2027학년도 대비 숙명여자대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 1] 지수방정식 연립과 거듭제곱 대칭비의 산출

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(a, b\)에 대하여 \(a^x = b^y = k\;(k \gt 0, k \ne 1)\)이면 \(a = k^{\frac{1}{x}},\; b = k^{\frac{1}{y}}\)이므로 \(ab = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\)이 성립한다.

\(1\)이 아닌 두 양수 \(a, b\)와 \(0\)이 아닌 두 실수 \(x, y\)가 \(3^x = 5^y = 15^2\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(3\)과 \(5\)를 각각 \(15\)의 유리수 지수 거듭제곱으로 나타내고, \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\dfrac{x + y}{xy}\)의 값과 \(\dfrac{x^2 + y^2}{xy}\)가 아닌 \(9^{\frac{x}{2}} + 25^{\frac{y}{2}}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) \(3^{x-1} \cdot 5^{y-1}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 2] 치환을 이용한 지수방정식의 두 실근의 합과 곱

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수방정식 \(a^{2x} - p a^x + q = 0\;(a \gt 0, a \ne 1)\)에서 \(t = a^x\;(t \gt 0)\)로 치환한 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 양의 실근이 \(t_1 = a^\alpha,\; t_2 = a^\beta\)이면, \(t_1 t_2 = a^{\alpha + \beta} = q\)이다.

실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(9^x - 4\cdot 3^{x+1} + 27 = 0\)의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(t = 3^x\;(t \gt 0)\)로 치환하여 얻은 이차방정식을 세우고, 제시문 (가)를 이용하여 \(\alpha + \beta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 실근 \(\alpha, \beta\)의 값을 각각 구하고, \(9^\alpha + 9^\beta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 별도의 지수방정식 \(4^x - k\cdot 2^x + 16 = 0\)의 서로 다른 두 실근의 합이 \(4\)이고 두 실근이 모두 양수가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 3] 삼각함수의 최대·최소와 이차함수 치환 합성

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)이고 \(-1 \le \sin x \le 1\)이므로, \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)로 바꾸고 \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환하면 삼각함수의 최대·최소를 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서의 이차함수의 최대·최소로 구할 수 있다.

\(0 \le x \lt 2\pi\)에서 정의된 함수 \(f(x) = \cos^2 x - 2\sin x + a\)의 최댓값이 \(7\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(t = \sin x\;(-1 \le t \le 1)\)로 치환한 함수 \(g(t)\)를 완전제곱식으로 정리하시오.

[문항 3-2] (7점) 상수 \(a\)의 값과 함수 \(f(x)\)의 최솟값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\alpha\)와 최솟값을 가질 때의 \(x\)의 값 \(\beta\)의 합 \(\alpha + \beta\)를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 4] 다항함수의 무한대·영점 동시 극한과 미정계수 결정

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = p\)이면 \(f(0) = 0,\; f'(0) = p\)이고, \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = q\)이면 \(f(1) = 0,\; f'(1) = q\)이다.

삼차함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{x} = 4\)와 \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x - 2} = 8\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x) = x(x - 2)(ax + b)\) 꼴로 나타내고, 두 극한 조건을 \(a, b\)에 대한 연립방정식으로 세우시오.

[문항 4-2] (7점) 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 삼차함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x)}{x^2 - 4}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 숙명여자대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술90%+교과10% · 수능최저 2합5)

[대문항 5] 평균값 정리를 만족시키는 상수의 결정과 극한

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하면, \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)를 만족시키는 \(c \in (a, b)\)가 적어도 하나 존재한다 (평균값 정리).

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (0, 3)\)와 일반 구간 \([a, a + h]\)를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 함수 \(f(x)\)의 평균변화율을 구하고, 제시문 (가)의 평균값 정리를 만족시키는 상수 \(c \in (0, 3)\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이차함수 \(g(x) = px^2 + qx + r\;(p \ne 0)\)에 대하여 닫힌구간 \([a, b]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)가 항상 구간의 중점 \(\dfrac{a + b}{2}\)임을 증명하시오.

[문항 5-3] (7점) 함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 닫힌구간 \([1, 1 + h]\;(h \gt 0)\)에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c(h) = 1 + \theta h\;(0 \lt \theta \lt 1)\)라 할 때, \(\lim_{h \to 0+} \theta\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.