2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 7회 해설집 | 7회 : 타원 초점 직각삼각형과 접선 · 지수방정식 치환 근의 분리 · 절댓값 함수 유일교점 기울기 · 정적분 정의 함수 극값 · 베이즈 정리와 모비율 신뢰구간

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 타원의 초점 직각삼각형 성질과 접선의 절편 삼각형 넓이 (20점)

기하 Ⅰ-1. 타원과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 2차 1번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.18 탐구 71 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\)으로부터의 거리의 합이 \(2a\;(a \gt c \gt 0)\)인 타원의 방정식은 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(b^2 = a^2 - c^2)\)이다.
<제시문 (나)> 타원 \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{a^2} + \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.

두 초점이 \(\mathrm{F}(3, 0),\; \mathrm{F}'(-3, 0)\)인 타원 \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1\) 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)이 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2\)라 할 때, 타원의 정의 \(l_1 + l_2 = 8\)과 피타고라스 정리를 연립하여 곱 \(l_1 l_2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이를 밑변 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 6\)과 높이 \(y_1\)로 나타내어 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A},\; \mathrm{B}\)라 할 때, 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이 \(S\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(l_1 l_2 = 14\), 넓이 \(7\) | [1-2] \(\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)\) | [1-3] \(S = 9\sqrt{2}\)

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 타원의 장축 길이는 \(2a = 8\)이므로 \(l_1 + l_2 = 8\)이고, 직각삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)에서 \(l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 6^2 = 36\)이다. 따라서 \(2l_1 l_2 = 8^2 - 36 = 28 \implies l_1 l_2 = 14\)이고 넓이는 \(\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 7\)이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 6\times y_1 = 3y_1 = 7\)이므로 \(y_1 = \dfrac{7}{3}\)이다. 타원 방정식에 대입하면 \(\dfrac{x_1^2}{16} = 1 - \dfrac{49/9}{7} = \dfrac{2}{9}\)이고 \(x_1 \gt 0\)이므로 \(x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}\), 즉 \(\mathrm{P}\left(\dfrac{4\sqrt{2}}{3}, \dfrac{7}{3}\right)\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{16} + \dfrac{y_1 y}{7} = 1\)이므로 \(x\)절편은 \(x_{\mathrm{A}} = \dfrac{16}{x_1} = \dfrac{16}{4\sqrt{2}/3} = 6\sqrt{2}\), \(y\)절편은 \(y_{\mathrm{B}} = \dfrac{7}{y_1} = 3\)이다. 따라서 삼각형 \(\mathrm{OAB}\)의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 3 = 9\sqrt{2}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(l_1 + l_2 = 8,\; l_1^2 + l_2^2 = 36\) 연립 +3점 / \(l_1 l_2 = 14\) 및 넓이 \(7\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• 높이 \(y_1 = \dfrac{7}{3}\) 도출 +3점 / 타원 식 대입으로 \(x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{3}\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 절편 \(x_{\mathrm{A}} = 6\sqrt{2},\; y_{\mathrm{B}} = 3\) 도출 +4점 / 넓이 \(S = 9\sqrt{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 타원 위의 초점 직각삼각형 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)의 넓이는 항상 \(b^2 = 7\)과 같다는 성질을 알고 있으면 \(y_1 = \dfrac{b^2}{c} = \dfrac{7}{3}\)을 즉시 검산할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 치환된 지수방정식의 실근 부호 조건과 로그 근과 계수의 관계 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.12 탐구 72 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> 지수방정식 \(4^x - p\cdot 2^x + q = 0\)에서 \(t = 2^x\;(t \gt 0)\)으로 치환하면 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)으로 변환되며, \(x \gt 0\)인 양의 실근은 \(t \gt 1\)인 실근에 일대일 대응한다.
<제시문 (나)> 이차방정식 \(t^2 - pt + q = 0\)의 두 양의 실근이 \(t_1 = 2^\alpha,\; t_2 = 2^\beta\)이면 근과 계수의 관계에 의하여 \(2^{\alpha+\beta} = t_1 t_2 = q\)이다.

실수 \(x\)에 대한 지수방정식 \(4^x - 6\cdot 2^x + k = 0\)이 서로 다른 두 실근 \(\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 가질 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

[문항 2-1] (6점) \(t = 2^x\)으로 치환한 이차방정식 \(h(t) = t^2 - 6t + k = 0\)이 서로 다른 두 양의 실근 \(t_1,\; t_2\)를 갖기 위한 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 주어진 지수방정식의 두 실근 \(\alpha,\; \beta\)가 모두 양수(\(0 \lt \alpha \lt \beta\))가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 제시문 (가)를 이용하여 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\alpha + \beta = 3\)일 때 상수 \(k\)의 값을 구하고, 그때 \(4^\alpha + 4^\beta\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(0 \lt k \lt 9\) | [2-2] \(5 \lt k \lt 9\) | [2-3] \(k = 8,\; 4^\alpha + 4^\beta = 20\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 치환된 방정식 \(t^2 - 6t + k = 0\)은 대칭축이 \(t = 3 \gt 0\)이므로 서로 다른 두 양의 실근을 가질 필요충분조건은 판별식 \(D/4 = 9 - k \gt 0\)과 \(h(0) = k \gt 0\), 즉 \(0 \lt k \lt 9\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] 두 실근 \(\alpha,\; \beta\)가 모두 양수가 되려면 \(t_1 = 2^\alpha \gt 1,\; t_2 = 2^\beta \gt 1\)이어야 한다. 대칭축 \(t = 3 \gt 1\)이고 \(D/4 = 9 - k \gt 0\)이므로 경계 조건 \(h(1) = 1 - 6 + k = k - 5 \gt 0\)을 연립하면 \(5 \lt k \lt 9\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 \(t_1 t_2 = 2^{\alpha+\beta} = 2^3 = 8\)이므로 \(k = 8\)이다. 또한 \(t_1 + t_2 = 6\)이므로 \(4^\alpha + 4^\beta = t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1 t_2 = 36 - 16 = 20\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 판별식 \(9 - k \gt 0\) 및 \(h(0) = k \gt 0\) 설정 +3점 / \(0 \lt k \lt 9\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(x \gt 0 \iff t \gt 1\) 변환 및 \(h(1) = k - 5 \gt 0\) 도출 +4점 / \(5 \lt k \lt 9\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• \(k = 2^3 = 8\) 도출 +3점 / \(t_1^2 + t_2^2 = 36 - 16 = 20\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(x \gt 0\)이라는 조건을 치환 변수 \(t = 2^x\)에 적용할 때 \(t \gt 0\)이 아니라 \(t \gt 2^0 = 1\)로 경계가 바뀐다는 점이 근의 분리의 핵심입니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 절댓값 결합 함수의 단조증가 증명과 직선과의 유일 교점 기울기 범위 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 2차 2-3번 변형) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.36 탐구 73 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-07]

<제시문 (가)> 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 연속이고 각 부분 열린구간에서 \(g'(x) \gt 0\)이면 \(g(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 순증가한다.
<제시문 (나)> 곡선 \(y = g(x)\) 위의 첨점 \((1, g(1))\)을 지나는 직선 \(y = k(x - 1) + g(1)\)이 구간 \([0, 2]\)에서 곡선과 오직 한 점에서만 만나려면 직선이 두 구간 \([0, 1),\; (1, 2]\)에서 곡선과 추가로 만나지 않아야 한다.

닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 함수 \(g(x) = 3x + |x^2 - 1|\)과 점 \(\mathrm{A}(1, 3)\)을 지나는 직선 \(L : y = k(x - 1) + 3\;(k \gt 0)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 구간 \([0, 1]\)과 구간 \([1, 2]\)에서 \(g(x)\)의 식을 각각 구하고, \(x = 1\)에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 증가함을 보이고, 양 끝점 \(\mathrm{B}(0, g(0))\)와 \(\mathrm{C}(2, g(2))\)에 대하여 두 할선 \(\mathrm{AB},\; \mathrm{AC}\)의 기울기를 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 \(g(x) = k(x - 1) + 3\)이 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 \(x = 1\)을 유일한 실근으로 갖도록 하는 양수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 좌미분계수 \(1\), 우미분계수 \(5\) | [3-2] 할선 \(\mathrm{AB}\) 기울기 \(2\), 할선 \(\mathrm{AC}\) 기울기 \(6\) | [3-3] \(2 \lt k \lt 5\) 또는 \(k \gt 6\) (경계 포함 조건 분석)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \(0 \le x \le 1\)에서는 \(g(x) = -x^2 + 3x + 1\)이므로 \(g'(x) = -2x + 3\)이고 좌미분계수는 \(g'_{-}(1) = 1\)이다. \(1 \le x \le 2\)에서는 \(g(x) = x^2 + 3x - 1\)이므로 \(g'(x) = 2x + 3\)이고 우미분계수는 \(g'_{+}(1) = 5\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \([0, 1)\)에서 \(g'(x) = -2x + 3 \gt 1 \gt 0\)이고 \((1, 2]\)에서 \(g'(x) = 2x + 3 \gt 5 \gt 0\)이므로 \(g(x)\)는 \([0, 2]\)에서 증가한다. 또한 \(\mathrm{B}(0, 1),\; \mathrm{A}(1, 3),\; \mathrm{C}(2, 9)\)이므로 할선 \(\mathrm{AB}\)의 기울기는 \(\dfrac{3 - 1}{1 - 0} = 2\), 할선 \(\mathrm{AC}\)의 기울기는 \(\dfrac{9 - 3}{2 - 1} = 6\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] (i) \(0 \le x \lt 1\)에서 \(-x^2 + 3x + 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + k - 2) = 0\)이므로 \(x = 2 - k\)가 \([0, 1)\)에 속하지 않으려면 \(2 - k \lt 0\) 또는 \(2 - k \ge 1\), 즉 \(k \gt 2\) 또는 \(0 \lt k \le 1\)이다. (ii) \(1 \lt x \le 2\)에서 \(x^2 + 3x - 1 = k(x - 1) + 3 \iff (x - 1)(x + 4 - k) = 0\)이므로 \(x = k - 4\)가 \((1, 2]\)에 속하지 않으려면 \(k - 4 \le 1\) 또는 \(k - 4 \gt 2\), 즉 \(k \le 5\) 또는 \(k \gt 6\)이다. (i)과 (ii)의 공통범위는 \(0 \lt k \le 1\) 또는 \(2 \lt k \le 5\) 또는 \(k \gt 6\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 구간별 다항식 정리 +2점 / 좌미분계수 \(1\), 우미분계수 \(5\) 도출 +4점
소문항 [3-2]	• \(g'(x) \gt 0\) 증가 논증 +3점 / 할선 \(\mathrm{AB}\) 기울기 \(2\), 할선 \(\mathrm{AC}\) 기울기 \(6\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \([0, 1)\) 조건(\(0 \lt k \le 1\) 또는 \(k \gt 2\)) 및 \((1, 2]\) 조건(\(k \le 5\) 또는 \(k \gt 6\)) 도출 +4점 / 공통범위 완성 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2025학년도 서강대 자연 2차 2-3번 기출의 핵심 아이디어를 다항함수로 구현한 문항으로, 첨점 \(\mathrm{A}(1, 3)\)에서의 접선 기울기(\(1, 5\))와 양 끝점 할선 기울기(\(2, 6\))가 유일 교점의 경계가 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 정적분으로 정의된 이차 가중 함수의 도함수와 극값 차 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.19 탐구 74 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(G(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)를 \(x\)에 대하여 미분하면 \(G'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\)이고 \(G''(x) = f(x)\)이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 \(H(x)\)의 도함수가 \(H'(x) = 3(x - \alpha)(x - \beta)\;(\alpha \lt \beta)\)이면 \(H(x)\)의 극댓값과 극솟값의 차는 \(\int_{\alpha}^{\beta} |H'(x)|\,dx = \dfrac{3}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

일차함수 \(f(x) = 6x - 18\)에 대하여 함수 \(G(x) = \int_{1}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 도함수 \(G'(x)\)를 \(x\)에 대한 이차식으로 구하고, 방정식 \(G'(x) = 0\)의 두 실근 \(\alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)\)를 구하시오.

[문항 4-2] (7점) \(G(1)\)과 \(G'(1)\)의 값을 이용하여 삼차함수 \(G(x)\)의 식을 구하고, 함수 \(G(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = G(x)\)의 변곡점(이계도함수 \(G''(x) = 0\)인 점)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(G'(x) = 3x^2 - 18x + 15,\; \alpha = 1,\; \beta = 5\) | [4-2] 극댓값 \(G(1) = 0\), 극솟값 \(G(5) = -32\) | [4-3] \(y = -12x + 20\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] 제시문 (가)에 의해 \(G'(x) = \int_{1}^{x} (6t - 18)\,dt = \left[3t^2 - 18t\right]_{1}^{x} = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x - 1)(x - 5)\)이다. 따라서 \(G'(x) = 0\)의 두 실근은 \(\alpha = 1,\; \beta = 5\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] \(G'(x) = 3x^2 - 18x + 15\)를 적분하고 \(G(1) = 0\)을 대입하면 \(G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7\)이다. 따라서 극댓값은 \(G(1) = 0\)이고, 극솟값은 \(G(5) = 125 - 225 + 75 - 7 = -32\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] \(G''(x) = f(x) = 6x - 18 = 0\)에서 \(x = 3\)이다. 이때 \(G(3) = 27 - 81 + 45 - 7 = -16\)이고 접선의 기울기는 \(G'(3) = 27 - 54 + 15 = -12\)이므로 접선의 방정식은 \(y - (-16) = -12(x - 3) \implies y = -12x + 20\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(G'(x) = 3x^2 - 18x + 15\) 유도 +3점 / \(\alpha = 1,\; \beta = 5\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• \(G(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7\) 완성 +3점 / 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-32\) 도출 +4점
소문항 [4-3]	• \(G''(3) = 0\)으로부터 \((3, -16)\) 및 \(G'(3) = -12\) 계산 +4점 / 접선 \(y = -12x + 20\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 정적분 아래끝이 \(1\)이므로 적분 계산 없이도 \(G(1) = 0\)과 \(G'(1) = 0\)이 성립하여 \(G(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 갖는 삼차함수 \(G(x) = (x - 1)^2(x - 7)\)이 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 7회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 조건부확률 베이즈 정리와 모비율 신뢰구간의 결합 추론 (20점)

확률과 통계 Ⅱ-2. 조건부확률 · Ⅲ-2. 통계적 추정 (2022 개정 12확통03-06) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.9 탐구 75 변형 | 성취기준: 12확통02-02, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A,\; A^c\)와 사건 \(E\)에 대하여 전체확률의 법칙 \(\mathrm{P}(E) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(E|A) + \mathrm{P}(A^c)\mathrm{P}(E|A^c)\)와 베이즈 정리 \(\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{\mathrm{P}(A \cap E)}{\mathrm{P}(E)}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 크기가 \(n\)인 임의추출 표본의 표본비율이 \(\hat{p}\)일 때, 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간은 \(\hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)이다. (단, \(\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95\))

어느 공장에서 생산되는 반도체 칩 중 \(\mathrm{A}\)라인 생산분이 \(20\%\), \(\mathrm{B}\)라인 생산분이 \(80\%\)를 차지한다. \(\mathrm{A}\)라인 칩이 우량품일 확률은 \(0.9\), \(\mathrm{B}\)라인 칩이 우량품일 확률은 \(0.8\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 임의로 선택한 칩 \(1\)개가 우량품인 사건을 \(E\)라 할 때, 제시문 (가)를 이용하여 \(\mathrm{P}(E)\)의 값과 이 칩이 \(\mathrm{A}\)라인에서 생산되었을 조건부확률 \(\mathrm{P}(A|E)\)를 기약분수로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 이 공장의 전체 칩 중에서 임의추출한 크기 \(n = 400\)인 표본에서 특정 기준을 통과한 칩의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.64\)였을 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(L = b - a\)를 소수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 표본비율이 \(\hat{p} = 0.64\)로 일정할 때, 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이 \(b - a\)가 \(0.04704\) 이하가 되도록 하는 자연수 표본 크기 \(n\)의 최솟값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50},\; \mathrm{P}(A|E) = \dfrac{9}{41}\) | [5-2] \(L = 0.09408\) | [5-3] \(n = 1600\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] \(\mathrm{P}(A \cap E) = 0.2\times 0.9 = 0.18\)이고 \(\mathrm{P}(B \cap E) = 0.8\times 0.8 = 0.64\)이므로 \(\mathrm{P}(E) = 0.18 + 0.64 = 0.82 = \dfrac{41}{50}\)이다. 따라서 \(\mathrm{P}(A|E) = \dfrac{0.18}{0.82} = \dfrac{9}{41}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})} = \sqrt{0.64\times 0.36} = 0.8\times 0.6 = 0.48\)이고 \(\sqrt{n} = 20\)이므로 신뢰구간의 길이는 \(L = 2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{20} = 3.92\times 0.024 = 0.09408\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 신뢰구간의 길이 \(2\times 1.96\times \dfrac{0.48}{\sqrt{n}} = \dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704\)에서 \(\sqrt{n} \ge \dfrac{1.8816}{0.04704} = 40\)이므로 \(n \ge 1600\), 즉 최솟값은 \(1600\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(\mathrm{P}(E) = \dfrac{41}{50}\) 산출 +3점 / 베이즈 정리로 \(\mathrm{P}(A\|E) = \dfrac{9}{41}\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 표준오차 \(\dfrac{0.48}{20} = 0.024\) 계산 +3점 / 길이 \(L = 0.09408\) 산출 +4점
소문항 [5-3]	• 부등식 \(\dfrac{1.8816}{\sqrt{n}} \le 0.04704\) 수립 +4점 / \(\sqrt{n} \ge 40 \implies n = 1600\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 모비율 신뢰구간의 길이는 \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\)에 비례하므로, 신뢰구간의 길이를 절반(\(0.09408 \to 0.04704\))으로 줄이려면 표본의 크기 \(n\)은 \(4\)배(\(400 \to 1600\))가 되어야 합니다.