2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 8회 해설집 | 8회 : 포물선 초점현과 직교접선 · 비선형 계차 귀납법과 부분분수 · 평균값 정리와 역함수 미분 · 삼차곡선 접선 넓이 분할 · 평면벡터 내분점 최대·최소

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 포물선의 초점 현 성질과 수직인 두 접선의 교점 자취 (20점)

기하 Ⅰ-1. 포물선과 접선의 방정식 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.10 탐구 81 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 초점이 \(\mathrm{F}(p, 0)\)이고 준선이 \(x = -p\;(p \gt 0)\)인 포물선의 방정식은 \(y^2 = 4px\)이며, 포물선 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서 초점까지의 거리는 \(\overline{\mathrm{FP}} = x_1 + p\)이다.
<제시문 (나)> 포물선 \(y^2 = 4px\)에 접하고 기울기가 \(m\;(m \ne 0)\)인 접선의 방정식은 \(y = mx + \dfrac{p}{m}\)이며, 포물선 위의 점 \((x_1, y_1)\)에서의 접선은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이다.

초점이 \(\mathrm{F}(2, 0)\)이고 준선이 \(x = -2\)인 포물선 \(C : y^2 = 8x\) 위의 두 점 \(\mathrm{A}(2, 4),\; \mathrm{B}(x_2, y_2)\)를 지나는 직선이 초점 \(\mathrm{F}\)를 지날 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(\overline{\mathrm{AF}}\)의 길이를 구하고, 직선 \(\mathrm{AB}\)가 \(x\)축에 수직임을 이용하여 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표와 초점 현 \(\overline{\mathrm{AB}}\)의 길이를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 포물선 \(C : y^2 = 8x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(8, 8)\)에서의 접선 \(L_1\)의 방정식과, 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 포물선 위의 점 \(\mathrm{Q}\)에서의 접선 \(L_2\)가 \(L_1\)과 수직일 때 직선 \(L_2\)의 방정식을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 두 수직 접선 \(L_1,\; L_2\)의 교점 \(\mathrm{R}\)의 좌표를 구하여 점 \(\mathrm{R}\)이 준선 \(x = -2\) 위에 있음을 확인하고, 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(\overline{\mathrm{AF}} = 4,\; \mathrm{B}(2, -4),\; \overline{\mathrm{AB}} = 8\) | [1-2] \(L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4,\; L_2 : y = -2x - 1\) | [1-3] \(\mathrm{R}(-2, 3)\), 넓이 \(\dfrac{125}{4}\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] \(p = 2\)이므로 \(\overline{\mathrm{AF}} = x_1 + p = 2 + 2 = 4\)이다. \(\mathrm{A}(2, 4)\)와 \(\mathrm{F}(2, 0)\)의 \(x\)좌표가 같으므로 직선 \(\mathrm{AB}\)는 \(x = 2\)이고, 대칭점 \(\mathrm{B}(2, -4)\)이므로 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8\)이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{P}(8, 8)\)에서의 접선 \(L_1\)은 \(8y = 4(x + 8) \iff y = \dfrac{1}{2}x + 4\)로 기울기가 \(m_1 = \dfrac{1}{2}\)이다. \(L_1\)과 수직인 접선 \(L_2\)의 기울기는 \(m_2 = -2\)이므로 제시문 (나)에 의해 \(L_2 : y = -2x + \dfrac{2}{-2} = -2x - 1\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] \(L_1\)과 \(L_2\)를 연립하면 \(\dfrac{1}{2}x + 4 = -2x - 1 \implies \dfrac{5}{2}x = -5 \implies x = -2,\; y = 3\)이므로 \(\mathrm{R}(-2, 3)\)은 준선 \(x = -2\) 위에 있다. 접점 \(\mathrm{Q}\)는 \(-2y = 4(x + x_2)\)에서 \(\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{PQR}\)에서 \(\overline{\mathrm{PR}} = \sqrt{10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5},\; \overline{\mathrm{QR}} = \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + (-5)^2} = \dfrac{5\sqrt{5}}{2}\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 5\sqrt{5}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2} = \dfrac{125}{4}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(\overline{\mathrm{AF}} = 4\) 산출 +2점 / \(\mathrm{B}(2, -4)\) 및 \(\overline{\mathrm{AB}} = 8\) 도출 +4점
소문항 [1-2]	• \(L_1 : y = \dfrac{1}{2}x + 4\) 유도 +3점 / 수직 기울기 \(-2\)로부터 \(L_2 : y = -2x - 1\) 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 교점 \(\mathrm{R}(-2, 3)\) 및 \(\mathrm{Q}\left(\dfrac{1}{2}, -2\right)\) 도출 +4점 / 직각삼각형 넓이 \(\dfrac{125}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 포물선 \(y^2 = 4px\)에 그은 서로 수직인 두 접선의 교점은 항상 준선 \(x = -p\) 위에 존재하며, 두 접점을 잇는 현은 초점 \(\mathrm{F}(p, 0)\)를 지납니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 계차 구조를 갖는 수열의 귀납적 정의와 부분분수 급수 합 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.6 탐구 82 변형 | 성취기준: 12대수03-04, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} - a_n = d_n\)을 만족시키면 \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k\)이다.
<제시문 (나)> 부분분수 항등식 \(\dfrac{1}{k(k+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right)\)를 이용하면 두 칸 간격으로 상쇄되는 부분합을 구할 수 있다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 3\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = a_n + 2n + 3\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 이차식으로 구하고 인수분해하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}\)를 \(n\)에 대한 식으로 나타내고, \(S_5\)의 값을 기약분수로 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 부등식 \(\dfrac{3}{4} - S_n \lt \dfrac{1}{6}\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a_n = n(n + 2)\) | [2-2] \(S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)},\; S_5 = \dfrac{25}{42}\) | [2-3] \(n = 5\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 3 + (n - 1)n + 3(n - 1) = n^2 + 2n = n(n + 2)\)이며, \(n = 1\)일 때도 \(a_1 = 1\times 3 = 3\)으로 성립한다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] \(\dfrac{1}{a_k} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 2}\right)\)이므로 \(S_n = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{n + 1} - \dfrac{1}{n + 2}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}\)이다. \(n = 5\)를 대입하면 \(S_5 = \dfrac{3}{4} - \dfrac{13}{84} = \dfrac{50}{84} = \dfrac{25}{42}\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(\dfrac{3}{4} - S_n = \dfrac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)} \lt \dfrac{1}{6} \iff (n + 1)(n + 2) \gt 3(2n + 3) \iff n^2 - 3n - 7 \gt 0\)이다. \(n = 4\)일 때 \(16 - 12 - 7 = -3 \lt 0\)이고 \(n = 5\)일 때 \(25 - 15 - 7 = 3 \gt 0\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(5\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 계차 합 \(\sum_{k=1}^{n-1}(2k+3)\) 계산 +3점 / \(a_n = n(n+2)\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(S_n = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)}\) 유도 +4점 / \(S_5 = \dfrac{25}{42}\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• \(\dfrac{2n+3}{2(n+1)(n+2)} \lt \dfrac{1}{6}\) 정리 +4점 / 최솟값 \(n = 5\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 \(k(k+2)\)인 부분분수 합에서는 앞의 두 항 \(1 + \dfrac{1}{2}\)과 뒤의 두 항 \(-\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}\)이 남는다는 점을 기억하십시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 평균값 정리를 이용한 부등식 증명과 역함수 접선의 넓이 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (평균값 정리와 역함수) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.32 탐구 83 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)인 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.
<제시문 (나)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수가 \(f'(x) \gt 0\)이면 역함수 \(g(x)\)가 존재하며, \(b = f(a)\)일 때 역함수의 미분계수는 \(g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 \(f(x) = x^3 + 3x + 2\)와 그 역함수 \(g(x)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실수 \(x_1 \lt x_2\)에 대하여 부등식 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)\)이 성립함을 증명하고, 등호가 성립할 수 있는지 판정하시오.

[문항 3-2] (7점) \(f(0) = 2,\; f(1) = 6\)임을 이용하여 역함수의 미분계수 \(g'(2)\)와 \(g'(6)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \(\mathrm{B}(2, 0)\)에서의 접선 \(L_1\)의 방정식을 구하고, 직선 \(L_1\)과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3\) 증명, \(x_1 \lt x_2\)에서 항상 등호 불성립 | [3-2] \(g'(2) = \dfrac{1}{3},\; g'(6) = \dfrac{1}{6}\) | [3-3] \(L_1 : y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\), 넓이 \(\dfrac{2}{3}\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] 평균값 정리에 의해 \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3\;(x_1 \lt c \lt x_2)\)이므로 양변에 \(x_2 - x_1 \gt 0\)을 곱하면 \(f(x_2) - f(x_1) \ge 3(x_2 - x_1)\)이다. 특히 \((x_2 - x_1)(x_2^2 + x_2 x_1 + x_1^2) \gt 0\)이므로 실제로는 항상 \(f(x_2) - f(x_1) \gt 3(x_2 - x_1)\)이 성립한다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \(f'(x) = 3x^2 + 3\)이므로 \(f'(0) = 3,\; f'(1) = 6\)이다. 제시문 (나)에 의해 \(g'(2) = \dfrac{1}{f'(0)} = \dfrac{1}{3}\)이고 \(g'(6) = \dfrac{1}{f'(1)} = \dfrac{1}{6}\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] 점 \(\mathrm{B}(2, 0)\)에서의 접선 \(L_1\)은 \(y = \dfrac{1}{3}(x - 2) = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\)이고, 점 \(\mathrm{A}(6, 1)\)에서의 접선 \(L_2\)는 \(y - 1 = \dfrac{1}{6}(x - 6) \implies y = \dfrac{1}{6}x\)이다. \(L_1\)과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 직각삼각형의 절편은 \((2, 0),\; \left(0, -\dfrac{2}{3}\right)\)이므로 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 2\times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 평균값 정리 \(f'(c) = 3c^2 + 3 \ge 3\) 적용 +4점 / 부등식 유도 및 등호 판정 +2점
소문항 [3-2]	• \(g'(2) = \dfrac{1}{3}\) 산출 +3점 / \(g'(6) = \dfrac{1}{6}\) 도출 +4점
소문항 [3-3]	• 접선 \(y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}\) 유도 +4점 / 넓이 \(\dfrac{2}{3}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 역함수 \(y = g(x)\)의 그래프를 직접 구하지 않고도 \(g(b) = a \iff f(a) = b\)와 \(g'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}\)만으로 역함수 위의 모든 접선을 정확히 구할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 삼차곡선 위의 점에서의 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.25 탐구 84 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 최고차항의 계수가 \(a\)인 삼차함수 \(y = f(x)\) 위의 점 \((p, f(p))\)에서의 접선 \(y = l(x)\)가 곡선과 다시 만나는 점의 \(x\)좌표가 \(q\)이면 \(f(x) - l(x) = a(x - p)^2(x - q)\)로 인수분해된다.
<제시문 (나)> 삼차곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_{\min(p,q)}^{\max(p,q)} |a(x - p)^2(x - q)|\,dx = \dfrac{|a|}{12}|q - p|^4\)이다.

삼차곡선 \(C : y = x^3 - 3x\) 위의 점 \(\mathrm{P}(1, -2)\)에서의 접선을 \(L\)이라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}(1, -2)\)에서의 접선 \(L\)의 방정식을 구하고, 접선 \(L\)이 곡선 \(C\)와 다시 만나는 교점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 곡선 \(C\)와 접선 \(L\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 정적분으로 계산하시오.

[문항 4-3] (7점) 열린구간 \((-2, 1)\)에서 곡선 \(C\) 위의 동점 \(\mathrm{R}(t, t^3 - 3t)\)와 두 점 \(\mathrm{P},\; \mathrm{Q}\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이가 최대가 될 때의 \(t\)의 값과 그때의 최대 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(L : y = -2,\; \mathrm{Q}(-2, -2)\) | [4-2] \(S = \dfrac{27}{4}\) | [4-3] \(t = -1\), 최대 넓이 \(6\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이므로 \(f'(1) = 0\)이어서 접선 \(L\)의 방정식은 \(y = -2\)이다. \(x^3 - 3x = -2 \iff (x - 1)^2(x + 2) = 0\)이므로 다시 만나는 교점은 \(\mathrm{Q}(-2, -2)\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] 구간 \([-2, 1]\)에서 \(x^3 - 3x \ge -2\)이므로 둘러싸인 넓이는 \(S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 선분 \(\mathrm{PQ}\)는 직선 \(y = -2\) 위의 길이 \(1 - (-2) = 3\)인 수평선분이므로, 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이가 최대가 되려면 높이 \((t^3 - 3t) - (-2)\)가 최대가 되어야 한다. 구간 \((-2, 1)\)에서 \(f'(t) = 3(t + 1)(t - 1) = 0\)인 극대점은 \(t = -1\)이고 이때 \(f(-1) = 2\)이므로 최대 높이는 \(2 - (-2) = 4\), 최대 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선 \(L : y = -2\) 유도 +3점 / 인수분해로 \(\mathrm{Q}(-2, -2)\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• 정적분 \(\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx\) 전개 +4점 / 넓이 \(S = \dfrac{27}{4}\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• 극대점 \(t = -1,\; f(-1) = 2\) 도출 +4점 / 최대 넓이 \(\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 점 \(\mathrm{P}(1, -2)\)는 극소점이므로 접선 \(L : y = -2\)는 \(x\)축에 평행한 수평접선이 되어 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 밑변 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 3\)과 높이 계산이 매우 직관적입니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 8회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 평면벡터의 선분 내분점 치환과 원 위 동점의 벡터 크기 최대·최소 (20점)

기하 Ⅱ-2. 평면벡터의 내적과 위치벡터 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅱ. 평면벡터 (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.22 탐구 85 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 평면 위의 두 정점 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)와 임의의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점을 \(\mathrm{D}\)라 하면 \(\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}} = 3\overrightarrow{\mathrm{PD}}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름이 \(r\)인 원 위의 동점 \(\mathrm{P}\)와 정점 \(\mathrm{D}\) 사이의 거리 \(|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|\)의 최댓값은 \(\overline{\mathrm{OD}} + r\)이고 최솟값은 \(|\overline{\mathrm{OD}} - r|\)이다.

좌표평면 위의 두 점 \(\mathrm{A}(1, 6),\; \mathrm{B}(4, 3)\)과 원 \(C : x^2 + y^2 = 4\) 위를 움직이는 동점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)의 좌표를 구하고, 원점 \(\mathrm{O}\)에서 점 \(\mathrm{D}\)까지의 거리 \(\overline{\mathrm{OD}}\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 벡터 \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\)의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}|\)가 최댓값을 가질 때의 원 위의 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구하고, 그때 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\mathrm{D}(3, 4),\; \overline{\mathrm{OD}} = 5\) | [5-2] \(M = 21,\; m = 9\) | [5-3] \(\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)\), 내적 \(-10\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(2 : 1\)로 내분하는 점 \(\mathrm{D}\)의 좌표는 \(\left(\dfrac{2\cdot 4 + 1\cdot 1}{3}, \dfrac{2\cdot 3 + 1\cdot 6}{3}\right) = (3, 4)\)이고, \(\overline{\mathrm{OD}} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(|\overrightarrow{\mathrm{PA}} + 2\overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 3|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|\)이고 원 \(C\)의 반지름은 \(r = 2\)이다. 따라서 \(|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|\)의 최댓값은 \(5 + 2 = 7\), 최솟값은 \(5 - 2 = 3\)이므로 \(M = 3\times 7 = 21,\; m = 3\times 3 = 9\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] \(|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|\)가 최대일 때 점 \(\mathrm{P}\)는 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 점 \(\mathrm{D}(3, 4)\)의 정반대 방향에 있으므로 \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = -\dfrac{2}{5}\overrightarrow{\mathrm{OD}} = \left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)\)이다. 이때 두 벡터는 반대 방향이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = -2\times 5 = -10\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 내분점 \(\mathrm{D}(3, 4)\) 산출 +3점 / \(\overline{\mathrm{OD}} = 5\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(3\|\overrightarrow{\mathrm{PD}}\|\) 변형 및 \(r = 2\) 적용 +3점 / \(M = 21,\; m = 9\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 반대 방향 단위벡터로 \(\mathrm{P}\left(-\dfrac{6}{5}, -\dfrac{8}{5}\right)\) 도출 +4점 / 내적 \(-10\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 시점이 동점 \(\mathrm{P}\)인 일차결합 벡터 \(p\overrightarrow{\mathrm{PA}} + q\overrightarrow{\mathrm{PB}}\)는 항상 내분점 \(\mathrm{D}\)를 도입하여 \((p + q)\overrightarrow{\mathrm{PD}}\)로 단일 벡터화하면 기하학적 최대·최소가 즉시 해결됩니다.