2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 지수방정식 연립과 거듭제곱 대칭비의 산출

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(a, b\)에 대하여 \(a^x = b^y = k\;(k \gt 0, k \ne 1)\)이면 \(a = k^{\frac{1}{x}},\; b = k^{\frac{1}{y}}\)이므로 \(ab = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)이 성립한다.

\(1\)이 아닌 두 양수 \(a, b\)와 \(0\)이 아닌 두 실수 \(x, y\)가 \(3^x = 5^y = 15^2\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(3\)과 \(5\)를 각각 \(15\)의 유리수 지수 거듭제곱으로 나타내고, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\dfrac{x + y}{xy}\)의 값과 \(\dfrac{x^2 + y^2}{xy}\)가 아닌 \(9^{\frac{x}{2}} + 25^{\frac{y}{2}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(3^{x-1} \cdot 5^{y-1}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(3 = 15^{\frac{2}{x}},\; 5 = 15^{\frac{2}{y}},\; \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\) | [1-2] \(\dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{2}\), 합 \(450\) | [1-3] \(15^3 = 3375\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(3^x = 15^2 \implies 3 = 15^{\frac{2}{x}}\)이고, \(5^y = 15^2 \implies 5 = 15^{\frac{2}{y}}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 두 식을 변끼리 곱하면 \(15 = 15^{\frac{2}{x} + \frac{2}{y}}\)이므로 \(\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \implies \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{1}{2}\)이다. 또한 \(9^{\frac{x}{2}} = 3^x = 225,\; 25^{\frac{y}{2}} = 5^y = 225\)이므로 합은 \(450\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(3^{x-1} \cdot 5^{y-1} = \dfrac{3^x \cdot 5^y}{3 \cdot 5} = \dfrac{15^2 \cdot 15^2}{15} = 15^3 = 3375\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1] (6점)	• \(3 = 15^{\frac{2}{x}},\; 5 = 15^{\frac{2}{y}}\) 유도 +3점 / \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}\) 산출 +3점
소문항 [1-2] (7점)	• \(\dfrac{x+y}{xy} = \dfrac{1}{2}\) 통분 +3점 / \(225 + 225 = 450\) 도출 +4점
소문항 [1-3] (7점)	• 지수 분리 \(\dfrac{3^x \cdot 5^y}{15}\) +4점 / 값 \(3375\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 로그를 쓰지 않고도 밑을 \(15\)로 통일하여 변끼리 곱하면 지수의 역수 합을 즉시 유도할 수 있습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 치환을 이용한 지수방정식의 두 실근의 합과 곱

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수방정식 \(a^{2x} - p a^x + q = 0\;(a \gt 0, a \ne 1)\)에서 \(t = a^x\;(t \gt 0)\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 양의 실근이 \(t_1 = a^\alpha,\; t_2 = a^\beta\)이면, \(t_1 t_2 = a^{\alpha + \beta} = q\)이다.

실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 4\cdot 3^{x+1} + 27 = 0\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(t = 3^x\;(t \gt 0)\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 세우고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 값을 각각 구하고, \(9^\alpha + 9^\beta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 별도의 지수방정식 \(4^x - k\cdot 2^x + 16 = 0\)의 서로 다른 두 실근의 합이 \(4\)이고 두 실근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(t^2 - 12t + 27 = 0,\; \alpha + \beta = 3\) | [2-2] \(\alpha = 1,\; \beta = 2,\; 9^\alpha + 9^\beta = 90\) | [2-3] \(8 \lt k \lt 17\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(9^x = (3^x)^2 = t^2,\; 4\cdot 3^{x+1} = 12t\)이므로 \(t^2 - 12t + 27 = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 근과 계수의 관계에 의해 \(3^\alpha \cdot 3^\beta = 3^{\alpha + \beta} = 27 = 3^3\)이므로 \(\alpha + \beta = 3\)이다. 인수분해하면 \((t - 3)(t - 9) = 0\)에서 \(t = 3, 9\)이므로 \(\alpha = 1, \beta = 2\)이고 \(9^1 + 9^2 = 90\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(u = 2^x\)로 치환한 \(u^2 - ku + 16 = 0\)에서 \(x \gt 0 \iff u \gt 1\)이므로 두 근이 모두 \(1\)보다 커야 한다. 판별식 \(D = k^2 - 64 \gt 0 \implies k \gt 8\), 축 \(\dfrac{k}{2} \gt 1\), 경계값 \(f(1) = 17 - k \gt 0 \implies k \lt 17\)이므로 \(8 \lt k \lt 17\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1] (6점)	• \(t^2 - 12t + 27 = 0\) 작성 +3점 / \(3^{\alpha+\beta} = 27 \implies \alpha+\beta = 3\) 도출 +3점
소문항 [2-2] (7점)	• \(\alpha = 1, \beta = 2\) 산출 +3점 / \(9^\alpha + 9^\beta = 90\) 도출 +4점
소문항 [2-3] (7점)	• \(x \gt 0 \iff u \gt 1\) 근의 분리 전환 +3점 / \(D \gt 0\) 및 \(f(1) \gt 0\)으로 \(8 \lt k \lt 17\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 지수방정식에서 '두 실근 \(x\)가 모두 양수'라는 조건은 치환 변수 \(u = 2^x\)에서는 '\(u \gt 0\)'이 아니라 '\(u \gt 2^0 = 1\)'이라는 점에 특히 유의해야 합니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 삼각함수의 최대·최소와 이차함수 치환 합성

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)이고 \(-1 \le \sin x \le 1\)이므로, \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)로 바꾸고 \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하면 삼각함수의 최대·최소를 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서의 이차함수의 최대·최소로 구할 수 있다.

\(0 \le x \lt 2\pi\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \cos^2 x - 2\sin x + a\)의 최댓값이 \(7\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환한 함수 \(g(t)\)를 완전제곱식으로 정리하시오.

[문항 3-2] (7점) 상수 \(a\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\alpha\)와 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\beta\)의 합 \(\alpha + \beta\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(g(t) = -(t + 1)^2 + a + 2\;(-1 \le t \le 1)\) | [3-2] \(a = 5\), 최솟값 \(3\) | [3-3] \(2\pi\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - t^2\)을 대입하여 \(g(t) = -t^2 - 2t + 1 + a\)로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(g(t) = -(t + 1)^2 + a + 2\;(-1 \le t \le 1)\)이므로 \(t = -1\)에서 최댓값 \(g(-1) = a + 2 = 7 \implies a = 5\)를 갖는다. 최솟값은 \(t = 1\)일 때 \(g(1) = -4 + 7 = 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 최댓값은 \(\sin\alpha = -1 \implies \alpha = \dfrac{3\pi}{2}\)에서, 최솟값은 \(\sin\beta = 1 \implies \beta = \dfrac{\pi}{2}\)에서 가지므로 \(\alpha + \beta = 2\pi\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1] (6점)	• \(\cos^2 x = 1 - t^2\) 변환 +3점 / \(g(t) = -(t+1)^2 + a + 2\) 유도 +3점
소문항 [3-2] (7점)	• \(a = 5\) 산출 +3점 / 최솟값 \(g(1) = 3\) 도출 +4점
소문항 [3-3] (7점)	• \(\alpha = \dfrac{3\pi}{2},\; \beta = \dfrac{\pi}{2}\) 도출 +4점 / 합 \(2\pi\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 치환한 변수 \(t = \sin x\)의 범위 \(-1 \le t \le 1\)을 반드시 명시해야 꼭짓점 \(t = -1\)이 정의역에 포함됨을 논증할 수 있습니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 다항함수의 무한대·영점 동시 극한과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = p\)이면 \(f(0) = 0,\; f'(0) = p\)이고, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = q\)이면 \(f(1) = 0,\; f'(1) = q\)이다.

삼차함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4\)와 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 8\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x) = x(x - 2)(ax + b)\) 꼴로 나타내고, 두 극한 조건을 \(a, b\)에 대한 연립방정식으로 세우시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(-2b = 4,\; 2(2a + b) = 8\) | [4-2] \(a = 3,\; b = -2,\; f(x) = 3x^3 - 8x^2 + 4x\) | [4-3] \(2\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f(0) = 0,\; f(2) = 0\)이므로 삼차함수 \(f(x)\)는 \(x(x - 2)\)를 인수로 갖는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(x) = x(x - 2)(ax + b)\)를 대입하면 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = -2b = 4 \implies b = -2\)이고, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 2(2a + b) = 8\)일 때 \(2a - 2 = 4 \implies a = 3\)이다. 따라서 \(f(x) = x(x - 2)(3x - 2) = 3x^3 - 8x^2 + 4x\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(-1) = -15\)이고, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to 2} \dfrac{x(3x - 2)}{x + 2} = \dfrac{2 \times 4}{4} = 2\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1] (6점)	• \(f(x) = x(x-2)(ax+b)\) 인수 설정 +3점 / \(-2b = 4,\; 2(2a+b) = 8\) 도출 +3점
소문항 [4-2] (7점)	• \(a = 3,\; b = -2\) 산출 +4점 / \(f(x) = x(x-2)(3x-2)\) 완성 +3점
소문항 [4-3] (7점)	• \(x - 2\) 약분 변형 +4점 / 극한값 \(2\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 점 \(x = 0, 2\)에서 분모가 \(0\)으로 가고 극한이 수렴하므로 \(f(x)\)를 전개식 대신 인수분해 꼴 \(x(x - 2)(ax + b)\)로 두면 미정계수가 \(2\)개로 줄어듭니다.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정과 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면, \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 \(c \in (a, b)\)가 적어도 하나 존재한다 (평균값 정리).

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (0, 3)\)와 일반 구간 \([a, a + h]\)를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하고, 제시문 (가)의 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이차함수 \(g(x) = px^2 + qx + r\;(p \ne 0)\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)가 항상 구간의 중점 \(\dfrac{a + b}{2}\)임을 증명하시오.

[문항 5-3] (7점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 1 + h]\;(h \gt 0)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c(h) = 1 + \theta h\;(0 \lt \theta \lt 1)\)라 할 때, \(\lim_{h \to 0+} \theta\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] 평균변화율 \(6,\; c = \sqrt{3}\) | [5-2] \(g'(c) = 2pc + q = p(a + b) + q \implies c = \dfrac{a + b}{2}\) | [5-3] \(\dfrac{1}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 구간 \([0, 3]\)에서 평균변화율은 \(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{18 - 0}{3} = 6\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(c) = 3c^2 - 3 = 6\;(0 \lt c \lt 3)\)에서 \(c^2 = 3 \implies c = \sqrt{3}\)이다. 또한 이차함수 \(g(x)\)에서는 \(\dfrac{g(b) - g(a)}{b - a} = p(a + b) + q\)이고 \(g'(c) = 2pc + q\)이므로 \(2pc = p(a + b) \implies c = \dfrac{a + b}{2}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\dfrac{f(1 + h) - f(1)}{h} = 3\theta(2 + \theta h) + \cdots \iff 3(1 + \theta h)^2 - 3 = \dfrac{(1 + h)^3 - 3(1 + h) + 2}{h} = 3h + h^2\)이므로 \(6\theta + 3\theta^2 h = 3 + h\)에서 \(\lim_{h \to 0+} \theta = \dfrac{1}{2}\)이다.

배점 단계 (총 20점)	숙명여자대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1] (6점)	• 평균변화율 \(6\) 산출 +3점 / \(3c^2 - 3 = 6 \implies c = \sqrt{3}\) 도출 +3점
소문항 [5-2] (7점)	• 이차함수 평균변화율 \(p(a+b)+q\) 계산 +4점 / \(c = \dfrac{a+b}{2}\) 증명 +3점
소문항 [5-3] (7점)	• \(6\theta + 3\theta^2 h = 3 + h\) 관계식 유도 +4점 / 극한값 \(\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차교정항이 \(0\)이 아닌 모든 매끄러운 함수에서 구간 길이 \(h \to 0+\)일 때 평균값 정리의 내분비 \(\theta\)의 극한은 항상 \(\dfrac{1}{2}\)로 수렴합니다.