(1) \(\angle\text{BCA} = \pi/2\) 이다. 피타고라스 정리에 의하여:
\(\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{CA}}^2 + \overline{\text{CB}}^2 = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{24} = 3\sqrt[3]{3}\) 이고, \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{3\sqrt[3]{3}} = \sqrt[6]{81} = \sqrt[6]{3^4}\)이다.
직각삼각형 닮음에 의하여: \(\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{BH}} \cdot \overline{\text{AB}}\) 이므로,
\(a = \overline{\text{BH}} = \frac{\overline{\text{BC}}^2}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{3^4}} = \frac{2\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{2}{\sqrt[6]{9}} = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)이다.

(2) 넓이 관계에 의하여: \(\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}} = \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{CH}}\) 이므로,
\(b = \overline{\text{CH}} = \frac{\overline{\text{CA}} \cdot \overline{\text{CB}}}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\sqrt[6]{3} \cdot \sqrt[6]{24}}{\sqrt[6]{81}} = \frac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{81}} = \sqrt[6]{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt[6]{648}}{3}\)이다.

(3) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여:
- \(\alpha + \beta = a = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)
- \(\alpha\beta = -\sqrt[6]{648}b = -\sqrt[6]{648} \cdot \frac{\sqrt[6]{648}}{3} = -\frac{\sqrt[3]{648}}{3} = -2\sqrt[3]{3}\)
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right)^3 - 3(-2\sqrt[3]{3})\left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right) = \frac{8}{3} + 12 = \frac{44}{3}\)이다.

(1) 공차 \(d = \frac{21-7}{11-4} = 2\) 이다. 첫째항 \(a_1 = a_4 - 3d = 1\)이다. 따라서 일반항 \(a_n = 2n-1\)이다.

(2) \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k-1)(2k+3)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right)\) 이다.
전개하여 소거하면: \(\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{21} - \frac{1}{23} \right) = \frac{50}{161}\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^m \frac{4}{a_k a_{k+2}} = \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2m+1} - \frac{1}{2m+3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{4m+4}{(2m+1)(2m+3)} < \frac{13}{12}\) 이다.
\(\frac{4m+4}{4m^2+8m+3} > \frac{4}{3} - \frac{13}{12} = \frac{1}{4} \rightarrow 16m+16 > 4m^2+8m+3 \rightarrow 4m^2-8m-13 < 0\) 이다.
만족하는 자연수 \(m\)은 1, 2, 3이다. (대입 시 \(m=3\)일 때 \(-1 < 0\), \(m=4\)일 때 \(19 > 0\))

(1) \(6S_n = a_n^2 + 3a_n - 10\) 이고, \(n \ge 2\)일 때 \(6S_{n-1} = a_{n-1}^2 + 3a_{n-1} - 10\)이다.
두 식을 빼면: \(6a_n = a_n^2 - a_{n-1}^2 + 3a_n - 3a_{n-1} \rightarrow a_n^2 - a_{n-1}^2 - 3a_n - 3a_{n-1} = 0\)이다.
인수분해하면: \((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-3) = 0\) 이다.
모든 항이 양수이므로 \(a_n+a_{n-1} > 0\) 이며, \(a_n - a_{n-1} = 3\) (\(n \ge 2\)) 이다. 따라서 공차가 3인 등차수열을 이룬다.

(2) \(n=1\)일 때: \(6a_1 = a_1^2 + 3a_1 - 10 \rightarrow a_1^2 - 3a_1 - 10 = 0 \rightarrow (a_1-5)(a_1+2)=0\) 이고, \(a_1>0\)이므로 \(a_1 = 5\)이다.
일반항 \(a_n = 5 + 3(n-1) = 3n+2\) 이며, \(a_{10} = 32\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^{10} a_k = S_{10} = \frac{10(5+32)}{2} = 185\)이다.

(1) 근과 계수의 관계에 의하여: \(\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \frac{m}{2}\), \(\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta = \frac{n}{2}\)이다.
주어진 식은: \(\frac{\log_2 \beta}{\log_2 \alpha} + \frac{\log_2 \alpha}{\log_2 \beta} = \frac{(\log_2 \alpha + \log_2 \beta)^2 - 2\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta}{\log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta} = \frac{\frac{m^2}{4} - n}{\frac{n}{2}} = \frac{m^2-4n}{2n} = \frac{1}{4}\)이다.
\(4m^2-16n = 2n \rightarrow 2m^2 = 9n\) 이다. 가장 작은 자연수 \(m, n\)이므로 \(m\)은 3의 배수여야 하고, \(m=3\)일 때 \(n=2\)이다. 따라서 \(m=3\)이다.

(2) \(n=2\)이다.

(3) \(m=3, n=2\)를 조건 (가)에 대입한다.
\(6^a = 16^b = k^c = M\)이라 하면, \(a = \log_6 M, b = \log_{16} M, c = \log_k M\)이다.
조건 (나)에서 \(ab = bc - ac \rightarrow \frac{1}{c} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) 이다.
\(\frac{1}{\log_k M} = \frac{1}{\log_6 M} - \frac{1}{\log_{16} M} \rightarrow \log_M k = \log_M 6 - \log_M 16 = \log_M \frac{6}{16} = \log_M \frac{3}{8}\)이다.
따라서 \(k = \frac{3}{8}\)이다.

(1) \(x=2\)에서 연속 조건: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = -6 = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2-a) \rightarrow 6-3a = -6 \rightarrow a=4\)이다.

(2) \(f(x) = \begin{cases} -3x & (x < 2) \\ 3x-12 & (x \ge 2) \end{cases}\) 이므로, \(g'(x) = \begin{cases} -3x(x-2) & (x < 2) \\ 3(x-2)(x-4) & (x \ge 2) \end{cases}\) 이다.
- \(x < 2\) 일 때: \(g(x) = \int_0^x (-3t^2+6t)dt = -x^3+3x^2\)이다.
- \(x \ge 2\) 일 때: \(g(x) = \int_2^x (3t^2-18t+24)dt + g(2)\) 이며, \(g(2) = 4\)이므로 \(g(x) = x^3-9x^2+24x-16\)이다.

(3) \(g'(x) = 0\) 인 점은 \(x=0, 2, 4\)이다.
극댓값은 \(g(2) = 4\) 이고, 극솟값은 \(g(0) = 0, g(4) = 0\)이다.
- \(y=0\)과의 교점 \(b\): \(x=0\)과 \(x=4\)에서 극솟값 0으로 접하므로 교점은 단 \(2\)개이다.
- \(y=3\)과의 교점 \(c\): 극대 4와 극소 0 사이의 수이므로 교점은 \(4\)개이다.
따라서 \(b+c = 2 + 4 = 6\)이다.

(1) 평행사변형 \(\text{ABCD}\)의 넓이는 \(2S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{PAR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{AR}} \sin(\pi-\alpha) = \frac{1}{2} ( (m-1)c ) ( mb ) \sin\alpha = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{QBP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{BQ}} \cdot \overline{\text{BP}} \sin(\pi-\beta) = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{RCQ}) = \frac{1}{2} \overline{\text{CR}} \cdot \overline{\text{CQ}} \sin(\pi-\gamma) = m(m-1)S\)이다.

(2) 삼각형 \(\text{PQR}\)의 넓이는 \(S + 3m(m-1)S = (3m^2-3m+1)S\)이다.
이 값이 평행사변형 넓이 \(2S\)와 같으므로, \(3m^2-3m+1 = 2 \rightarrow 3m^2-3m-1=0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(m = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}\) 이고, \(m>1\)이므로 \(m = \frac{3+\sqrt{21}}{6}\)이다.

(1) 피적분함수 식을 정리한다. \(\int \{ f(x)-3+xf'(x) \}dx = \int \{ (xf(x))' - 3 \}dx = xf(x) - 3x + C = x^4-x^3\)이다.
\(x=0\)을 대입하면 \(C = 0\)이다. 따라서 \(xf(x) = x^4-x^3+3x \rightarrow f(x) = x^3-x^2+3\)이다.
\(f'(x) = 3x^2-2x = 0 \rightarrow x = 0, \frac{2}{3}\) 이며, 극대점은 \(x=0\)이다. 극댓값 \(f(0) = 3\)이다.

(2) \(f(1) = 3\) 이고, \(f'(1) = 1\)이다. 접선의 방정식 \(\ell\)은 \(y-3 = 1(x-1) \rightarrow y = x+2\)이다.

(3) 교점은 \(x^3-x^2+3 = x+2 \rightarrow (x-1)^2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, 1\)이다.
넓이 \(S = \int_{-1}^1 ( (x+2) - (x^3-x^2+3) ) dx = \int_{-1}^1 (-x^3+x^2+x-1)dx = 2\int_0^1 (x^2-1)dx = \frac{4}{3}\)이다.

(1) \(x^3 + 4x^2 - 6x + 8 = x^2 + 18x + b \rightarrow x^3 + 3x^2 - 24x + 8 = b\)이다.
\(h(x) = x^3 + 3x^2 - 24x + 8\) 이라 하면, \(h'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x+4)(x-2) = 0\) 이다.
극대 \(h(-4) = 88\), 극소 \(h(2) = -20\) 이므로 교점이 2개일 조건은 극값에 걸칠 때인 \(b = -20\) 또는 \(b = 88\)이다.

(2) \(x^3 + 3x^2 - 9x + 8 = b\) 이다.
\(k(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 8\) 이라 하면, \(k'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x+3)(x-1) = 0\) 이다.
열린구간 \((-2, 1)\)에서 \(k'(x) < 0\) 이므로 단조감소한다.
\(k(-2) = 30\), \(k(1) = 3\) 이므로 범위는 \(3 < b < 30\)이다.

(3) \(f(x)-g(x) = x^3 + 3x^2 - (6+a)x + 8-b = 0\) 이 모든 \(b\)에 대해 오직 한 실근을 가지려면, 도함수 \(y = 3x^2 + 6x - (6+a) \ge 0\) 이 항상 성립해야 한다.
판별식 \(D/4 = 9 + 3(6+a) = 3a + 27 \le 0 \rightarrow a \le -9\)이다.

[정답] ① ㄹ (2.6점)
② b (2.4점)
③ 사정전 (2.3점)
④ ㄱ (2.7점)

경복궁 전각별 이름에 담긴 뜻과 실제 용도를 본문에서 정확히 찾아 매칭한다.
• [① 근정전 용도 ➔ ㄹ]: 근정전은 즉위식, 혼례식, 사신 맞이 등 국가의 큰 행사를 치르고 중요 정책을 결정하던 곳이다.
• [② 경회루 뜻 ➔ b]: ‘경회’는 경사스러운 연회를 뜻한다.
• [③ 사정전 명칭]: ‘올바른 정치를 생각하라(d)’는 뜻과 임금이 평상시 거처하며 정사를 보던 편전(ㄷ)에 해당하는 전각은 ‘사정전’이다.
• [④ 강녕전 용도 ➔ ㄱ]: 강녕전은 임금이 잠을 자던 침전 공간이다.

[정답] ① ㅐ (1.6점)
② ㅔ (1.6점)
③ ㅚ (1.6점)
④ ㅟ (1.6점)
(※ ①~④는 순서 무관)
⑤ ㄷ (1.8점)
⑥ ㅅ (1.8점)
(※ ⑤, ⑥은 순서 무관)

중세 국어의 음소 체계와 팔종성법의 특징을 정확히 파악한다.
• [①~④ 모음]: 현대 국어의 단모음 10개(ㅣ, ㅡ, ㅓ, ㅏ, ㅜ, ㅗ, ㅐ, ㅔ, ㅚ, ㅟ) 중 중세 국어에서 단모음이었던 7개(ㆍ, ㅣ, ㅡ, ㅓ, ㅏ, ㅜ, ㅗ)를 제외하면 현대에는 단모음이나 중세에는 ‘ㅣ’ 하향 이중 모음이었던 것은 ‘ㅐ, ㅔ, ㅚ, ㅟ’이다.
• [⑤, ⑥ 자음]: 팔종성법(ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ, ㆁ)에서 음절 끝소리로 현대에는 [ㄷ]으로 중화되는 ‘ㄷ’과 ‘ㅅ’을 중세 국어에서는 발음상 구별([d] vs [s])하였으므로 표기에서도 구별하여 적었다.