2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 로그함수의 역함수 대칭성과 직선 위의 교점 좌표 관계 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.10 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^x\)과 로그함수 \(y = \log_2 x\)는 서로 역함수 관계이므로 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y = -x + k\)는 직선 \(y = x\)와 수직이므로, 두 역함수 그래프와 만나는 두 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\)도 직선 \(y = x\)에 대하여 서로 대칭이며 \(x_2 = y_1,\; y_2 = x_1\)이다.

직선 \(y = -x + 6\)이 곡선 \(y = 2^x\)과 만나는 점을 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\), 곡선 \(y = \log_2 x\)와 만나는 점을 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2\)와 \(y_1 + y_2\)의 값을 각각 구하고, 선분 \(\mathrm{PQ}\)의 중점 \(\mathrm{M}\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\)일 때, \(|x_1 - x_2|\)의 값과 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 좌표를 각각 구하여 주어진 곡선 위의 점임을 확인하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 \(\mathrm{O}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 비선형 귀납적 정의 수열의 역수 변환과 수학적 귀납법 (20점)

대수 Ⅲ-3. 수열의 귀납적 정의와 수학적 귀납법 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수03-06, 12대수03-07]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 \gt 0\)이고 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{p a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 양변의 역수를 취하면 \(\dfrac{1}{a_{n+1}} - \dfrac{1}{a_n} = p\)가 되어 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)은 공차가 \(p\)인 등차수열을 이룬다.
<제시문 (나)> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면 \(n = 1\)일 때 성립함을 보이고, \(n = k\)일 때 성립한다고 가정하여 \(n = k + 1\)일 때도 성립함을 연역한다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = \dfrac{1}{2}\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = \dfrac{a_n}{3a_n + 1}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 역수 변환을 이용하여 수열 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)의 일반항과 \(a_n\)의 일반항을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) [문항 2-1]에서 구한 일반항 \(a_n = \dfrac{1}{3n - 1}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 제시문 (나)의 수학적 귀납법으로 증명하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{n=1}^{10} \dfrac{1}{a_n a_{n+1}}\)이 아닌 부분분수 합 \(\sum_{n=1}^{10} a_n a_{n+1}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 함수방정식과 도함수의 정의를 이용한 다항함수 결정 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.12 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-04]

<제시문 (가)> 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수는 정의에 의하여 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}\)이다.
<제시문 (나)> 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 성립하는 함수방정식이 주어지면, \(x = y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)을 구한 뒤 도함수의 정의식에 대입하여 \(f'(x)\)를 구한다.

미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x, y\)에 대하여 등식 \(f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2\)를 만족시키고 \(f'(0) = 4\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) \(x = y = 0\)을 대입하여 \(f(0)\)의 값을 구하고, 도함수의 정의를 이용하여 \(f'(x)\)를 \(x\)에 대한 다항식으로 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수 \(f(x)\)를 구하고, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((1, f(1))\)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) \(\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - f(2)}{x^2 - 4}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 속도와 거리 차의 최댓값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.52 문제 2 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 위치가 \(x(t)\)일 때, 속도는 \(v(t) = x'(t)\), 가속도는 \(a(t) = v'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리 \(D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각(\(v_{\mathrm{P}}(t) = v_{\mathrm{Q}}(t)\))이나 구간의 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치가 각각 \(x_{\mathrm{P}}(t) = t^3 - 5t^2 + 8t,\; x_{\mathrm{Q}}(t) = t^2 - t\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\)가 출발 후(\(t \gt 0\)) 처음으로 만나는 시각 \(t_1\)과 그때 두 점의 속도를 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리 \(D(t) = |x_{\mathrm{P}}(t) - x_{\mathrm{Q}}(t)|\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)의 운동 방향이 바뀌는 두 시각 사이에서 점 \(\mathrm{P}\)의 가속도가 \(0\)이 되는 시각을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 모의고사 5회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 속도의 정적분과 위치의 변화량 및 실제로 움직인 거리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05, 12미적Ⅰ-03-06]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 점의 시각 \(t\)에서의 속도가 \(v(t)\)일 때, 시각 \(t = a\)에서 \(t = b\)까지 위치의 변화량은 \(\int_{a}^{b} v(t)\,dt\)이고, 실제로 움직인 거리는 \(\int_{a}^{b} |v(t)|\,dt\)이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 두 시각 \(t_1, t_2\;(t_1 \lt t_2)\)와 그때의 위치를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 시각 \(t = 0\)에서 \(t = 4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 다시 원점을 지나는 시각 \(T\;(T \gt 0)\)를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.