2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 1회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 거듭제곱근의 실수 해의 개수와 매개변수 방정식의 근의 분포 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01]

<제시문 (가)> \(2\) 이상의 자연수 \(n\)과 실수 \(A\)에 대하여 방정식 \(x^n = A\)의 실근의 개수 \(N(n, A)\)는 \(n\)이 홀수일 때 \(A\)의 부호에 관계없이 항상 \(1\)이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(A \gt 0\)이면 \(2\), \(A = 0\)이면 \(1\), \(A \lt 0\)이면 \(0\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 \(g(k) = k^2 - 7k + 10\)의 부호는 근 \(k = 2, 5\)를 경계로 바뀐다.

자연수 \(n\;(2 \le n \le 9)\)과 정수 \(k\;(1 \le k \le 6)\)에 대하여 실수 \(g(k) = k^2 - 7k + 10\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(N(n, g(k))\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6\)에 대하여 \(g(k)\)의 부호(양, \(0\), 음)를 각각 판정하고, \(n\)이 짝수일 때 \(\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))\)의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) \(k = 1\)일 때 \(g(1) = 4\)의 네제곱근 중 양수인 것을 \(\alpha\), 음수인 것을 \(\beta\)라 하자. \(\alpha^6 + |\beta|^6\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] 양수 \(2\)개(\(k=1,6\)), \(0\)이 \(2\)개(\(k=2,5\)), 음수 \(2\)개(\(k=3,4\)), 짝수 \(n\)일 때 합 \(6\) | [1-2] \(48\) | [1-3] \(16\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(g(k) = (k - 2)(k - 5)\)를 인수분해하여 \(k\)에 따른 부호를 분류하고 제시문 (가)의 홀짝 판정 기준을 적용한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(k \in \{1, 6\}\)일 때 \(g(k) \gt 0\), \(k \in \{2, 5\}\)일 때 \(g(k) = 0\), \(k \in \{3, 4\}\)일 때 \(g(k) \lt 0\)이다. \(n\)이 짝수(\(2, 4, 6, 8\)의 \(4\)개)일 때 \(\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k)) = 2\times 2 + 2\times 1 + 2\times 0 = 6\)이고, \(n\)이 홀수(\(3, 5, 7, 9\)의 \(4\)개)일 때는 항상 \(6\times 1 = 6\)이므로 전체 합은 \(4\times 6 + 4\times 6 = 48\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(g(1) = 4\)의 양의 네제곱근은 \(\alpha = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\), 음의 네제곱근은 \(\beta = -\sqrt{2}\)이므로 \(\alpha^6 + |\beta|^6 = (\sqrt{2})^6 + (\sqrt{2})^6 = 8 + 8 = 16\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(g(k)\)의 부호 3종 분류 +3점 / 짝수 \(n\)일 때 합 \(6\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 홀수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\)와 짝수 \(n\)(\(4\)개) 합 \(24\) 분리 계산 +4점 / 총합 \(48\) 산출 +3점
소문항 [1-3]	• \(\alpha = \sqrt{2},\; \beta = -\sqrt{2}\) 도출 +4점 / \(\alpha^6 + \|\beta\|^6 = 16\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(g(k) = 0\)인 \(k = 2, 5\)에서는 \(n\)이 짝수일 때도 실수인 거듭제곱근이 \(0\) 한 개씩 존재하므로 누락하지 않아야 합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 단위원 위 동경의 좌표와 삼각함수의 대칭 합 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 단위원을 \(12\)등분하는 각을 \(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6}\;(k = 1, 2, \ldots, 12)\)라 하면, 동경 \(\mathrm{OP}_k\)와 단위원의 교점의 좌표는 \(\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\)이다.
<제시문 (나)> 임의의 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\)이고 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)이다.

단위원 위의 \(12\)개의 점 \(\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\;\left(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6},\; k = 1, 2, \ldots, 12\right)\)와 점 \(\mathrm{A}(2, 0)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (나)의 원점 대칭성을 이용하여 \(\sum_{k=1}^{12} \cos\theta_k\)와 \(\sum_{k=1}^{12} \sin\theta_k\)의 값을 각각 구하고 그 이유를 서술하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2\)을 \(\cos\theta_k\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k\)의 값을 대칭성 \(\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta\)를 이용하여 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] 두 합 모두 \(0\) | [2-2] \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k\), 합 \(60\) | [2-3] \(3\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] \(\theta_{k+6} = \theta_k + \pi\)이므로 점 \(\mathrm{P}_k\)와 \(\mathrm{P}_{k+6}\;(1 \le k \le 6)\)은 원점 대칭임을 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\cos\theta_{k+6} = -\cos\theta_k,\; \sin\theta_{k+6} = -\sin\theta_k\)이므로 \(6\)쌍이 상쇄되어 두 합은 모두 \(0\)이다. 또한 \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = (\cos\theta_k - 2)^2 + \sin^2\theta_k = \cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k - 4\cos\theta_k + 4 = 5 - 4\cos\theta_k\)이므로 \(\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 60 - 4(0) = 60\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] \(\cos^2\dfrac{\pi}{6} + \cos^2\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\), \(\cos^2\dfrac{4\pi}{6} + \cos^2\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\)이고 \(\cos^2\dfrac{3\pi}{6} = 0,\; \cos^2\pi = 1\)이므로 합은 \(1 + 1 + 0 + 1 = 3\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(\theta_{k+6} = \theta_k + \pi\) 원점 대칭 상쇄 설명 +4점 / 두 합 모두 \(0\) 도출 +2점
소문항 [2-2]	• \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2 = 5 - 4\cos\theta_k\) 유도 +4점 / 합 \(60\) 산출 +3점
소문항 [2-3]	• 여각·보각 제곱쌍 결합 또는 개별 계산 +4점 / 값 \(3\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2\)을 전개할 때 \(\cos^2\theta_k + \sin^2\theta_k = 1\)로 묶으면 이차항이 상수 \(1\)로 바뀌어 시그마 계산이 즉시 해결됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 다항함수의 차수 결정과 극한 조건을 만족시키는 함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = a\)를 만족시키면 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 꼴이다.
<제시문 (나)> \(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2 \to 0\)이고 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = L\)이 존재하면, 다항식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 갖는다.

삼차다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1\)과 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5\)를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x)\)의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 1)^2(2x + m)\) 꼴로 나타내고, 상수 \(m\)의 값과 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근의 합과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 삼차항 계수 \(2\), 이차항 계수 \(-1\) | [3-2] \(m = 3,\; f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3\) | [3-3] 서로 다른 실근의 합 \(-\dfrac{1}{2},\; f(3) = 36\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 최고차항 계수는 \(2\)이고, 제시문 (나)에 의해 \(f(x) = (x - 1)^2(2x + m)\)으로 인수분해된다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(\lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)^2(2x + m)}{(x - 1)^2} = 2 + m = 5\)에서 \(m = 3\)이다. 전개하면 \(f(x) = (x^2 - 2x + 1)(2x + 3) = 2x^3 - x^2 - 4x + 3\)이므로 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1\)이 성립한다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 방정식 \(f(x) = (x - 1)^2(2x + 3) = 0\)의 서로 다른 실근은 \(x = 1, -\dfrac{3}{2}\)로 합은 \(-\dfrac{1}{2}\)이고, \(f(3) = 4 \times 9 = 36\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 무한대 극한으로부터 삼차항 계수 \(2\), 이차항 계수 \(a = -1\) 도출 +6점
소문항 [3-2]	• \((x-1)^2\) 인수 설정 +3점 / \(2 + m = 5 \implies m = 3\) 및 \(f(x)\) 완성 +4점
소문항 [3-3]	• 서로 다른 실근 \(1, -\dfrac{3}{2}\)의 합 \(-\dfrac{1}{2}\) 산출 +3점 / \(f(3) = 36\) 도출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 분모가 \((x - 1)^2\)일 때 극한값이 수렴하려면 분자도 \(x - 1\)을 두 번 인수로 가져야 약분 후 수렴합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 미분가능성과 연속성을 이용한 절대값·다항 곱함수의 분석 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(P(x)\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - a|P(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(P(a) = 0\)인 것이며, 이때 \(h'(a) = 0\)이다.

이차함수 \(P(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 2|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \(h'(1) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) \(x = 2\)에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 \(P(2)\)로 나타내어 제시문 (가)의 조건 \(P(2) = 0\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) \(x \lt 2\)인 구간에서 \(h(x)\)의 도함수 \(h'(x)\)를 구하고, 조건 \(P(2) = 0\)과 \(h'(1) = 3\)을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(h(x)\)가 \(x \ne 2\)에서 미분계수 \(h'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 우미분계수 \(P(2)\), 좌미분계수 \(-P(2) \implies P(2) = 0\) | [4-2] \(a = -1,\; b = -2\) | [4-3] \(x = 0\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 미분계수의 정의 \(\lim_{t \to 2\pm}\dfrac{|t - 2|P(t) - 0}{t - 2} = \pm P(2)\)를 선언한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 우미분계수 \(P(2)\)와 좌미분계수 \(-P(2)\)가 같으므로 \(P(2) = 0 \implies P(x) = (x - 2)(x - k)\)이다. \(x \lt 2\)에서 \(h(x) = -(x - 2)^2(x - k)\)이므로 \(h'(x) = -(x - 2)(3x - 2k - 2)\)이고, \(h'(1) = 3 - 2k - 2 = 1 - 2k = 3\)에서 \(k = -1\)이므로 \(P(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2\;(a = -1, b = -2)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 조건 \(h'(1) = 3\)과 \(P(2) = 0\)을 연립하면 \(a = -1,\; b = -2\)이므로 \(P(x) = (x - 2)(x + 1)\)이고, \(x \ne 2\)에서 \(h'(x) = \pm 3x(x - 2) = 0\)을 만족시키는 값은 \(x = 0\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 우미분계수 \(P(2)\), 좌미분계수 \(-P(2)\) 유도 +4점 / \(P(2) = 0\) 증명 +2점
소문항 [4-2]	• \(x \lt 2\)에서 \(h'(x)\) 도출 +3점 / 연립으로 \(a = -1,\; b = -2\) 산출 +4점
소문항 [4-3]	• \(h(x) = \|x-2\|(x-2)(x+1)\) 도함수 인수분해 +4점 / \(x = 0\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: \(P(2) = 0\)이므로 \(P(x) = (x - 2)(x - k)\)로 인수분해하여 대입하면 \(h(x) = |x - 2|(x - 2)(x - k)\)가 되어 미분이 매우 간단해집니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 프레드홀름형 정적분 항등식의 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 정적분 \(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\)와 \(\int_{a}^{b} t f(t)\,dt\)의 값은 적분변수 \(t\)에 의존하지 않는 상수이므로, 이를 상수 \(A, B\)로 치환하면 함수 \(f(x)\)를 다항식으로 표현할 수 있다.

연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\; B = \int_{0}^{1} t f(t)\,dt\)라 할 때, \(A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt\)를 정리하여 \(A\)와 \(B\) 사이의 첫 번째 관계식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt\)를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 \(A, B\)와 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(2A - 4B = 1\) | [5-2] \(A = 3,\; B = \dfrac{5}{4},\; f(x) = 3x^2 - 6x + 5\) | [5-3] \(12\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 제시문 (가)에 의해 \(f(x) = 3x^2 - 2Ax + 4B\)로 놓고 두 정적분 정의식에 다시 대입한다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt = 1 - A + 4B \implies 2A - 4B = 1\)이다. 또한 \(B = \int_{0}^{1} (3t^3 - 2At^2 + 4Bt)\,dt = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B \implies 8A - 12B = 9\)이므로 연립하면 \(A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\)이고, 대칭 구간 적분은 \(\int_{-1}^{1} (3x^2 - 6x + 5)\,dx = 2\int_{0}^{1} (3x^2 + 5)\,dx = 2(1 + 5) = 12\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(A = 1 - A + 4B\) 적분 전개 +3점 / \(2A - 4B = 1\) 관계식 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{3}A + 2B\) 적분 및 연립으로 \(A = 3,\; B = \dfrac{5}{4}\) 산출 +4점 / \(f(x) = 3x^2 - 6x + 5\) 완성 +3점
소문항 [5-3]	• 우·기함수 대칭 적분 \(2\int_0^1 (3x^2 + 5)\,dx\) 적용 +4점 / 값 \(12\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 적분 구간이 상수 \([0, 1]\)인 정적분은 변수가 아니라 상수이므로 반드시 상수 문자 \(A, B\)로 치환하여 연립방정식을 세워야 합니다.