2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 3회 문제집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 지수·로그 연립방정식과 산술·기하 평균 부등식의 결합 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.5 문제 5 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-08]

<제시문 (가)> \(a \gt 0, a \ne 1\)일 때 로그의 성질에 의하여 \(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\)이고, 밑변환 공식에 의하여 \(\log_x y \cdot \log_y x = 1\)이다.
<제시문 (나)> 두 양수 \(X, Y\)에 대하여 \(X + Y \ge 2\sqrt{XY}\)가 성립하며, 등호는 \(X = Y\)일 때 성립한다.

\(1\)보다 큰 두 실수 \(x, y\)가 \(\log_2 x + \log_2 y = 6\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(u = \log_2 x,\; v = \log_2 y\)라 할 때, \(u \gt 0, v \gt 0\)임을 설명하고 산술·기하 평균 부등식을 이용하여 \(uv\)의 최댓값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \((\log_2 x)(\log_2 y) = 8\)일 때, \(x, y\)의 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.

[문항 1-3] (7점) [문항 1-2]의 조건에서 \(\log_x y + \log_y x\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 부채꼴의 둘레와 넓이의 관계 및 중심각 최적화 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 반지름의 길이가 \(r\)이고 중심각의 크기가 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 \(l = r\theta\)이고 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\)이다.
<제시문 (나)> 둘레의 길이 \(2r + l\)이 일정할 때 부채꼴의 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}rl\)은 \(2r = l\), 즉 중심각 \(\theta = 2\) (라디안)에서 최댓값을 갖는다.

길이가 \(24\)인 철사를 구부려 반지름의 길이가 \(r\)이고 호의 길이가 \(l\)인 부채꼴 모양의 화단을 만들려고 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 호의 길이 \(l\)을 \(r\)에 대한 식으로 나타내고, 부채꼴의 넓이 \(S(r)\)을 \(r\)에 대한 이차함수로 나타내시오.

[문항 2-2] (7점) 넓이 \(S(r)\)이 최대가 될 때의 반지름 \(r\), 최댓값 \(S_{\max}\), 그리고 중심각 \(\theta\) (라디안)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 넓이가 최댓값일 때, 이 부채꼴의 두 반지름의 끝점을 잇는 현의 길이를 \(\sin 1\)을 이용하여 나타내시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 분수함수의 연속성과 사잇값 정리를 이용한 근의 존재성 증명 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-2. 함수의 연속 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.8 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-03]

<제시문 (가)> 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)가 성립해야 한다.
<제시문 (나)> 함수 \(g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(g(a)g(b) \lt 0\)이면, 열린구간 \((a, b)\)에 \(g(c) = 0\)인 \(c\)가 적어도 하나 존재한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \((x - 2)f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b\)를 만족시키고 \(f(2) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 연속 조건을 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\)의 식을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 방정식 \(f(x) = 3x - 2\)를 정리한 이차함수 \(g(x) = f(x) - (3x - 2)\)에 대하여 \(g(0), g(2), g(4)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 방정식 \(f(x) = 3x - 2\)가 열린구간 \((0, 2)\)와 \((2, 4)\)에서 각각 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 사차함수의 극값 구조와 절댓값 접어올림 함수의 미분가능성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.43 문제 3 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 사차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 \(f'(x) = 4(x - \alpha)^2(x - \beta)\;(\alpha \ne \beta)\) 꼴이면, \(f(x)\)는 \(x = \beta\)에서만 극솟값을 갖고 \(x = \alpha\)에서는 \(f'(\alpha) = 0\)인 변곡 접선을 갖는다.
<제시문 (나)> 함수 \(|f(x) - k|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 \(f(x) = k\)인 모든 실근 \(x\)에서 \(f'(x) = 0\)이어야 한다.

사차함수 \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 10\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - k|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수를 \(m(k)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 인수분해하여 함수 \(f(x)\)의 극솟값과 \(f'(x) = 0\)인 두 점에서의 함숫값을 각각 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(m(k) = 1\)이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값과 그때 미분가능하지 않은 점의 \(x\)좌표를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 방정식 \(f(x) = 10\)의 서로 다른 두 실근 \(\alpha, \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에 대하여 구간 \([\alpha, \beta]\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값의 차를 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 3회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값·최솟값 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.18 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-04]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(t)\)에 대하여 \(F(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,dt = x\int_{a}^{x} f(t)\,dt - \int_{a}^{x} t f(t)\,dt\)로 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\)이고 \(F''(x) = f(x)\)이다.

다항함수 \(f(x) = 6x - 6\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_{0}^{x} (x - t)f(t)\,dt\)가 정의될 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)의 전개 과정을 서술하여 \(F'(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt\)임을 유도하고, \(F'(x)\)를 \(x\)에 대한 다항식으로 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 함수 \(F(x)\)의 극댓값과 극솟값을 각각 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 닫힌구간 \([-1, 3]\)에서 함수 \(F(x)\)의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.