2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 로그의 밑변환 공식과 연쇄 곱·가비의 원리

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-03, 12대수01-04]

<제시문 (가)> \(1\)이 아닌 양수 \(a, b, c\)에 대하여 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)가 성립하며, 특히 \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\)이다.

\(1\)보다 큰 세 실수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b : \log_b c : \log_c a = 2 : 3 : 4\)가 아닌 \(\log_2 a = 2\log_4 b = 3\log_8 c = k\;(k \gt 0)\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(a, b, c\)를 각각 \(2\)의 거듭제곱(\(k\)에 대한 식)으로 나타내고, \(a, b, c\) 사이의 관계를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(abc = 64\)일 때, 양수 \(k\)의 값과 세 실수 \(a, b, c\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 별도로 \(x = \log_2 3,\; y = \log_3 5,\; z = \log_5 8\)일 때, \(xyz\)의 값과 \(2^x + 3^y + 5^z\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 삼각함수의 주기와 대칭성을 이용한 방정식의 모든 실근의 합

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 함수 \(y = \cos(\omega x)\;(\omega \gt 0)\)의 주기는 \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)이며, 그 그래프는 직선 \(x = \dfrac{k\pi}{\omega}\) (\(k\)는 정수)에 대하여 선대칭이다.

닫힌구간 \([0, 2\pi]\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \cos 2x\)의 그래프와 직선 \(y = \dfrac{1}{3}\)이 만나는 모든 점의 \(x\)좌표를 작은 것부터 차례로 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 함수 \(f(x) = \cos 2x\)의 주기를 구하고, 제시문 (가)의 선대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2\)와 \(x_3 + x_4\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 네 실근의 합 \(x_1 + x_2 + x_3 + x_4\)와 \(\cos(x_1 + x_4)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 방정식 \(\cos 2x = -\dfrac{1}{3}\)의 구간 \([0, 2\pi]\)에서의 네 실근을 작은 것부터 \(y_1, y_2, y_3, y_4\)라 할 때, \(x_1 + y_2\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 원리합계(적립금)와 등비수열의 합 모델링

대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 매월 초에 일정한 금액 \(A\)원을 월이율 \(r\)의 복리로 적립할 때, \(n\)번째 달 말의 적립금 원리합계 \(S_n\)은 첫째항이 \(A(1 + r)\), 공비가 \(1 + r\), 항수가 \(n\)인 등비수열의 합 \(S_n = \dfrac{A(1 + r)\{(1 + r)^n - 1\}}{r}\)이다.

연이율 \(r = 0.05\) (\(5\%\))이고 \(1\)년마다 복리로 계산하는 적금 상품에 매년 초 \(100\)만 원씩 \(10\)년 동안 적립할 때, \(10\)년째 말의 원리합계를 구하고자 한다. (단, \(1.05^{10} = 1.63\)으로 계산한다.) 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(n\)년째 말의 원리합계를 \(S_n\) (단위: 만 원)이라 할 때, \(S_1\)의 값과 \(S_{n+1}\)을 \(S_n\)으로 나타내는 점화식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(10\)년째 말의 원리합계 \(S_{10}\) (단위: 만 원)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 만약 매년 말이 되는 시점마다 \(100\)만 원씩 \(10\)년 동안 적립한다면(기말불), \(10\)년째 말의 원리합계 \(T_{10}\) (단위: 만 원)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 삼차함수의 극값 존재 조건과 부등식이 항상 성립할 조건

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.16 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않을 필요충분조건은 이차방정식 \(f'(x) = 0\)의 판별식 \(D \le 0\)인 것이며, 이때 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가한다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3(a + 2)x + 1\)과 삼차함수 \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)에 대하여 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 실수이다.)

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(x \ge 0\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(g(x) \ge k\)가 성립하도록 하는 실수 \(k\)의 최댓값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 절댓값 함수를 포함한 정적분의 구간 분할과 최솟값

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 정의된 절댓값 함수 \(|t - x|\;(a \le x \le b)\)의 정적분은 \(t = x\)를 경계로 구간을 \([a, x]\)와 \([x, b]\)로 나누어 \(\int_{a}^{b} |t - x|\,dt = \int_{a}^{x} (x - t)\,dt + \int_{x}^{b} (t - x)\,dt\)로 계산한다.

닫힌구간 \([0, 4]\)에 속하는 실수 \(x\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{0}^{4} |2t - 2x|\,dt + \int_{0}^{2} (3t^2 - 2xt)\,dt\)로 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(0 \le x \le 4\)일 때 \(I(x) = \int_{0}^{4} |2t - 2x|\,dt\)를 \(x\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 5-2] (7점) \(J(x) = \int_{0}^{2} (3t^2 - 2xt)\,dt\)를 구하고, 함수 \(F(x) = I(x) + J(x)\)를 완전제곱식으로 정리하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 함수 \(F(x)\)가 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값과 최솟값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.