2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 1회 문제집

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 거듭제곱근의 실수 해의 개수와 매개변수 방정식의 근의 분포 (20점)

대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅰ-1. 지수와 로그 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수01-01]

<제시문 (가)> \(2\) 이상의 자연수 \(n\)과 실수 \(A\)에 대하여 방정식 \(x^n = A\)의 실근의 개수 \(N(n, A)\)는 \(n\)이 홀수일 때 \(A\)의 부호에 관계없이 항상 \(1\)이고, \(n\)이 짝수일 때는 \(A \gt 0\)이면 \(2\), \(A = 0\)이면 \(1\), \(A \lt 0\)이면 \(0\)이다.
<제시문 (나)> 이차함수 \(g(k) = k^2 - 7k + 10\)의 부호는 근 \(k = 2, 5\)를 경계로 바뀐다.

자연수 \(n\;(2 \le n \le 9)\)과 정수 \(k\;(1 \le k \le 6)\)에 대하여 실수 \(g(k) = k^2 - 7k + 10\)의 \(n\)제곱근 중 실수인 것의 개수를 \(N(n, g(k))\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6\)에 대하여 \(g(k)\)의 부호(양, \(0\), 음)를 각각 판정하고, \(n\)이 짝수일 때 \(\sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))\)의 값을 구하시오.

[문항 1-2] (7점) \(\sum_{n=2}^{9} \sum_{k=1}^{6} N(n, g(k))\)의 값을 구하는 과정을 논리적으로 서술하시오.

[문항 1-3] (7점) \(k = 1\)일 때 \(g(1) = 4\)의 네제곱근 중 양수인 것을 \(\alpha\), 음수인 것을 \(\beta\)라 하자. \(\alpha^6 + |\beta|^6\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 1 ([1-1] 6점 / [1-2] 7점 / [1-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [1-1] → [1-2] → [1-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 단위원 위 동경의 좌표와 삼각함수의 대칭 합 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 대수 Ⅱ. 삼각함수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02]

<제시문 (가)> 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 단위원을 \(12\)등분하는 각을 \(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6}\;(k = 1, 2, \ldots, 12)\)라 하면, 동경 \(\mathrm{OP}_k\)와 단위원의 교점의 좌표는 \(\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\)이다.
<제시문 (나)> 임의의 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta,\; \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta\)이고 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)이다.

단위원 위의 \(12\)개의 점 \(\mathrm{P}_k(\cos\theta_k, \sin\theta_k)\;\left(\theta_k = \dfrac{k\pi}{6},\; k = 1, 2, \ldots, 12\right)\)와 점 \(\mathrm{A}(2, 0)\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (나)의 원점 대칭성을 이용하여 \(\sum_{k=1}^{12} \cos\theta_k\)와 \(\sum_{k=1}^{12} \sin\theta_k\)의 값을 각각 구하고 그 이유를 서술하시오.

[문항 2-2] (7점) 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 \(\overline{\mathrm{AP}_k}^2\)을 \(\cos\theta_k\)에 대한 일차식으로 나타내고, \(\sum_{k=1}^{12} \overline{\mathrm{AP}_k}^2\)의 값을 구하시오.

[문항 2-3] (7점) \(\sum_{k=1}^{6} \cos^2\theta_k\)의 값을 대칭성 \(\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin^2\theta\)를 이용하여 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 2 ([2-1] 6점 / [2-2] 7점 / [2-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [2-1] → [2-2] → [2-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 다항함수의 차수 결정과 극한 조건을 만족시키는 함수의 유일성 (20점)

미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅰ-1. 함수의 극한 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.6 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-01, 12미적Ⅰ-01-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - x^3}{x^2} = a\)를 만족시키면 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 꼴이다.
<제시문 (나)> \(x \to 1\)일 때 분모 \((x - 1)^2 \to 0\)이고 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = L\)이 존재하면, 다항식 \(f(x)\)는 \((x - 1)^2\)을 인수로 갖는다.

삼차다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x) - 2x^3}{x^2} = -1\)과 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{(x - 1)^2} = 5\)를 동시에 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 \(f(x)\)의 삼차항과 이차항의 계수를 각각 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 \(f(x) = (x - 1)^2(2x + m)\) 꼴로 나타내고, 상수 \(m\)의 값과 다항함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 방정식 \(f(x) = 0\)의 서로 다른 모든 실근의 합과 \(f(3)\)의 값을 각각 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 3 ([3-1] 6점 / [3-2] 7점 / [3-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [3-1] → [3-2] → [3-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 미분가능성과 연속성을 이용한 절대값·다항 곱함수의 분석 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.9 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-02]

<제시문 (가)> 다항함수 \(P(x)\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - a|P(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(P(a) = 0\)인 것이며, 이때 \(h'(a) = 0\)이다.

이차함수 \(P(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 함수 \(h(x) = |x - 2|P(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 \(h'(1) = 3\)일 때, 다음 논제에 답하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

[문항 4-1] (6점) \(x = 2\)에서의 우미분계수와 좌미분계수를 각각 \(P(2)\)로 나타내어 제시문 (가)의 조건 \(P(2) = 0\)이 성립함을 증명하시오.

[문항 4-2] (7점) \(x \lt 2\)인 구간에서 \(h(x)\)의 도함수 \(h'(x)\)를 구하고, 조건 \(P(2) = 0\)과 \(h'(1) = 3\)을 연립하여 상수 \(a, b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 함수 \(h(x)\)가 \(x \ne 2\)에서 미분계수 \(h'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 4 ([4-1] 6점 / [4-2] 7점 / [4-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [4-1] → [4-2] → [4-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 1회 (문제집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 프레드홀름형 정적분 항등식의 해법 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.14 개념 탐구 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 정적분 \(\int_{a}^{b} f(t)\,dt\)와 \(\int_{a}^{b} t f(t)\,dt\)의 값은 적분변수 \(t\)에 의존하지 않는 상수이므로, 이를 상수 \(A, B\)로 치환하면 함수 \(f(x)\)를 다항식으로 표현할 수 있다.

연속함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 등식 \(f(x) = 3x^2 - 2x\int_{0}^{1} f(t)\,dt + 4\int_{0}^{1} t f(t)\,dt\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) \(A = \int_{0}^{1} f(t)\,dt,\; B = \int_{0}^{1} t f(t)\,dt\)라 할 때, \(A = \int_{0}^{1} (3t^2 - 2At + 4B)\,dt\)를 정리하여 \(A\)와 \(B\) 사이의 첫 번째 관계식을 구하시오.

[문항 5-2] (7점) \(B = \int_{0}^{1} t(3t^2 - 2At + 4B)\,dt\)를 정리하여 두 번째 관계식을 구하고, 연립방정식을 풀어 상수 \(A, B\)와 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

[문항 5-3] (7점) \(\int_{-1}^{1} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오.

[논술 답안 작성란 — 문항 5 ([5-1] 6점 / [5-2] 7점 / [5-3] 7점, 총 20점)]
• 제시문 (가), (나)의 수학적 정의와 정리를 명시하고 소문항 [5-1] → [5-2] → [5-3] 순서로 논리적 근거와 풀이 과정을 서술하시오.