2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 2회 해설집 | 2회 : 유리수 지수 대칭식 · 지수함수 평행이동 넓이 · 무리식 조임 정리 · 곡선 밖 접선 개수 · 주기 변형 정적분

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 항등식과 대칭식의 값 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(a\)와 유리수 \(r, s\)에 대하여 지수법칙 \(a^r a^s = a^{r+s},\; (a^r)^s = a^{rs}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 곱셈 공식 \((u + u^{-1})^2 = u^2 + u^{-2} + 2\)와 \((u + u^{-1})^3 = u^3 + u^{-3} + 3(u + u^{-1})\)을 이용하면 유리수 지수 대칭식의 값을 단계적으로 구할 수 있다.

양수 \(x\)가 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)과 \(x^3 + x^{-3}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x + x^{-1} = 5,\; x^2 + x^{-2} = 23\) | [1-2] \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7},\; x^3 + x^{-3} = 110\) | [1-3] \(4\sqrt{7}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(u = x^{\frac{1}{2}}\)로 치환하면 \(u + u^{-1} = \sqrt{7}\)이므로 제시문 (나)의 거듭제곱 대칭식 공식을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(x + x^{-1} = u^2 + u^{-2} = (\sqrt{7})^2 - 2 = 5\)이고, \(x^2 + x^{-2} = 5^2 - 2 = 23\)이다. 또한 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = u^3 + u^{-3} = (\sqrt{7})^3 - 3\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)이며, \(x^3 + x^{-3} = 5^3 - 3(5) = 110\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구하는 식의 분자는 \(110 + 2 = 112\)이고 분모는 \(4\sqrt{7}\)이므로 \(\dfrac{112}{4\sqrt{7}} = \dfrac{28}{\sqrt{7}} = 4\sqrt{7}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(x + x^{-1} = 5\) 도출 +3점 / \(x^2 + x^{-2} = 23\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{7}\) 유도 +3점 / \(x^3 + x^{-3} = 110\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 분자 \(112\) 및 분모 \(4\sqrt{7}\) 대입 +4점 / 유리화 결과 \(4\sqrt{7}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(x^3 + x^{-3} + 2 = (x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}})^2\)임을 발견하면 분모와 즉시 약분되어 검산이 한 줄로 끝납니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 지수함수 그래프 위의 선분 내분점과 넓이 최적화 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 곡선의 방정식은 \(y = 3^{x-m} = 3^{-m}\cdot 3^x\)이다.
<제시문 (나)> 직선 \(y = k\;(k \gt 0)\)가 두 지수함수 \(y = 3^x,\; y = 3^{x-2}\)와 만나는 두 점 사이의 거리는 \(k\)의 값에 관계없이 항상 일정하다.

두 곡선 \(C_1 : y = 3^x\)과 \(C_2 : y = 3^{x-2}\)이 직선 \(y = t\;(t \gt 1)\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 직선 \(y = 3t\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(\log_3 t\)로 나타내고 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 평행사변형임을 보이고, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이가 \(24\)일 때, 양수 \(t\)의 값과 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(x_{\mathrm{A}} = \log_3 t,\; x_{\mathrm{B}} = \log_3 t + 2,\; \overline{\mathrm{AB}} = 2\) | [2-2] \(S(t) = 4t\) | [2-3] \(t = 6\), 기울기 \(12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(3^x = t \iff x = \log_3 t\)이고, \(3^{x-2} = t \iff x = \log_3 t + 2\)임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\overline{\mathrm{AB}} = (\log_3 t + 2) - \log_3 t = 2\)이다. 마찬가지로 \(y = 3t\)와의 교점에서도 \(\overline{\mathrm{DC}} = 2\)이고 \(\mathrm{AB} \parallel \mathrm{DC}\)이므로 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)는 밑변이 \(2\), 높이가 \(3t - t = 2t\)인 평행사변형이다. 따라서 \(S(t) = 2 \times 2t = 4t\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(S(t) = 4t = 24\)에서 \(t = 6\)이다. 이때 \(\mathrm{A}(\log_3 6, 6),\; \mathrm{D}(\log_3 6 + 1, 18)\)이므로 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기는 \(\dfrac{18 - 6}{(\log_3 6 + 1) - \log_3 6} = 12\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(x_{\mathrm{A}}, x_{\mathrm{B}}\) 좌표 도출 +4점 / \(\overline{\mathrm{AB}} = 2\) 산출 +2점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{DC}} = 2\) 평행사변형 논증 +3점 / \(S(t) = 4t\) 유도 +4점
소문항 [2-3]	• \(t = 6\) 산출 +3점 / 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기 \(12\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(\log_3 (3t) = \log_3 t + 1\)이므로 점 \(\mathrm{D}\)는 점 \(\mathrm{A}\)에서 \(x\)축으로 \(1\), \(y\)축으로 \(2t\)만큼 이동한 점입니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax + b} - x)\) 꼴의 극한은 분모·분자에 켤레식 \(\sqrt{x^2 + ax + b} + x\)를 곱하여 유리화하면 \(\dfrac{a}{2}\)로 수렴한다.
<제시문 (나)> 충분히 큰 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)이다.

양수 \(x\)에 대하여 정의된 함수 \(f(x)\)가 부등식 \(\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 다항식 \(P(x) = 3x + k\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x - f(x)\right) = 0\)일 때, \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(3\) | [3-2] \(3\) | [3-3] \(0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\sqrt{4x^2 + 12x + c} - 2x = \dfrac{12x + c}{\sqrt{4x^2 + 12x + c} + 2x}\)로 유리화하고 분모·분자를 \(x\)로 나눈다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 좌변의 극한은 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{12 + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{12}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} = \dfrac{12}{4} = 3\)이고, 우변은 \(\sqrt{(2x + 3)^2} - 2x = 3\)으로 상수함수 \(3\)이다. 따라서 제시문 (나)에 의해 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 3\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 우변 식 자체가 \(\sqrt{(2x+3)^2} - 2x = 3\)이므로 주어진 극한 조건은 \(\lim_{x \to \infty} x\{3 - f(x)\} = 0\)이 되어 \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\} = 0\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 켤레식 유리화 식 변형 +3점 / 극한값 \(3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 우변 극한 \(3\) 확인 및 조임 정리 명시 +4점 / \(\lim_{x\to\infty} f(x) = 3\) 산출 +3점
소문항 [3-3]	• \(\sqrt{4x^2+12x+9} - 2x = (2x+3) - 2x = 3\) 항등 변형 +4점 / 극한값 \(0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2\)이 완전제곱식임을 파악하면 \(x \gt 0\)에서 우변이 상수 \(3\)으로 간단히 정리됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수와 변곡 접선 경계 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 접점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 그래프 밖의 한 점 \((a, b)\)에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 방정식 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)와 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}\)에서 이 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 2)\)라 할 때, 이 접선이 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)를 지나기 위한 \(t\)에 대한 방정식을 \(g(t) = k\) 꼴로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(t)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(k = 3\)일 때, 점 \(\mathrm{P}(0, 3)\)에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(-2t^3 + 3t^2 + 2 = k\) | [4-2] 극솟값 \(2\), 극댓값 \(3\), \(k\)의 합 \(5\) | [4-3] 기울기 \(-3, \dfrac{15}{4}\), 합 \(\dfrac{3}{4}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(f'(t) = 3t^2 - 6t\)이므로 접선의 방정식에 \((0, k)\)를 대입하여 \(k\)를 \(t\)의 삼차함수 \(g(t)\)로 정리한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k - (t^3 - 3t^2 + 2) = (3t^2 - 6t)(0 - t) \implies k = -2t^3 + 3t^2 + 2 = g(t)\)이다. \(g'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0\)에서 \(t = 0, 1\)이므로 극솟값 \(g(0) = 2\), 극댓값 \(g(1) = 3\)이다. 접선이 \(2\)개인 \(k\)는 \(k = 2, 3\)이므로 합은 \(5\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(k = 2\)일 때 접점의 \(t\)좌표는 \(t = 0, \dfrac{3}{2}\)이므로 두 접선의 기울기는 \(f'(0) = 0,\; f'\left(\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{9}{4}\)이고, \(k = 3\)일 때는 \(t = 1, -\dfrac{1}{2}\)이므로 기울기는 \(f'(1) = -3,\; f'\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{15}{4}\)이다. 특히 \(k = 3\)일 때 두 기울기의 합은 \(-3 + \dfrac{15}{4} = \dfrac{3}{4}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 접선의 방정식에 \((0, k)\) 대입 +3점 / \(g(t) = -2t^3 + 3t^2 + 2 = k\) 도출 +3점
소문항 [4-2]	• \(g'(t) = -6t(t-1)\) 극값 \(g(0)=2, g(1)=3\) 산출 +4점 / \(k\)의 합 \(5\) 도출 +3점
소문항 [4-3]	• 각 \(k\)에서 중근·단근 접점 \(t\) 구하기 +4점 / 두 접선 기울기 합 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수에서는 접점 \(t\)가 다르면 접선도 서로 다르므로, 접선의 개수는 곧 방정식 \(g(t) = k\)의 서로 다른 실근의 개수와 정확히 일치합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 구간별로 정의된 연속함수의 정적분과 주기·대칭 확장 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + k\)를 만족시키면, 구간 \([2n, 2n+2]\)에서의 정적분은 \(\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (f(x) + nk)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + 2nk\)로 계산된다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + a\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속임을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 \(I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a = 4\) | [5-2] \(I_0 = 2\) | [5-3] \(90\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(x = 0\)을 관계식 \(f(x + 2) = f(x) + a\)에 대입하여 연속 조건 \(f(2) = f(0) + a\)를 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(f(0) = 1,\; f(2) = 12 - 8 + 1 = 5\)이므로 \(5 = 1 + a \implies a = 4\)이다. 또한 \(I_0 = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_{0}^{2} = 8 - 8 + 2 = 2\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 구간 \([0, 10]\)을 길이 \(2\)인 \(5\)개의 구간 \([2n, 2n+2]\;(n = 0, 1, 2, 3, 4)\)로 나누면 \(\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = I_0 + 2(4n) = 2 + 8n\)이므로 \(\sum_{n=0}^{4} (2 + 8n) = 10 + 8\times 10 = 90\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(f(2) = f(0) + a\) 연속성 조건 설정 +3점 / \(a = 4\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• 부정적분 \(x^3 - 2x^2 + x\) 계산 +4점 / \(I_0 = 2\) 산출 +3점
소문항 [5-3]	• 구간별 적분 일반항 \(2 + 8n\) 유도 +4점 / 합 \(90\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\int_{2n}^{2n+2} a n\,dx\)에서 상수 \(an\)에 구간 길이 \(2\)가 곱해져 \(2an = 8n\)이 된다는 점에 주의하십시오.