2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 9회 해설집 | 9회 : 타원 초점 코사인법칙과 접선 · 동점 삼각형 넓이 변화율 · 절댓값 일차결합 미분가능성 · 우함수 주기 정적분 · 정사면체 이면각과 정사영 넓이

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 타원 초점 삼각형의 코사인법칙과 접선까지의 수선 거리 곱 불변성 (20점)

기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 성질 (2025 서강대 자연 2차 1번 심화) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.20 탐구 91 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(a \gt b \gt 0)\)의 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\;(c^2 = a^2 - b^2)\)과 타원 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} + \overline{\mathrm{FP}} = 2a\)이다.
<제시문 (나)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)에 접하고 기울기가 \(m\)인 직선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}\)이다.

두 초점이 \(\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)\)인 타원 \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1\) 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}\)가 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 60^\circ\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2\)라 할 때, 타원의 정의와 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)에서의 코사인법칙을 연립하여 곱 \(l_1 l_2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 이 타원에 접하고 기울기가 \(1\)이고 \(y\)절편이 양수인 접선 \(L\)의 방정식을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 두 초점 \(\mathrm{F}(2, 0),\; \mathrm{F}'(-2, 0)\)에서 [문항 1-2]의 접선 \(L\)에 내린 수선의 길이를 각각 \(d_1,\; d_2\)라 할 때, 곱 \(d_1 d_2\)의 값을 구하여 단축 반지름의 제곱 \(b^2 = 5\)와 일치함을 보이시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}\), 넓이 \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) | [1-2] \(L : y = x + \sqrt{14}\) | [1-3] \(d_1 d_2 = 5\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 장축 길이가 \(2a = 6\)이므로 \(l_1 + l_2 = 6\)이다. 코사인법칙에 의해 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 16 = l_1^2 + l_2^2 - l_1 l_2 = (l_1 + l_2)^2 - 3l_1 l_2 = 36 - 3l_1 l_2\)이므로 \(l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}\)이고, 넓이는 \(\dfrac{1}{2}l_1 l_2 \sin 60^\circ = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\)이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] \(a^2 = 9,\; b^2 = 5,\; m = 1\)을 제시문 (나)의 접선 공식에 대입하면 \(\sqrt{a^2 m^2 + b^2} = \sqrt{9 + 5} = \sqrt{14}\)이고 \(y\)절편이 양수이므로 \(L : y = x + \sqrt{14}\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 직선 \(x - y + \sqrt{14} = 0\)에서 두 초점 \((2, 0),\; (-2, 0)\)까지의 거리는 \(d_1 = \dfrac{|2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}},\; d_2 = \dfrac{|-2 + \sqrt{14}|}{\sqrt{2}}\)이다. 따라서 \(d_1 d_2 = \dfrac{(\sqrt{14})^2 - 2^2}{2} = \dfrac{14 - 4}{2} = 5 = b^2\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(36 - 3l_1 l_2 = 16\)으로부터 \(l_1 l_2 = \dfrac{20}{3}\) 도출 +3점 / 넓이 \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\sqrt{9(1)^2 + 5} = \sqrt{14}\) 계산 +3점 / \(L : y = x + \sqrt{14}\) 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 점과 직선 거리 \(d_1,\; d_2\) 식 수립 +4점 / 합차공식으로 \(d_1 d_2 = 5\) 유도 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 타원의 두 초점에서 임의의 접선에 내린 두 수선의 길이의 곱 \(d_1 d_2\)는 접선의 기울기 \(m\)에 관계없이 항상 \(b^2\)으로 일정합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 선분 위 동점과 코사인법칙으로 정의된 삼각형 넓이의 순간변화율 (20점)

대수 Ⅱ-2. 삼각함수와 미적분 결합 (2025 서강대 자연 1차 1-4번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.38 탐구 92 변형 | 성취기준: 12대수02-02, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 두 변의 길이 \(\overline{\mathrm{AB}} = c,\; \overline{\mathrm{AC}} = b\)와 끼인각 \(\angle \mathrm{A} = \theta\)가 주어지면 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}bc\sin\theta\)이고, 마주 보는 변의 제곱은 \(\overline{\mathrm{BC}}^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta\)이다.
<제시문 (나)> 시각 또는 매개변수 \(t\)에 대한 다항함수 \(S(t)\)의 순간변화율은 도함수 \(S'(t)\)로 구한다.

두 반직선 \(\mathrm{OX},\; \mathrm{OY}\)가 이루는 각이 \(\angle \mathrm{XOY} = 60^\circ\)이다. 반직선 \(\mathrm{OX}\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)와 반직선 \(\mathrm{OY}\) 위의 점 \(\mathrm{Q}\)가 \(\overline{\mathrm{OP}} = t,\; \overline{\mathrm{OQ}} = 6 - t\;(0 \lt t \lt 6)\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이 \(S(t)\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이의 제곱 \(L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2\)을 각각 \(t\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 선분 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이가 최소가 될 때의 \(t\)의 값, \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 최솟값, 그리고 그때의 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(t = 2\)일 때 \(L(t) = \overline{\mathrm{PQ}}^2\)의 순간변화율 \(L'(2)\)와 선분 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 길이, 그리고 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 외접원의 반지름 \(R\)을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2),\; L(t) = 3t^2 - 18t + 36\) | [2-2] \(t = 3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min} = 3,\; S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(L'(2) = -6,\; \overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3},\; R = 2\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] \(S(t) = \dfrac{1}{2}t(6 - t)\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)\)이다. 또한 코사인법칙에 의해 \(L(t) = t^2 + (6 - t)^2 - 2t(6 - t)\cos 60^\circ = 2t^2 - 12t + 36 - (6t - t^2) = 3t^2 - 18t + 36\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] \(L(t) = 3(t - 3)^2 + 9\)이므로 \(t = 3\)일 때 \(L(t)\)는 최솟값 \(9\), 즉 \(\overline{\mathrm{PQ}}\)의 최솟값은 \(3\)이고, 이때 넓이는 \(S(3) = \dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(L'(t) = 6t - 18\)이므로 \(L'(2) = -6\)이다. \(t = 2\)일 때 \(L(2) = 12 - 36 + 36 = 12\)이므로 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}\)이고, 사인법칙에 의해 \(2R = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 4 \implies R = 2\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(S(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(6t - t^2)\) 도출 +3점 / 코사인법칙으로 \(L(t) = 3t^2 - 18t + 36\) 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 \(3(t-3)^2 + 9\) 변형 +3점 / \(t=3,\; \overline{\mathrm{PQ}}_{\min}=3,\; S(3)=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\) 산출 +4점
소문항 [2-3]	• \(L'(2) = -6\) 및 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{3}\) 계산 +4점 / 사인법칙으로 \(R = 2\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 두 변의 길이의 합 \(t + (6 - t) = 6\)이 일정할 때 \(t = 3\)에서 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)는 한 변의 길이가 \(3\)인 정삼각형이 되어 넓이는 최대, 마주 보는 변의 길이는 최소가 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 삼차함수와 일차함수 차로 정의된 절댓값 함수의 미분가능성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (변곡 접선과 미분가능성) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.45 탐구 93 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 다항함수 \(h(x)\)에 대하여 절댓값 함수 \(|h(x)|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 방정식 \(h(x) = 0\)의 모든 실근이 중근 이상의 거듭제곱근이어야 한다.
<제시문 (나)> 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식 \(h(x) = 0\)은 적어도 하나의 실근을 가지므로, \(|h(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(h(x) = a(x - \alpha)^3\) 꼴로 삼중근을 갖는 것이다.

삼차함수 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 15x - 8\)과 직선 \(y = mx + n\)에 대하여 절댓값 함수의 미분가능성을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (나)를 이용하여 함수 \(g_1(x) = |f(x) - mx|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 삼중근 \(x = \alpha\)와 상수 \(m\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) [문항 3-1]에서 구한 \(\alpha,\; m\)에 대하여 직선 \(y = mx\)가 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((\alpha, f(\alpha))\)에서의 접선임을 미분계수로 확인하시오.

[문항 3-3] (7점) 직선 \(y = 6x - 4\)에 대하여 함수 \(g_2(x) = |f(x) - (6x - 4)|\)가 미분가능하지 않은 실수 \(x\)의 값을 구하고, 정적분 \(\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(\alpha = 2,\; m = 3\) | [3-2] \(f(2) = 6,\; f'(2) = 3\)이므로 접선 \(y = 3x\) 일치 | [3-3] \(x = 4\)에서만 미분불가능, 정적분 \(\dfrac{27}{4}\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \((x - \alpha)^3 = x^3 - 3\alpha x^2 + 3\alpha^2 x - \alpha^3\)를 \(f(x) - mx = x^3 - 6x^2 + (15 - m)x - 8\)과 계수 비교하면 \(-3\alpha = -6 \implies \alpha = 2\)이고 \(-\alpha^3 = -8\)이 성립한다. 일차항 계수 비교 \(15 - m = 3\alpha^2 = 12\)에서 \(m = 3\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \(\alpha = 2\)일 때 \(f(2) = 8 - 24 + 30 - 8 = 6\)이고, \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 15\)에서 \(f'(2) = 12 - 24 + 15 = 3\)이므로 점 \((2, 6)\)에서의 접선은 \(y - 6 = 3(x - 2) \implies y = 3x\)로 일치한다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] \(h(x) = f(x) - (6x - 4) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 = (x - 1)^2(x - 4)\)이다. \(x = 1\)은 중근이므로 미분가능하고, 단근인 \(x = 4\)에서만 미분가능하지 않다. 또한 구간 \([1, 4]\)에서 \(h(x) \le 0\)이므로 \(\int_{1}^{4} g_2(x)\,dx = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4)\,dx = \dfrac{1}{12}(4 - 1)^4 = \dfrac{27}{4}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \((x - \alpha)^3\) 계수 비교로 \(\alpha = 2\) 도출 +3점 / \(15 - m = 12 \implies m = 3\) 산출 +3점
소문항 [3-2]	• \(f(2) = 6,\; f'(2) = 3\) 계산 +4점 / 접선 방정식 \(y = 3x\) 일치 확인 +3점
소문항 [3-3]	• \((x-1)^2(x-4)\) 인수분해 및 \(x = 4\) 미분불가능 판정 +4점 / 정적분 \(\dfrac{27}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차다항식 \(h(x)\)가 \((x-1)^2(x-4)\)로 인수분해될 때 중근 \(x=1\)에서는 그래프가 \(x\)축에 접하므로 절댓값을 씌워도 미분가능하고, 관통하는 단근 \(x=4\)에서만 첨점이 생깁니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 대칭성과 주기 조건을 만족시키는 연속함수의 정적분 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분의 성질 (2025 서강대 자연 1차 2-4번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 탐구 94 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 우함수 \(f(-x) = f(x)\)는 닫힌구간 \([-a, a]\)에서 \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx\)를 만족시키고, 기함수 \(g(-x) = -g(x)\)는 \(\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0\)을 만족시킨다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + p) = f(x)\;(p \gt 0)\)를 만족시키는 주기함수는 임의의 한 주기 구간에서의 정적분 값이 \(\int_{a}^{a+p} f(x)\,dx = \int_{0}^{p} f(x)\,dx\)로 일정하다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 논제에 답하시오.
(조건 1) \(0 \le x \le 2\)일 때 \(f(x) = 3x^2 - 6x + 4\)이다.
(조건 2) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x) = f(x)\)이고 \(f(x + 4) = f(x)\)이다.

[문항 4-1] (6점) \(-2 \le x \le 0\)에서 함수 \(f(x)\)의 식을 구하고, 한 주기 구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분 \(I = \int_{-2}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 정적분 \(\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(H(t) = \int_{t}^{t+4} x f(x)\,dx\)의 도함수 \(H'(t)\)를 구하고, \(H(0)\)과 \(H(2)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(-2 \le x \le 0\)에서 \(3x^2 + 6x + 4,\; I = 8\) | [4-2] \(160\) | [4-3] \(H'(t) = 4f(t),\; H(0) = 16,\; H(2) = 32\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(-2 \le x \le 0\)이면 \(0 \le -x \le 2\)이므로 \(f(x) = f(-x) = 3(-x)^2 - 6(-x) + 4 = 3x^2 + 6x + 4\)이다. 우함수 성질에 의해 \(I = 2\int_{0}^{2} (3x^2 - 6x + 4)\,dx = 2\left[x^3 - 3x^2 + 4x\right]_{0}^{2} = 2(8 - 12 + 8) = 8\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 주기 \(4\)에 의해 \(\int_{-6}^{10} f(x)\,dx = 4I = 32\)이다. 또한 \(x = u + 2\)로 평행이동하면 \(f(u + 2)\)는 \(u = 0\)에 대하여 대칭(\(f(2 - u) = f(u - 2) = f(u + 2)\))이므로 \(\int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx = \int_{-8}^{8} u f(u + 2)\,du = 0\)이다. 따라서 \(\int_{-6}^{10} (x + 3)f(x)\,dx = \int_{-6}^{10} (x - 2)f(x)\,dx + 5\int_{-6}^{10} f(x)\,dx = 0 + 5\times 32 = 160\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] \(H'(t) = (t + 4)f(t + 4) - t f(t) = (t + 4)f(t) - t f(t) = 4f(t)\)이다. \(x = 2\) 대칭성에 의해 \(\int_{0}^{4} (x - 2)f(x)\,dx = 0\)이므로 \(H(0) = \int_{0}^{4} x f(x)\,dx = 2\int_{0}^{4} f(x)\,dx = 2\times 8 = 16\)이다. 또한 \(H(2) - H(0) = \int_{0}^{2} 4f(t)\,dt = 4\times 4 = 16\)이므로 \(H(2) = 16 + 16 = 32\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(f(x) = 3x^2 + 6x + 4\) 유도 +3점 / 한 주기 적분 \(I = 8\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• \(4\)주기 적분 \(32\) 및 대칭점 \(x = 2\) 분리 +4점 / \(5\times 32 = 160\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• \(H'(t) = 4f(t)\) 유도 +3점 / \(H(0) = 16,\; H(2) = 32\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 우함수이면서 주기가 \(4\)인 함수는 \(x = 0\)뿐 아니라 \(x = 2\)의 모든 정수배에서도 대칭축을 가지므로, 구간 \([-6, 10]\)의 중점 \(x = 2\)를 기준으로 \((x - 2)f(x)\)의 정적분이 \(0\)이 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 9회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 정사면체의 이면각 코사인과 평면 위로의 정사영 넓이 (20점)

기하 Ⅲ-2. 삼수선의 정리와 정사영 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅲ. 공간도형과 공간좌표 (DB: GEOM_Ch03_비상) PDF p.18 탐구 95 변형 | 성취기준: 12기하03-03, 12기하03-05]

<제시문 (가)> 한 모서리의 길이가 \(a\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에서 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{G}\)는 정삼각형 \(\mathrm{BCD}\)의 무게중심이다.
<제시문 (나)> 평면 \(\alpha\) 위의 넓이가 \(S\)인 도형을 평면 \(\beta\) 위로 정사영한 넓이는 \(S' = S\cos\theta\) (단, \(\theta\)는 두 평면이 이루는 예각)이다.

한 모서리의 길이가 \(6\)인 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)에서 모서리 \(\mathrm{CD}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\), 꼭짓점 \(\mathrm{A}\)에서 밑면 \(\mathrm{BCD}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{G}\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정삼각형 \(\mathrm{ACD}\)와 \(\mathrm{BCD}\)의 중선 \(\overline{\mathrm{AM}},\; \overline{\mathrm{BM}}\)의 길이를 구하고, 두 면 \(\mathrm{ACD},\; \mathrm{BCD}\)가 이루는 이면각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 정사면체 \(\mathrm{ABCD}\)의 높이 \(\overline{\mathrm{AG}}\)와 부피 \(V\)를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ACD}\)의 밑면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영의 넓이 \(S_1\)과, 삼각형 \(\mathrm{ABM}\)의 밑면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영의 넓이 \(S_2\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3},\; \cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) | [5-2] \(\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6},\; V = 18\sqrt{2}\) | [5-3] \(S_1 = 3\sqrt{3},\; S_2 = 0\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 한 변의 길이가 \(6\)인 정삼각형의 높이는 \(\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}\)이다. 무게중심 \(\mathrm{G}\)는 \(\overline{\mathrm{BM}}\)을 \(2 : 1\)로 내분하므로 \(\overline{\mathrm{GM}} = \sqrt{3}\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{AGM}\)에서 \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{GM}}}{\overline{\mathrm{AM}}} = \dfrac{1}{3}\), \(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] 높이는 \(\overline{\mathrm{AG}} = \overline{\mathrm{AM}}\sin\theta = 3\sqrt{3}\times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{6}\)이다. 밑면 \(\triangle\mathrm{BCD}\)의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2 = 9\sqrt{3}\)이므로 부피는 \(V = \dfrac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6} = 18\sqrt{2}\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] \(\triangle\mathrm{ACD}\)의 넓이는 \(9\sqrt{3}\)이므로 밑면 \(\mathrm{BCD}\) 위로의 정사영 넓이는 \(S_1 = 9\sqrt{3}\cos\theta = 3\sqrt{3}\)이다. 한편 \(\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{AM}}\)이고 \(\overline{\mathrm{CD}} \perp \overline{\mathrm{BM}}\)이므로 평면 \(\mathrm{ABM}\)은 밑면 \(\mathrm{BCD}\)에 수직이다. 따라서 \(\triangle\mathrm{ABM}\)의 밑면 위로의 정사영은 선분 \(\mathrm{BM}\)이 되어 넓이는 \(S_2 = 0\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(\overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{BM}} = 3\sqrt{3}\) 산출 +2점 / \(\cos\theta = \dfrac{1}{3},\; \sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) 도출 +4점
소문항 [5-2]	• 높이 \(\overline{\mathrm{AG}} = 2\sqrt{6}\) 계산 +3점 / 부피 \(V = 18\sqrt{2}\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• \(S_1 = 9\sqrt{3}\times\dfrac{1}{3} = 3\sqrt{3}\) 산출 +4점 / 수직 평면 논증으로 \(S_2 = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정사면체에서 마주 보는 모서리 \(\mathrm{AB}\)와 \(\mathrm{CD}\)는 서로 수직이고 평면 \(\mathrm{ABM}\)은 밑면 \(\mathrm{BCD}\)와 수직(\(90^\circ\))을 이루므로 정사영이 선분으로 축퇴되어 넓이가 \(0\)이 됩니다.