[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(100 \le x \lt 1000 \iff 2 \le \log_{10} x \lt 3\)이므로 \(\log_{10} x = 2 + \alpha\)로 놓는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\alpha = 0\)이면 \(\log_{10} x^2 = 4\)의 소수부분도 \(0\)이어서 합이 \(0 \ne 1\)이므로 \(0 \lt \alpha \lt 1\)이다. 두 소수부분의 합이 \(1\)이므로 \(\log_{10} x + \log_{10} x^2 = 3\log_{10} x = 6 + 3\alpha\)가 정수가 되어야 하며, \(0 \lt 3\alpha \lt 3\)에서 \(3\alpha = 1, 2\), 즉 \(\alpha = \dfrac{1}{3}, \dfrac{2}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(\log_{10} x = \dfrac{7}{3}, \dfrac{8}{3}\)이고 \(x = 10^{\frac{7}{3}}, 10^{\frac{8}{3}}\)이며, 곱 \(P = 10^5\)이므로 \(\log_{10} P = 5\)이다.

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\angle \mathrm{BCD} = \pi - \theta\)이므로 두 삼각형 \(\mathrm{ABD}, \mathrm{CBD}\)에서 코사인법칙을 연립한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 2^2 + 3^2 - 12\cos\theta = 13 - 12\cos\theta\)이고, \(\overline{\mathrm{BD}}^2 = 3^2 + 4^2 - 24\cos(\pi - \theta) = 25 + 24\cos\theta\)이다. 연립하면 \(36\cos\theta = -12 \implies \cos\theta = -\dfrac{1}{3}\)이므로 \(\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{13 + 4} = \sqrt{17}\)이고 \(\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}(2\cdot 3 + 3\cdot 4)\sin\theta = 9 \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}\)이고, 사인법칙에 의해 \(R = \dfrac{\overline{\mathrm{BD}}}{2\sin\theta} = \dfrac{\sqrt{17}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}} = \dfrac{3\sqrt{34}}{8}\)이다.

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 구간 경계점 \(x = 1, 3\)에서의 좌·우극한을 조사하여 불연속점을 찾는다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x = 1\)에서 좌극한 \(3 \ne\) 우극한 \(0\)이고, \(x = 3\)에서 좌극한 \(-2 \ne\) 우극한 \(2\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 1, 3\)에서 불연속이다. 따라서 \(g(1) = g(3) = 0\)이므로 \(g(x) = (x - 1)(x - 3)\)이고 \(\lim_{x \to 1} f(x)g(x) = 0\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\)는 \(f(x)\)가 불연속이거나 \(f(x) = 0\)인 점에서 불연속이 된다. \(x \lt 1\)에서 \(f(x) = x + 2 = 0 \implies x = -2\), \(1 \le x \lt 3\)에서 \(f(x) = -x + 1 = 0 \implies x = 1\), \(x = 3\)에서는 좌·우극한이 모두 \(0\)이고 \(h(3) = 0\)이어서 연속이므로 불연속점은 \(x = -2, 1\)이며 합은 \(-1\)이다.

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x - 1)(x - 2) = 0\)으로부터 극값과 개형을 조사한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 극댓값은 \(f(1) = 5\), 극솟값은 \(f(2) = 4\)이고 \(f(0) = 0\)이다. \(x \gt 0\)에서 \(f(x) \gt 0\)이므로 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 양의 실근을 가질 범위는 \(4 \lt k \lt 5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(|f(x)|\)의 그래프는 \(x \lt 0\)에서 감소만 하고 \(x \gt 0\)에서 극댓값 \(5\), 극솟값 \(4\)를 갖는다. 따라서 직선 \(y = k\)와 서로 다른 \(4\)개의 점에서 만나려면 \(x \lt 0\)에서 \(1\)개, \(x \gt 0\)에서 \(3\)개의 교점을 가져야 하므로 \(4 \lt k \lt 5\)이다.

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 포물선 \(y = -x(x - 4)\)와 \(x\)축의 교점은 \(x = 0, 4\)이고, 직선 \(y = mx\)와의 교점은 \(x = 0, 4 - m\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - 0)^3 = \dfrac{32}{3}\)이고, \(S_1 = \int_{0}^{4-m} (-x^2 + (4 - m)x)\,dx = \dfrac{1}{6}(4 - m)^3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S_1 = \dfrac{1}{2}S\)에서 \(\dfrac{1}{6}(4 - m)^3 = \dfrac{16}{3} \implies (4 - m)^3 = 32\)이므로 \(4 - m = 2\sqrt[3]{4}\), 즉 \(m = 4 - 2\sqrt[3]{4}\)이다.