2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 2회 문제집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 유리수 지수의 거듭제곱 항등식과 대칭식의 값 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01, 12대수01-02]

<제시문 (가)> 양수 \(a\)와 유리수 \(r, s\)에 대하여 지수법칙 \(a^r a^s = a^{r+s},\; (a^r)^s = a^{rs}\)가 성립한다.
<제시문 (나)> 곱셈 공식 \((u + u^{-1})^2 = u^2 + u^{-2} + 2\)와 \((u + u^{-1})^3 = u^3 + u^{-3} + 3(u + u^{-1})\)을 이용하면 유리수 지수 대칭식의 값을 단계적으로 구할 수 있다.

양수 \(x\)가 \(x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{7}\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 제곱 공식을 이용하여 \(x + x^{-1}\)과 \(x^2 + x^{-2}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 세제곱 공식을 이용하여 \(x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}\)과 \(x^3 + x^{-3}\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 분수식 \(\dfrac{x^3 + x^{-3} + 2}{x^{\frac{3}{2}} + x^{-\frac{3}{2}}}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 지수함수 그래프 위의 선분 내분점과 넓이 최적화 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 문제 2 변형 | 성취기준: 12대수01-06, 12대수01-07]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(m\)만큼 평행이동한 곡선의 방정식은 \(y = 3^{x-m} = 3^{-m}\cdot 3^x\)이다.
<제시문 (나)> 직선 \(y = k\;(k \gt 0)\)가 두 지수함수 \(y = 3^x,\; y = 3^{x-2}\)와 만나는 두 점 사이의 거리는 \(k\)의 값에 관계없이 항상 일정하다.

두 곡선 \(C_1 : y = 3^x\)과 \(C_2 : y = 3^{x-2}\)이 직선 \(y = t\;(t \gt 1)\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하고, 직선 \(y = 3t\)와 만나는 점을 각각 \(\mathrm{D}, \mathrm{C}\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 두 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 각각 \(\log_3 t\)로 나타내고 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이를 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 평행사변형임을 보이고, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이 \(S(t)\)를 \(t\)에 대한 식으로 나타내시오.

[문항 2-3] (7점) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이가 \(24\)일 때, 양수 \(t\)의 값과 직선 \(\mathrm{AD}\)의 기울기를 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 무리식의 유리화와 함수의 극한 조임 정리 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.7 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax + b} - x)\) 꼴의 극한은 분모·분자에 켤레식 \(\sqrt{x^2 + ax + b} + x\)를 곱하여 유리화하면 \(\dfrac{a}{2}\)로 수렴한다.
<제시문 (나)> 충분히 큰 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) \le f(x) \le h(x)\)이고 \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} h(x) = L\)이면 \(\lim_{x \to \infty} f(x) = L\)이다.

양수 \(x\)에 대하여 정의된 함수 \(f(x)\)가 부등식 \(\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x \le f(x) \le \sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)의 유리화 방법을 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 12x + 1} - 2x)\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)의 값을 구하고 그 논리적 근거를 서술하시오.

[문항 3-3] (7점) 다항식 \(P(x) = 3x + k\)에 대하여 \(\lim_{x \to \infty} x\left(\sqrt{4x^2 + 12x + 9} - 2x - f(x)\right) = 0\)일 때, \(\lim_{x \to \infty} x\{f(x) - 3\}\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 개수와 변곡 접선 경계 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.11 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05]

<제시문 (가)> 곡선 \(y = f(x)\) 위의 접점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다.
<제시문 (나)> 삼차함수 그래프 밖의 한 점 \((a, b)\)에서 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수는 방정식 \(b - f(t) = f'(t)(a - t)\)의 서로 다른 실근 \(t\)의 개수와 같다.

곡선 \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)와 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}\)에서 이 곡선에 그을 수 있는 서로 다른 접선의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 실수 \(k\)의 값을 분석하고자 한다. 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t^2 + 2)\)라 할 때, 이 접선이 점 \(\mathrm{P}(0, k)\)를 지나기 위한 \(t\)에 대한 방정식을 \(g(t) = k\) 꼴로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) 함수 \(g(t)\)의 극댓값과 극솟값을 구하고, 서로 다른 접선의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(k\)의 값의 합을 구하시오.

[문항 4-3] (7점) \(k = 3\)일 때, 점 \(\mathrm{P}(0, 3)\)에서 곡선에 그은 두 접선의 기울기를 각각 구하고 그 합을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 2회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 구간별로 정의된 연속함수의 정적분과 주기·대칭 확장 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.15 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + k\)를 만족시키면, 구간 \([2n, 2n+2]\)에서의 정적분은 \(\int_{2n}^{2n+2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} (f(x) + nk)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + 2nk\)로 계산된다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 \(0 \le x \le 2\)에서 \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x + 2) = f(x) + a\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

[문항 5-1] (6점) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 연속임을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 기본 구간에서의 정적분 \(I_0 = \int_{0}^{2} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\int_{0}^{10} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.