2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 4회 문제집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 상용로그의 정수부분·소수부분과 자릿수 조건 분석 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04]

<제시문 (가)> 임의의 양수 \(N\)에 대하여 상용로그 \(\log_{10} N\)은 정수부분 \(n\)과 소수부분 \(\alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)\)의 합 \(\log_{10} N = n + \alpha\)로 유일하게 나타난다.
<제시문 (나)> 두 양수 \(A, B\)의 상용로그의 소수부분의 합이 \(1\)이면 \(\log_{10} A + \log_{10} B\)는 정수이고 소수부분은 \(0\)이 아니어야 한다.

양수 \(x\)가 \(100 \le x \lt 1000\)을 만족시키고, \(\log_{10} x\)의 소수부분과 \(\log_{10} x^2\)의 소수부분의 합이 \(1\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\log_{10} x = 2 + \alpha\;(0 \le \alpha \lt 1)\)라 할 때, 소수부분이 \(0\)이 될 수 없는 이유를 설명하고 \(\alpha\)의 범위를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(3\log_{10} x\)가 정수가 됨을 이용하여 가능한 모든 \(\log_{10} x\)의 값과 실수 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 가능한 모든 \(x\)의 값들의 곱 \(P\)에 대하여 \(\log_{10} P\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 사인법칙과 코사인법칙을 이용한 원에 내접하는 사각형의 대각선과 넓이 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-03]

<제시문 (가)> 원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 마주 보는 두 내각의 합은 \(\pi\)이므로 \(\cos(\pi - A) = -\cos A,\; \sin(\pi - A) = \sin A\)이다.
<제시문 (나)> 삼각형 \(\mathrm{ABD}\)와 \(\mathrm{CBD}\)에 코사인법칙을 각각 적용하면 공통 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이와 \(\cos A\)의 값을 구할 수 있다.

원에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2,\; \overline{\mathrm{BC}} = 3,\; \overline{\mathrm{CD}} = 4,\; \overline{\mathrm{DA}} = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) \(\angle \mathrm{BAD} = \theta\)라 할 때, 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 \(\overline{\mathrm{BD}}^2\)을 \(\cos\theta\)에 대한 두 가지 식으로 나타내고 \(\cos\theta\)의 값을 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 대각선 \(\overline{\mathrm{BD}}\)의 길이와 \(\sin\theta\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S\)와 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 불연속 함수와 다항함수의 곱의 연속성 및 미정계수 결정 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 좌극한과 우극한이 서로 달라 불연속일 때, 연속함수 \(g(x)\)에 대하여 곱함수 \(f(x)g(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \(g(a) = 0\)이다.

함수 \(f(x) = \begin{cases} x + 2 & (x \lt 1) \\ -x + 1 & (1 \le x \lt 3) \\ x - 1 & (x \ge 3) \end{cases}\)와 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 곱함수 \(f(x)g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 불연속인 모든 \(x\)의 값을 구하고, 각 점에서의 좌극한과 우극한을 비교하여 서술하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 이차함수 \(g(x)\)를 구하고, \(\lim_{x \to 1} f(x)g(x)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 함수 \(h(x) = \dfrac{g(x)}{f(x)}\)가 불연속인 모든 \(x\)의 값들의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 방정식의 실근의 개수와 삼차함수 그래프의 대칭 중심 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.44 문제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 양의 실근과 음의 실근의 개수는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = k\)의 교점의 \(x\)좌표의 부호로 판정하며, \(y\)절편 \(f(0)\)의 위치가 경계가 된다.

함수 \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x\)에 대하여 방정식 \(f(x) = k\)의 실근의 부호 분포를 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값, 그리고 \(f(0)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 방정식 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 \(|f(x)| = k\)가 서로 다른 \(4\)개의 실근을 갖도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값 또는 범위를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 4회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 곡선과 접선 및 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 분할 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.23 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 두 점 \(x = \alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에서 만날 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \int_{\alpha}^{\beta} |ax^2 + (b - m)x + (c - n)|\,dx = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

포물선 \(C : y = -x^2 + 4x\)와 원점을 지나는 직선 \(l : y = mx\;(0 \lt m \lt 4)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_1\), 포물선 \(C\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 정적분을 이용하여 포물선 \(C\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)를 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 포물선 \(C\)와 직선 \(l : y = mx\)의 교점의 \(x\)좌표를 구하고, 넓이 \(S_1\)을 \(m\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 5-3] (7점) 직선 \(l\)이 넓이 \(S\)를 이등분할 때, \((4 - m)^3\)의 값과 상수 \(m\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.