2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 3회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 지수·로그 연립방정식과 산술·기하 평균 부등식의 결합 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, a \ne 1\)일 때 로그의 성질에 의하여 \(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\)이고, 밑변환 공식에 의하여 \(\log_x y \cdot \log_y x = 1\)이다.
<제시문 (나)> 두 양수 \(X, Y\)에 대하여 \(X + Y \ge 2\sqrt{XY}\)가 성립하며, 등호는 \(X = Y\)일 때 성립한다.

\(1\)보다 큰 두 실수 \(x, y\)가 \(\log_2 x + \log_2 y = 6\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(u = \log_2 x,\; v = \log_2 y\)라 할 때, \(u \gt 0, v \gt 0\)임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 \(uv\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \((\log_2 x)(\log_2 y) = 8\)일 때, \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 \(\log_x y + \log_y x\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 최댓값 \(9\) | [1-2] \((4, 16)\) 또는 \((16, 4)\) | [1-3] \(\dfrac{5}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \gt 1, y \gt 1\)이므로 \(u = \log_2 x \gt 0,\; v = \log_2 y \gt 0\)이고 \(u + v = 6\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(6 = u + v \ge 2\sqrt{uv}\)에서 \(uv \le 9\)이므로 최댓값은 \(9\)이다. \(uv = 8\)이면 \(u, v\)는 이차방정식 \(t^2 - 6t + 8 = (t - 2)(t - 4) = 0\)의 두 근이므로 \((u, v) = (2, 4)\) 또는 \((4, 2)\), 즉 \((x, y) = (4, 16)\) 또는 \((16, 4)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 밑변환 공식에 의해 \(\log_x y + \log_y x = \dfrac{v}{u} + \dfrac{u}{v} = \dfrac{u^2 + v^2}{uv} = \dfrac{(u+v)^2 - 2uv}{uv} = \dfrac{36 - 16}{8} = \dfrac{5}{2}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(u, v \gt 0\) 확인 및 산술·기하 부등식 적용 +3점 / 최댓값 \(9\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 이차방정식 \(t^2 - 6t + 8 = 0\) 작성 +3점 / \((4, 16), (16, 4)\) 도출 +4점
소문항 [1-3]	• 밑변환 공식 \(\dfrac{u^2+v^2}{uv}\) 변형 +4점 / 값 \(\dfrac{5}{2}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x \gt 1, y \gt 1\) 조건이 있어야 로그값 \(u = \log_2 x, v = \log_2 y\)가 양수가 되어 산술·기하 평균 부등식을 적용할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 부채꼴의 둘레와 넓이의 관계 및 중심각 최적화 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 \(l = r\theta\)이고 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\)이다.
<제시문 (나)> 둘레의 길이 \(2r + l\)이 일정할 때 부채꼴의 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)은 \(2r = l\), 즉 중심각 \(\theta = 2\) (라디안)에서 최댓값을 갖는다.

길이가 \(24\)인 철사를 구부려 반지름의 길이가 \(r\)이고 호의 길이가 \(l\)인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 \(l\)을 \(r\)에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 \(S(r)\)을 \(r\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 \(S(r)\)이 최대가 될 때의 반지름 \(r\), 최댓값 \(S_{\max}\), 그리고 중심각 \(\theta\) (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 \(\sin 1\)을 이용하여 나타내시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(l = 24 - 2r,\; S(r) = -r^2 + 12r\) | [2-2] \(r = 6,\; S_{\max} = 36,\; \theta = 2\) | [2-3] \(12\sin 1\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 둘레의 길이 조건 \(2r + l = 24\)를 제시문 (가)의 넓이 공식 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)에 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(l = 24 - 2r\;(0 \lt r \lt 12)\)이므로 \(S(r) = \dfrac{1}{2}r(24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r - 6)^2 + 36\)이다. 따라서 \(r = 6\)일 때 최댓값 \(S_{\max} = 36\)을 갖고, 이때 \(l = 12\)이므로 \(\theta = \dfrac{l}{r} = 2\) (라디안)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 중심에서 현에 내린 수선은 중심각 \(\theta = 2\)를 이등분하므로 현의 절반의 길이는 \(r\sin\dfrac{\theta}{2} = 6\sin 1\)이고, 전체 현의 길이는 \(12\sin 1\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(l = 24 - 2r\) 도출 +3점 / \(S(r) = -r^2 + 12r\) 유도 +3점
소문항 [2-2]	• 완전제곱식 변형으로 \(r = 6,\; S_{\max} = 36\) 도출 +4점 / \(\theta = 2\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 중심각 이등분 직각삼각형 설정 +4점 / 현의 길이 \(12\sin 1\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 부채꼴의 둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 중심각은 둘레의 값에 상관없이 항상 \(\theta = 2\) 라디안으로 일정합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 분수함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 근의 존재성 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)가 성립해야 한다.
<제시문 (나)> 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(g(a)g(b) \lt 0\)이면, 열린구간 \((a, b)\)에 \(g(c) = 0\)인 \(c\)가 적어도 하나 존재한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x - 2)f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b\)를 만족시키고 \(f(2) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 3x - 2\)를 정리한 이차함수 \(g(x) = f(x) - (3x - 2)\)에 대하여 \(g(0), g(2), g(4)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 \(f(x) = 3x - 2\)가 열린구간 \((0, 2)\)와 \((2, 4)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(a = 3,\; b = -2,\; f(x) = x^2 - x + 1\) | [3-2] \(g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3\) | [3-3] \(g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0\) 사잇값 정리

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x \ne 2\)에서 \(f(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 + ax + b}{x - 2}\)이고, \(x = 2\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우변 다항식이 \((x - 2)f(x)\)와 항등식이므로 \(f(x) = x^2 - x + c\)로 놓으면 \(f(2) = 4 - 2 + c = 3\)에서 \(c = 1\)이다. 따라서 \(f(x) = x^2 - x + 1\)이고 전개하면 \((x - 2)(x^2 - x + 1) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2\)이므로 \(a = 3,\; b = -2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(x) = f(x) - (3x - 2) = x^2 - 4x + 3\)이므로 \(g(0) = 3 \gt 0,\; g(2) = -1 \lt 0,\; g(4) = 3 \gt 0\)이다. 다항함수 \(g(x)\)는 연속이고 \(g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((0, 2)\)와 \((2, 4)\)에 각각 적어도 하나의 실근이 존재한다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f(x) = x^2 - x + 1\) 유도 +3점 / \(a = 3,\; b = -2\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(g(x) = x^2 - 4x + 3\) 정리 +3점 / \(g(0) = 3,\; g(2) = -1,\; g(4) = 3\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• 다항함수의 연속성 명시 및 \(g(0)g(2) \lt 0,\; g(2)g(4) \lt 0\) 제시 +4점 / 사잇값 정리 결론 서술 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 사잇값 정리 서술 시 함수 \(g(x)\)가 해당 닫힌구간에서 연속이라는 전제 조건을 반드시 첫 문장에 명시해야 감점을 피할 수 있습니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 사차함수의 극값 구조와 절댓값 접어올림 함수의 미분가능성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 \(f'(x) = 4(x - \alpha)^2(x - \beta)\;(\alpha \ne \beta)\) 꼴이면, \(f(x)\)는 \(x = \beta\)에서만 극솟값을 갖고 \(x = \alpha\)에서는 \(f'(\alpha) = 0\)인 변곡 접선을 갖는다.
<제시문 (나)> 함수 \(|f(x) - k|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 \(f(x) = k\)인 모든 실근 \(x\)에서 \(f'(x) = 0\)이어야 한다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 10\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - k|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 \(m(k)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)의 극솟값과 \(f'(x) = 0\)인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(m(k) = 1\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 \(x\)좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 \(f(x) = 10\)의 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에 대하여 구간 \([\alpha, \beta]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(f(0) = 10\), 극솟값 \(f(3) = -17\) | [4-2] \(k = 10\), 미분불가능 점 \(x = 4\) | [4-3] \(27\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\)으로 인수분해하여 그래프의 개형을 파악한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f'(x) = 0\)에서 \(x = 0\) (중근) 또는 \(x = 3\)이다. 따라서 \(f(0) = 10\)이고 극솟값은 \(f(3) = 81 - 108 + 10 = -17\)이다. \(k = 10\)일 때 \(f(x) - 10 = x^3(x - 4) = 0\)의 근은 \(x = 0\) (삼중근, \(f'(0) = 0\)이므로 미분가능)과 \(x = 4\) (단근, \(f'(4) \ne 0\)이므로 미분불가능)이므로 \(m(10) = 1\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(f(x) = 10\)의 두 실근은 \(\alpha = 0, \beta = 4\)이고, 구간 \([0, 4]\)에서 최댓값은 \(f(0) = f(4) = 10\), 최솟값은 극솟값 \(f(3) = -17\)이므로 차는 \(10 - (-17) = 27\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(f'(x) = 4x^2(x-3)\) 인수분해 +3점 / \(f(0)=10,\; f(3)=-17\) 산출 +3점
소문항 [4-2]	• 삼중근 \(x=0\) 미분가능성 판정 +4점 / \(k=10,\; x=4\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 구간 \([0, 4]\) 최댓값 \(10\), 최솟값 \(-17\) 비교 +4점 / 차 \(27\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼중근 \(x = 0\)에서는 그래프가 직선 \(y = 10\)을 뚫고 지나가지만 접선의 기울기가 \(0\)이므로 접어 올려도 우미분계수와 좌미분계수가 모두 \(0\)이 되어 미분가능합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값·최솟값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(F(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x\int_{a}^{x} f(t)\,dt - \int_{a}^{x} t f(t)\,dt\)로 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\)이고 \(F''(x) = f(x)\)이다.

다항함수 \(f(x) = 6x - 6\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 \(F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)임을 유도하고, \(F'(x)\)를 \(x\)에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(F(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(F'(x) = 3x^2 - 6x\) | [5-2] 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(2) = -4\) | [5-3] \(-4\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수 \(t\)에 대하여 \(x\)를 상수로 묶어낸 뒤 곱의 미분법을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt + x f(x) - x f(x) = \int_{0}^{x} (6t - 6)\,dt = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)이다. 또한 \(F(0) = 0\)이므로 \(F(x) = x^3 - 3x^2\)이고, 극댓값은 \(F(0) = 0\), 극솟값은 \(F(2) = 8 - 12 = -4\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([-1, 3]\)에서 양 끝점 함숫값은 \(F(-1) = -4,\; F(3) = 0\)이므로 최댓값은 \(0\), 최솟값은 \(-4\)이며 두 값의 합은 \(-4\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 곱의 미분법으로 \(F'(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) 유도 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 6x\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(F(x) = x^3 - 3x^2\) 적분 상수 결정 +3점 / 극댓값 \(0\), 극솟값 \(-4\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• 구간 양 끝점 \(F(-1)=-4, F(3)=0\) 비교 +4점 / 합 \(-4\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)f(t)\)를 바로 \(x\)로 미분할 수 없으므로 반드시 \(x\int_0^x f(t)\,dt - \int_0^x t f(t)\,dt\)로 전개한 뒤 미분해야 합니다.