기하적으로도 즉시 검산할 수 있습니다.