2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 5회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 좌표 관계 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^x\)과 로그함수 \(y = \log_2 x\)는 서로 역함수 관계이므로 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)는 직선 \(y = x\)와 수직이므로, 두 역함수 그래프와 만나는 두 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\)도 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이며 \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)이다.

직선 \(y = -x + 6\)이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\), 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2\)와 \(y_1 + y_2\)의 값을 각각 구하고, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\)일 때, \(|x_1 - x_2|\)의 값과 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 좌표를 각각 구하여 주어진 곡선 위의 점임을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 6,\; y_1 + y_2 = 6,\; \mathrm{M}(3, 3)\) | [1-2] \(|x_1 - x_2| = 2,\; \mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)\) | [1-3] \(6\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)는 직선 \(y = x\)에 대칭이므로 \(x_2 = y_1\)이고, 직선 \(y = -x + 6\) 위의 점이므로 \(x_1 + y_1 = 6\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x_1 + x_2 = x_1 + y_1 = 6,\; y_1 + y_2 = 6\)이므로 중점은 \(\mathrm{M}(3, 3)\)이다. 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 사이 거리는 \(\overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{2}|x_1 - x_2| = 2\sqrt{2}\)에서 \(|x_1 - x_2| = 2\)이다. \(x_1 \lt x_2\)이므로 \(x_1 = 2, x_2 = 4\)이고 실제로 \(2^2 = 4,\; \log_2 4 = 2\)가 성립하여 \(\mathrm{P}(2, 4),\; \mathrm{Q}(4, 2)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점 \(\mathrm{O}\)에서 직선 \(x + y - 6 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)이므로 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x_2 = y_1\) 대칭성으로 \(x_1 + x_2 = 6\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(3, 3)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• \(\|x_1 - x_2\| = 2\) 도출 +3점 / \(\mathrm{P}(2, 4), \mathrm{Q}(4, 2)\) 확인 +4점
소문항 [1-3]	• 높이 \(3\sqrt{2}\) 또는 사선식 계산 +4점 / 넓이 \(6\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 위에서 두 점의 \(x\)좌표 차가 \(d\)이면 두 점 사이의 거리는 항상 \(\sqrt{2}d\)가 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 비선형 귀납적 정의 수열의 역수 변환과 수학적 귀납법 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 \gt 0\)이고 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p\)가 되어 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)은 공차가 \(p\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 \(n = 1\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)의 일반항과 \(a_n\)의 일반항을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 구한 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}\)이 아닌 부분분수 합 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(\dfrac{1}{a_n} = 3n - 1,\; a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\) | [2-2] 수학적 귀납법 증명 완료 | [2-3] \(\dfrac{5}{32}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(b_n = \dfrac{1}{a_n}\)으로 치환하면 \(b_1 = 2\)이고 \(b_{n+1} = b_n + 3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(b_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1\)이므로 \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\)이다. (i) \(n = 1\)일 때 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\) 성립. (ii) \(n = k\)일 때 \(a_k = \dfrac{1}{3k - 1}\)이라 가정하면 \(a_{k+1} = \dfrac{\frac{1}{3k-1}}{\frac{3}{3k-1} + 1} = \dfrac{1}{3 + 3k - 1} = \dfrac{1}{3(k+1) - 1}\)이므로 \(n = k + 1\)일 때도 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1} = \sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{(3n - 1)(3n + 2)} = \dfrac{1}{3}\sum_{n=1}^{10} \left(\dfrac{1}{3n - 1} - \dfrac{1}{3n + 2}\right) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{32}\right) = \dfrac{5}{32}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 역수 등차수열 \(b_{n+1} - b_n = 3\) 유도 +3점 / \(a_n = \dfrac{1}{3n-1}\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• \(n=1\) 확인 +2점 / \(n=k\) 가정 후 \(a_{k+1}\) 대입 증명 +5점
소문항 [2-3]	• 부분분수 변형 \(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)\) +4점 / 값 \(\dfrac{5}{32}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 원래 점화식 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 변형하면 \(3a_n a_{n+1} = a_n - a_{n+1}\)이 되어 부분분수 분해가 점화식 자체에서 바로 유도됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 다항함수 결정 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 함수방정식이 주어지면, \(x = y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)을 구한 뒤 도함수의 정의식에 대입하여 \(f'(x)\)를 구한다.

미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\)를 만족시키고 \(f'(0) = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(x = y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x)\)를 \(x\)에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)를 구하고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(f(0) = 2,\; f'(x) = 3x^2 + 4\) | [3-2] \(f(x) = x^3 + 4x + 2\), 접선 \(y = 7x\) | [3-3] \(4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x = y = 0\)을 대입하면 \(f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - 2 + 3xh(x + h)}{h} = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 + 4\)이다. 적분하면 \(f(x) = x^3 + 4x + 2\)이고, \(f(1) = 7,\; f'(1) = 7\)이므로 접선은 \(y = 7x\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{f'(2)}{4} = \dfrac{16}{4} = 4\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(0) = 2\) 산출 +2점 / 도함수 정의로 \(f'(x) = 3x^2 + 4\) 유도 +4점
소문항 [3-2]	• \(f(x) = x^3 + 4x + 2\) 적분 완성 +4점 / 접선 \(y = 7x\) 도출 +3점
소문항 [3-3]	• 미분계수 변형 \(\dfrac{1}{4}f'(2)\) +4점 / 값 \(4\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 함수방정식에서 도함수 정의를 쓸 때 반드시 상수 \(-2\)를 \(-f(0)\)으로 바꾸어 \(\dfrac{f(h) - f(0)}{h} \to f'(0)\) 꼴을 명시해야 만점을 받습니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도와 거리 차의 최댓값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 위치가 \(x(t)\)일 때, 속도는 \(v(t) = x'(t)\), 가속도는 \(a(t) = v'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리 \(D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각(\(v_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{Q}}(t)\))이나 구간의 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 출발 후(\(t \gt 0\)) 처음으로 만나는 시각 \(t_1\)과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리 \(D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도가 \(0\)이 되는 시각을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 3,\; v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5\) | [4-2] \(4\) | [4-3] \(t = \dfrac{5}{3}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치의 차 함수를 \(h(t) = x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2\)으로 정의한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(h(t) = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 3\)이다. 이때 \(v_{\mathrm{P}}(t) = 3t^2 - 10t + 8,\; v_{\mathrm{Q}}(t) = 2t - 1\)이므로 \(v_{\mathrm{P}}(3) = 5,\; v_{\mathrm{Q}}(3) = 5\)이다. 또한 \(h'(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)에서 \(t = 1\)일 때 \(D(1) = h(1) = 4\)가 구간 \([0, 3]\)에서의 최댓값이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(v_{\mathrm{P}}(t) = (3t - 4)(t - 2) = 0\)이므로 운동 방향이 바뀌는 시각은 \(t = \dfrac{4}{3}, 2\)이고, 가속도 \(a_{\mathrm{P}}(t) = 6t - 10 = 0\)이 되는 시각은 \(t = \dfrac{5}{3}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t(t-3)^2 = 0\)으로부터 \(t_1 = 3\) 도출 +3점 / \(v_{\mathrm{P}}(3)=v_{\mathrm{Q}}(3)=5\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t-1)(t-3) = 0\) 극점 조사 +4점 / 최댓값 \(D(1) = 4\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 운동 방향 전환 시각 \(\dfrac{4}{3}, 2\) 확인 +3점 / \(a_{\mathrm{P}}(t)=6t-10=0 \implies t=\dfrac{5}{3}\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(t = 3\)에서 \(h(t) = t(t - 3)^2\)이 중근을 가지므로 두 점은 만나는 순간 속도도 똑같이 \(5\)가 되어 스치듯 접하고 지나갑니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 속도의 정적분과 위치의 변화량 및 실제로 움직인 거리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)일 때, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 위치의 변화량은 \(\int_{a}^{b} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 \(t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)\)와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 \(T\;(T \gt 0)\)를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(t_1 = 1\) (위치 \(4\)), \(t_2 = 3\) (위치 \(0\)) | [5-2] 위치 변화량 \(4\), 움직인 거리 \(12\) | [5-3] \(T = 3\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(v(t) = 3(t - 1)(t - 3) = 0\)으로부터 속도의 부호 변화와 위치 함수 \(x(t) = \int_{0}^{t} v(s)\,ds\)를 구한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t - 3)^2\)이므로 \(t_1 = 1\)에서 위치는 \(x(1) = 4\), \(t_2 = 3\)에서 위치는 \(x(3) = 0\)이다. \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 위치 변화량은 \(x(4) - x(0) = 4\)이고, 움직인 거리는 \(\int_{0}^{1} v(t)\,dt - \int_{1}^{3} v(t)\,dt + \int_{3}^{4} v(t)\,dt = 4 + 4 + 4 = 12\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(x(T) = T(T - 3)^2 = 0\;(T \gt 0)\)을 만족시키는 시각은 \(T = 3\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(t_1 = 1, t_2 = 3\) 도출 +3점 / 위치 \(x(1) = 4,\; x(3) = 0\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• 위치 변화량 \(x(4) = 4\) 산출 +3점 / 구간별 절댓값 적분으로 거리 \(12\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• \(x(T) = T(T-3)^2 = 0\) 인수분해 +4점 / \(T = 3\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 실제로 움직인 거리는 각 운동 방향 전환 시각에서의 위치의 차의 절댓값의 합 \(|x(1)-x(0)| + |x(3)-x(1)| + |x(4)-x(3)| = 4 + 4 + 4 = 12\)로도 빠르게 검산할 수 있습니다.