2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집

2027학년도 대비 서강대학교 수리논술 모의고사 10회 해설집 | 10회 : 쌍곡선 초점 수직현과 접선 · 지수결합 선형 점화식과 급수 · 가변구간 삼차함수 최솟값 함수 · 포물선 직선 넓이 변화율 · 이산확률변수와 표본평균 추정

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 1] 쌍곡선 초점 직각삼각형의 넓이와 접선의 x절편 성질 (20점)

기하 Ⅰ-2. 쌍곡선과 접선의 방정식 (2025 서강대 자연 1차 1번 응용) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 비상교육 기하 Ⅰ. 이차곡선 (DB: GEOM_Ch01_비상) PDF p.32 탐구 101 변형 | 성취기준: 12기하01-01, 12기하01-04]

<제시문 (가)> 두 초점이 \(\mathrm{F}(c, 0),\; \mathrm{F}'(-c, 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\;(c^2 = a^2 + b^2)\) 위의 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(|\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} - \overline{\mathrm{FP}}| = 2a\)이다.
<제시문 (나)> 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(\dfrac{x_1 x}{a^2} - \dfrac{y_1 y}{b^2} = 1\)이다.

두 초점이 \(\mathrm{F}(4, 0),\; \mathrm{F}'(-4, 0)\)인 쌍곡선 \(\dfrac{x^2}{7} - \dfrac{y^2}{9} = 1\) 위의 제\(1\)사분면의 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)이 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)를 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}} = l_1,\; \overline{\mathrm{FP}} = l_2\)라 할 때, 쌍곡선의 정의 \(l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}\)과 피타고라스 정리를 이용하여 곱 \(l_1 l_2\)의 값과 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이를 각각 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이를 밑변 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}} = 8\)과 높이 \(y_1\)로 나타내어 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)에서의 접선이 \(x\)축과 만나는 점 \(\mathrm{T}\)의 \(x\)좌표를 구하고, \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2\)가 성립함을 통해 접선 \(\mathrm{PT}\)가 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 이등분선임을 확인하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(l_1 l_2 = 18\), 넓이 \(9\) | [1-2] \(\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)\) | [1-3] \(x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}\), \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2\) 성립

[소문항 1-1 풀이 (6점)] 주축 길이가 \(2a = 2\sqrt{7}\)이므로 \(l_1 - l_2 = 2\sqrt{7}\)이고 \(l_1^2 + l_2^2 = \overline{\mathrm{F}'\mathrm{F}}^2 = 64\)이다. 따라서 \(2l_1 l_2 = 64 - 28 = 36 \implies l_1 l_2 = 18\)이고 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}l_1 l_2 = 9\)이다.

[소문항 1-2 풀이 (7점)] 넓이 \(\dfrac{1}{2}\times 8\times y_1 = 4y_1 = 9\)에서 \(y_1 = \dfrac{9}{4}\)이다. 쌍곡선 식에 대입하면 \(\dfrac{x_1^2}{7} = 1 + \dfrac{81/16}{9} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}\)이고 \(x_1 \gt 0\)이므로 \(x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}\), 즉 \(\mathrm{P}\left(\dfrac{5\sqrt{7}}{4}, \dfrac{9}{4}\right)\)이다.

[소문항 1-3 풀이 (7점)] 접선 \(\dfrac{x_1 x}{7} - \dfrac{y_1 y}{9} = 1\)의 \(x\)절편은 \(x_{\mathrm{T}} = \dfrac{7}{x_1} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}\)이다. 또한 \((l_1 + l_2)^2 = 64 + 36 = 100 \implies l_1 + l_2 = 10\)이므로 \(l_1 = 5 + \sqrt{7},\; l_2 = 5 - \sqrt{7}\)이고, \(\dfrac{\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}}}{\overline{\mathrm{FT}}} = \dfrac{4 + 4\sqrt{7}/5}{4 - 4\sqrt{7}/5} = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{5 - \sqrt{7}} = \dfrac{l_1}{l_2}\)가 성립하여 접선 \(\mathrm{PT}\)는 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}\)를 이등분한다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• \(l_1 - l_2 = 2\sqrt{7},\; l_1^2 + l_2^2 = 64\) 연립 +3점 / \(l_1 l_2 = 18\) 및 넓이 \(9\) 산출 +3점
소문항 [1-2]	• \(y_1 = \dfrac{9}{4}\) 도출 +3점 / \(x_1 = \dfrac{5\sqrt{7}}{4}\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• \(x_{\mathrm{T}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{5}\) 산출 +3점 / \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{T}} : \overline{\mathrm{FT}} = l_1 : l_2\) 비율 일치 증명 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 쌍곡선 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서의 접선은 항상 두 초점 반경 \(\overline{\mathrm{F}'\mathrm{P}},\; \overline{\mathrm{FP}}\)가 이루는 각 \(\angle \mathrm{F}'\mathrm{PF}\)의 내각의 이등분선이라는 광학적 성질을 대수적으로 증명한 문항입니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 2] 지수항이 결합된 선형 점화식의 치환 해법과 부분합 (20점)

대수 Ⅲ-2. 등비수열의 합과 수열의 귀납적 정의 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 대수 Ⅲ-3. 수학적 귀납법 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.8 탐구 102 변형 | 성취기준: 12대수03-03, 12대수03-06]

<제시문 (가)> 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} = p a_n + q^n\;(p \ne q)\)을 만족시킬 때 양변을 \(q^{n+1}\)으로 나누어 \(b_n = \dfrac{a_n}{q^n}\)으로 치환하면 \(b_{n+1} = \dfrac{p}{q}b_n + \dfrac{1}{q}\) 꼴의 점화식으로 변환된다.
<제시문 (나)> 첫째항이 \(A\)이고 공비가 \(r\;(r \ne 1)\)인 등비수열의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합은 \(\dfrac{A(r^n - 1)}{r - 1}\)이다.

수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 5\)이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} = 2a_n + 3^n\)을 만족시킬 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 주어진 점화식의 양변에서 \(3^{n+1}\)을 빼서 수열 \(\{a_n - 3^n\}\)이 공비가 \(2\)인 등비수열임을 보이고, 일반항 \(a_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 구하시오.

[문항 2-2] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)를 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 일반항 \(a_n\)을 이용하여 \(\dfrac{a_n - 2^n}{3^n}\)의 값을 구하고, 제\(5\)항까지의 합 \(S_5\)의 값을 계산하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a_n = 3^n + 2^n\) | [2-2] \(S_n = \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2\) | [2-3] \(\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1,\; S_5 = 425\)

[소문항 2-1 풀이 (6점)] 점화식 \(a_{n+1} = 2a_n + 3^n\)을 \(a_{n+1} - 3^{n+1} = 2a_n + 3^n - 3\cdot 3^n = 2(a_n - 3^n)\)으로 변형하면, 수열 \(\{a_n - 3^n\}\)은 첫째항이 \(a_1 - 3 = 2\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이다. 따라서 \(a_n - 3^n = 2\cdot 2^{n-1} = 2^n\)이므로 \(a_n = 3^n + 2^n\)이다.

[소문항 2-2 풀이 (7점)] \(S_n = \sum_{k=1}^{n} (3^k + 2^k) = \dfrac{3(3^n - 1)}{3 - 1} + \dfrac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3^{n+1} - 3}{2} + 2^{n+1} - 2\)이다.

[소문항 2-3 풀이 (7점)] \(a_n = 3^n + 2^n\)이므로 \(\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1\)이다. \(n = 5\)를 대입하면 \(S_5 = \dfrac{3^6 - 3}{2} + 2^6 - 2 = 363 + 62 = 425\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• \(a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)\) 변형 +3점 / 일반항 \(a_n = 3^n + 2^n\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 등비수열 합 공식 각각 적용 +4점 / \(S_n = \dfrac{3^{n+1}-3}{2} + 2^{n+1} - 2\) 완성 +3점
소문항 [2-3]	• 항등식 \(\dfrac{a_n - 2^n}{3^n} = 1\) 확인 +3점 / \(S_5 = 363 + 62 = 425\) 산출 +4점

💡 감점 방어 클리닉: \(a_{n+1} = 2a_n + 3^n\)의 양변에서 \(3^{n+1}\)을 빼면 \(a_{n+1} - 3^{n+1} = 2(a_n - 3^n)\)으로 즉시 인수분해되어 두 등비수열의 합 \(3^n + 2^n\)으로 표현됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 3] 가변 닫힌구간에서 삼차함수의 최솟값 함수와 미분불가능점 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (2025 서강대 자연 1차 2번 심화) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 103 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-08]

<제시문 (가)> 닫힌구간 \([0, t]\;(t \gt 0)\)에서 연속함수 \(f(x)\)의 최솟값을 \(m(t) = \min_{0 \le x \le t} f(x)\)라 하면, \(f(x)\)가 증가하는 구간에서는 최솟값이 유지되고 더 작은 함숫값이 나타나는 구간에서는 \(m(t) = f(t)\)가 된다.
<제시문 (나)> 구간별로 정의된 연속함수 \(m(t)\)의 경계점 \(t = c\)에서 좌미분계수와 우미분계수가 서로 다르면 \(m(t)\)는 \(t = c\)에서 미분가능하지 않다.

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 \(f(x) = -x^3 + 3x^2 + 4\)에 대하여 양수 \(t\;(t \gt 0)\)를 오른쪽 끝점으로 하는 닫힌구간 \([0, t]\)에서 \(f(x)\)의 최솟값을 \(m(t)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 도함수 \(f'(x)\)를 구하여 \(x \ge 0\)에서 \(f(x)\)의 극댓값을 구하고, 방정식 \(f(x) = f(0)\)을 만족시키는 양수 \(x\)의 값을 구하시오.

[문항 3-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(0 \lt t \le 3\)일 때와 \(t \gt 3\)일 때의 최솟값 함수 \(m(t)\)의 식을 각각 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 열린구간 \((0, \infty)\)에서 함수 \(m(t)\)가 미분가능하지 않은 \(t\)의 값과 그때의 좌·우미분계수를 구하고, 정적분 \(\int_{0}^{4} m(t)\,dt\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] 극댓값 \(f(2) = 8\), 양의 실근 \(x = 3\) | [3-2] \(0 \lt t \le 3\)에서 \(m(t) = 4\), \(t \gt 3\)에서 \(m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4\) | [3-3] \(t = 3\) 미분불가능 (좌 \(0\), 우 \(-9\)), 정적분 \(\dfrac{49}{4}\)

[소문항 3-1 풀이 (6점)] \(f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)\)이므로 \(x = 0\)에서 극소(\(f(0) = 4\)), \(x = 2\)에서 극댓값 \(f(2) = -8 + 12 + 4 = 8\)을 갖는다. 또한 \(f(x) = 4 \iff -x^2(x - 3) = 0\)이므로 양의 실근은 \(x = 3\)이다.

[소문항 3-2 풀이 (7점)] \(0 \le x \le 3\)에서는 \(f(x) \ge 4 = f(0)\)이므로 \(0 \lt t \le 3\)일 때 최솟값은 항상 \(m(t) = f(0) = 4\)이다. 반면 \(t \gt 3\)일 때는 \(f(t) \lt 4\)이고 \(f\)가 순감소하므로 \(m(t) = f(t) = -t^3 + 3t^2 + 4\)이다.

[소문항 3-3 풀이 (7점)] \(t = 3\)에서 좌미분계수는 \(0\)이고 우미분계수는 \(f'(3) = -27 + 18 = -9\)로 서로 다르므로 \(t = 3\)에서 미분가능하지 않다. 또한 \(\int_{0}^{4} m(t)\,dt = \int_{0}^{3} 4\,dt + \int_{3}^{4} (-t^3 + 3t^2 + 4)\,dt = 12 + \left[-\dfrac{t^4}{4} + t^3 + 4t\right]_{3}^{4} = 12 + \left(16 - \dfrac{63}{4}\right) = \dfrac{49}{4}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• \(f'(x) = -3x(x-2)\) 및 극댓값 \(f(2) = 8\) 산출 +3점 / \(f(x)=4\)의 양근 \(x = 3\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• \(0 \lt t \le 3\)에서 \(m(t) = 4\) 도출 +3점 / \(t \gt 3\)에서 \(m(t) = -t^3 + 3t^2 + 4\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(t = 3\) 좌미분계수 \(0\), 우미분계수 \(-9\) 비교 +4점 / 정적분 \(\dfrac{49}{4}\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 구간 \([0, 3]\)에서는 시작점 \(f(0) = 4\)가 최솟값으로 유지되다가 \(t = 3\)을 지나는 순간 \(f(t)\)가 \(4\)보다 작아지면서 \(m(t) = f(t)\)로 꺾이므로 \(t = 3\)에서 첨점이 발생합니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 4] 포물선과 기울기 가변 직선으로 둘러싸인 넓이 함수의 변화율 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (넓이와 변화율) | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-2. 정적분의 활용 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.28 탐구 104 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]

<제시문 (가)> 이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\;(a \ne 0)\)의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(x = \alpha,\; \beta\;(\alpha \lt \beta)\)에서 만날 때 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.
<제시문 (나)> 매개변수 \(k\)로 표현된 함수 \(S(k)\)의 \(k = k_0\)에서의 순간변화율은 \(S'(k_0)\)이다.

양수 \(k\;(k \gt 0)\)에 대하여 이차곡선 \(y = x^2 - 2kx\)와 직선 \(y = kx\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S(k)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 곡선 \(y = x^2 - 2kx\)와 직선 \(y = kx\)의 두 교점의 \(x\)좌표를 구하고, 제시문 (가)를 이용하여 넓이 \(S(k)\)를 \(k\)에 대한 삼차식으로 나타내시오.

[문항 4-2] (7점) \(k = 2\)일 때의 넓이 \(S(2)\)와 순간변화율 \(S'(2)\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 곡선 \(y = x^2 - 2kx\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(A(k)\)라 할 때, 비율 \(\dfrac{S(k)}{A(k)}\)의 값을 \(k\)에 관계없는 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] 교점 \(x = 0, 3k,\; S(k) = \dfrac{9}{2}k^3\) | [4-2] \(S(2) = 36,\; S'(2) = 54\) | [4-3] \(\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{27}{8}\)

[소문항 4-1 풀이 (6점)] \(x^2 - 2kx = kx \iff x(x - 3k) = 0\)이므로 두 교점의 \(x\)좌표는 \(0,\; 3k\)이다. 제시문 (가)에 의해 \(S(k) = \int_{0}^{3k} (3kx - x^2)\,dx = \dfrac{1}{6}(3k - 0)^3 = \dfrac{9}{2}k^3\)이다.

[소문항 4-2 풀이 (7점)] \(S(k) = \dfrac{9}{2}k^3\)에서 \(S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2\)이다. 따라서 \(k = 2\)를 대입하면 \(S(2) = \dfrac{9}{2}\times 8 = 36\)이고 \(S'(2) = \dfrac{27}{2}\times 4 = 54\)이다.

[소문항 4-3 풀이 (7점)] 곡선 \(y = x^2 - 2kx = x(x - 2k)\)와 \(x\)축의 교점은 \(0,\; 2k\)이므로 \(A(k) = \dfrac{1}{6}(2k)^3 = \dfrac{4}{3}k^3\)이다. 따라서 \(\dfrac{S(k)}{A(k)} = \dfrac{(9/2)k^3}{(4/3)k^3} = \dfrac{27}{8}\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• 교점 \(x = 0,\; 3k\) 도출 +2점 / 정적분으로 \(S(k) = \dfrac{9}{2}k^3\) 산출 +4점
소문항 [4-2]	• \(S(2) = 36\) 계산 +3점 / 도함수 \(S'(k) = \dfrac{27}{2}k^2\)으로부터 \(S'(2) = 54\) 도출 +4점
소문항 [4-3]	• \(A(k) = \dfrac{4}{3}k^3\) 산출 +4점 / 비율 \(\dfrac{27}{8}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 이차곡선과 직선으로 둘러싸인 넓이는 두 교점 사이의 수평거리 \(\beta - \alpha\)의 세제곱에 비례하므로, \(3k\)와 \(2k\)의 넓이 비는 즉시 \(3^3 : 2^3 = 27 : 8\)이 됩니다.

2027학년도 대비 서강대학교 자연계열 수리논술 실전 모의고사 10회 (해설집) 대문항 5세트 (100분 / 100점 만점 · 논술80%+교과20% · 수능최저 3개 각 3등급)

[대문항 5] 이산확률변수의 기댓값·분산과 표본평균의 정규분포 확률 (20점)

확률과 통계 Ⅲ-1. 확률분포 · Ⅲ-2. 통계적 추정 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: 한국교육과정평가원 확률과 통계 (DB: KICE_2028) PDF p.11 탐구 105 변형 | 성취기준: 12확통03-01, 12확통03-05]

<제시문 (가)> 이산확률변수 \(X\)가 값 \(x_i\)를 가질 확률이 \(p_i\)일 때 \(\sum p_i = 1\)이며, 기댓값은 \(\mathrm{E}(X) = \sum x_i p_i\), 분산은 \(\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2\)이다.
<제시문 (나)> 모평균이 \(m\), 모분산이 \(\sigma^2\)인 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본평균 \(\bar{X}\)에 대하여 \(\mathrm{E}(\bar{X}) = m,\; \mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\)이다.

이산확률변수 \(X\)가 가질 수 있는 값이 \(1, 2, 3\)이고 \(\mathrm{P}(X = 1) = a,\; \mathrm{P}(X = 2) = \dfrac{1}{2},\; \mathrm{P}(X = 3) = b\)이며 기댓값이 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 확률의 총합 조건과 \(\mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)를 연립하여 상수 \(a,\; b\)의 값을 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 제시문 (가)를 이용하여 \(\mathrm{E}(X^2)\)과 분산 \(\mathrm{V}(X)\)를 각각 기약분수로 구하시오.

[문항 5-3] (7점) 이 확률변수 \(X\)와 동일한 분포를 따르는 모집단에서 크기가 \(n = 28\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(\mathrm{E}(\bar{X})\)와 표준편차 \(\sigma(\bar{X})\)를 구하고, \(\mathrm{V}(8\bar{X})\)의 값을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}\) | [5-2] \(\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2},\; \mathrm{V}(X) = \dfrac{7}{16}\) | [5-3] \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8},\; \mathrm{V}(8\bar{X}) = 1\)

[소문항 5-1 풀이 (6점)] \(a + \dfrac{1}{2} + b = 1 \implies a + b = \dfrac{1}{2}\)이고, \(\mathrm{E}(X) = a + 1 + 3b = \dfrac{9}{4} \implies a + 3b = \dfrac{5}{4}\)이다. 두 식을 빼면 \(2b = \dfrac{3}{4} \implies b = \dfrac{3}{8}\)이고 \(a = \dfrac{1}{8}\)이다.

[소문항 5-2 풀이 (7점)] \(\mathrm{E}(X^2) = 1^2\cdot\dfrac{1}{8} + 2^2\cdot\dfrac{1}{2} + 3^2\cdot\dfrac{3}{8} = \dfrac{1 + 16 + 27}{8} = \dfrac{44}{8} = \dfrac{11}{2}\)이다. 따라서 \(\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 = \dfrac{88 - 81}{16} = \dfrac{7}{16}\)이다.

[소문항 5-3 풀이 (7점)] 제시문 (나)에 의해 \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \mathrm{E}(X) = \dfrac{9}{4}\)이고 \(\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\mathrm{V}(X)}{28} = \dfrac{7/16}{28} = \dfrac{1}{64}\)이므로 표준편차는 \(\sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}\)이다. 또한 \(\mathrm{V}(8\bar{X}) = 8^2\mathrm{V}(\bar{X}) = 64\times \dfrac{1}{64} = 1\)이다.

평가 소문항	서강대학교 자연계열 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• \(a + b = \dfrac{1}{2},\; a + 3b = \dfrac{5}{4}\) 연립 +3점 / \(a = \dfrac{1}{8},\; b = \dfrac{3}{8}\) 산출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\mathrm{E}(X^2) = \dfrac{11}{2}\) 계산 +3점 / \(\mathrm{V}(X) = \dfrac{11}{2} - \dfrac{81}{16} = \dfrac{7}{16}\) 도출 +4점
소문항 [5-3]	• \(\mathrm{E}(\bar{X}) = \dfrac{9}{4},\; \sigma(\bar{X}) = \dfrac{1}{8}\) 산출 +4점 / \(\mathrm{V}(8\bar{X}) = 64\times\dfrac{1}{64} = 1\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 표본평균 \(\bar{X}\)의 분산은 \(\mathrm{V}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma^2}{n}\)이고 상수배의 분산은 \(\mathrm{V}(c\bar{X}) = c^2\mathrm{V}(\bar{X})\)임을 결합하여 정확히 계산합니다.