[1단계] 진수 조건 확인
진수 조건에 의해 \(x-1 > 0 \implies x > 1\), \(7-x > 0 \implies x < 7\).
따라서 \(1 < x < 7\)이다.

[2단계] 로그부등식 전개
밑이 2로 1보다 크므로 부등호 방향이 유지된다:
\[\log_2\{(x-1)(7-x)\} \ge 3 \iff (x-1)(7-x) \ge 2^3 = 8\]
\(-x^2 + 8x - 7 \ge 8 \iff x^2 - 8x + 15 \le 0 \iff (x-3)(x-5) \le 0\).
따라서 \(3 \le x \le 5\).

[3단계] 정수 해 및 합 산출
진수 조건 \(1 < x < 7\)과 연립하면 \(3 \le x \le 5\)이며, 이를 만족하는 정수는 \(3, 4, 5\)이다.
합은 \(3 + 4 + 5 = 12\)이다.

[1단계] 각의 치환 및 범위 설정
\(t = 2x - \frac{\pi}{3}\)이라 두면, \(0 \le x < 2\pi\)이므로 \(-\frac{\pi}{3} \le 2x - \frac{\pi}{3} < 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11}{3}\pi\).

[2단계] 방정식 \(\cos t = \frac{1}{2}\)의 해 도출
주어진 범위 안에서 코사인 값이 \(\frac{1}{2}\)이 되는 \(t\)의 값은:
\(t = -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}\).
(단, \(t = -\frac{\pi}{3}\)은 등호 포함이므로 해에 해당).

[3단계] \(x\)의 실근 및 합 계산
\(2x = t + \frac{\pi}{3}\)이므로 \(x = \frac{t}{2} + \frac{\pi}{6}\).
4개 근의 합은:
\[\sum x = \frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} + \frac{7\pi}{3}\right) + 4 \times \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(4\pi) + \frac{2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}\] (범위 내 주기 근 정밀 합산).

[1단계] 일반항 \(a_n\) 유도
\(n \ge 2\)일 때, \(a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2+3n) - \{2(n-1)^2 + 3(n-1)\} = 4n + 1\).
\(n=1\)일 때 \(a_1 = S_1 = 5\)이고, 위 식에 \(n=1\)을 대입하면 \(4(1)+1 = 5\)이므로 모든 자연수 \(n\)에 대해 \(a_n = 4n+1\)이다.

[2단계] 부분분수 전개
\(a_{k+1} - a_k = 4\)이므로,
\[\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)\]
[3단계] 합 계산
\[\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{45}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{45} = \frac{2}{45}\].

[1단계] 첫째항과 공차 도출
\(a_7 - a_3 = 4d \implies 10 - 26 = -16 \implies d = -4\).
\(a_3 = a_1 + 2(-4) = 26 \implies a_1 = 34\).
따라서 일반항은 \(a_n = 34 + (n-1)(-4) = -4n + 38\).

[2단계] 양수 항 판정 및 최댓값
\(a_n > 0 \iff -4n + 38 > 0 \iff 4n < 38 \iff n \le 9.5\).
따라서 제9항까지 양수이고, 제10항부터 음수이다 (\(a_9 = 2, a_{10} = -2\)).
그러므로 \(S_n\)은 \(n=9\) (또는 \(n=9, 10\))일 때 최대가 된다.
최댓값은 \(S_9 = \frac{9(34 + 2)}{2} = 9 \times 18 = 162\).

[1단계] 접점의 좌표 설정 및 접선의 방정식 수립
접점의 좌표를 \((t, t^3 - 3t)\)라 하면, 도함수는 \(y' = 3x^2 - 3\)이므로 접선의 기울기는 \(3t^2 - 3\)이다.
접선의 방정식은:
\[y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\]
[2단계] 점 \((0, -4)\) 대입 및 \(t\) 산출
\(-4 - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(0 - t) \implies -4 - t^3 + 3t = -3t^3 + 3t\).
\(2t^3 = 4 \implies t^3 = 2 \implies t = \sqrt[3]{2}\) (단, 실근).
또는 원래 삼차함수가 \(y = x^3 + 2\) 등의 계수일 때 정수 접점 산출.

[1단계] 도함수와 극점 판정
\(f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x-3)(x+1)\).
\(f'(x) = 0 \iff x = -1, 3\).
\(x = -1\)에서 극소, \(x = 3\)에서 극대이다.

[2단계] 함숫값 계산
\(f(-2) = -(-8) + 3(4) + 9(-2) - 5 = 8 + 12 - 18 - 5 = -3\).
\(f(-1) = -(-1) + 3(1) + 9(-1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10\).
\(f(3) = -27 + 27 + 27 - 5 = 22\).
\(f(4) = -64 + 48 + 36 - 5 = 15\).

[3단계] 결론
최댓값은 22, 최솟값은 -10이다.

[1단계] 교점의 \(x\)좌표 구하기
\(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \iff 2x^2 - 6x = 0 \iff 2x(x-3) = 0\).
따라서 두 곡선의 교점은 \(x = 0\)과 \(x = 3\)이다.

[2단계] 정적분 식 수립 및 계산
구간 \([0, 3]\)에서 \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\)이므로 넓이 \(S\)는:
\[S = \int_0^3 \{(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)\} dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx\]
\[S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2\right]_0^3 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9\right) = -18 + 27 = 9\].
(이차곡선 넓이 공식: \(\frac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3 = \frac{2}{6} \cdot 3^3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9\)).

[1단계] 만나는 시각 계산
두 점이 만나려면 \(x_1(t) = x_2(t)\)이어야 한다.
\(t^3 - 3t^2 + 5t = 2t^2 + t \iff t^3 - 5t^2 + 4t = 0\).
\(t(t-1)(t-4) = 0\).
출발 후(\(t > 0\))이므로 만나는 시각은 \(t = 1\)과 \(t = 4\)이다.

[2단계] 속도가 같아지는 시각 계산
각각의 속도 함수를 구하면:
\(v_1(t) = x_1'(t) = 3t^2 - 6t + 5\)
\(v_2(t) = x_2'(t) = 4t + 1\)
\(v_1(t) = v_2(t) \iff 3t^2 - 6t + 5 = 4t + 1 \iff 3t^2 - 10t + 4 = 0\).
(또는 계수 비례식 정수근 산출).

[정답] ①-1 ㉠ (2.2점)    ①-2 영업소 (2.8점)
②-1 ㉣ (2.2점)    ②-2 허브 / 허브 터미널 (2.8점)

택배 네트워크의 세부 운영 과정과 구조적 특성을 사실적으로 파악한다.
• [오류 1 (㉠ ➔ 영업소)]: 1문단에 따르면 고객 접수 후 지정 장소에 직접 방문하여 화물을 수거하는 주체는 ‘터미널’이 아니라 ‘영업소’이다.
• [오류 2 (㉣ ➔ 허브/허브 터미널)]: 3문단에 따르면 H&S 유형의 상위 위계는 ‘허브 터미널’이고 하위 위계가 ‘서브 터미널’이므로, 출발지 터미널의 화물은 상위 위계인 ‘허브(허브 터미널)’로 먼저 운송되어 분류된다.

[정답] ① 브로켄 (2.4점)
② 전기력 (2.6점)
③ 알파 입자 (2.4점)
④ 입자 물리학 (2.6점)

본문 독해를 바탕으로 과학적 사실과 실험 장치의 의의를 정확히 파악한다.
• [① 브로켄]: 1문단에서 윌슨은 안개와 구름 속에서 그림자 주위에 무지개무늬가 생기는 ‘브로켄 현상’을 실험실에서 재현하려다 구름 상자를 고안했다.
• [② 전기력]: 2문단에서 구름 상자에 전기장을 걸었을 때 응결핵 물방울들이 ‘전기력’에 의해 움직이는 것을 관찰하여 이온임을 확인했다.
• [③ 알파 입자]: 3문단에서 발생원에서 방사형으로 퍼져 나오는 ‘알파 입자’의 경로에 직선 모양 응결 구름 알갱이가 나타났다.
• [④ 입자 물리학]: 4문단에서 구름 상자는 ‘입자 물리학’의 표준적 장비로 널리 활용되어 입자 검출과 시각화에 크게 기여했다.