문항 3 문제 요약
[10점]
함수 \(f(x) = \log_a x\ (a>0, a \ne 1)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(1 < p < q\)인 모든 실수 \(p, q\)에 대하여 \(f(p)(q-1) > f(q)(p-1)\)이다.
(나) \(|f(8)| = 3\)
함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 후, \(y\)축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(\text{A, B}\)라 하고, 두 그래프의 교점을 \(\text{C}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) \(f(x) = \log_a x\)에서 밑 \(a\)의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
(3) 함수 \(y=f(x)\)의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 후, \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 그래프가 점 \((-6, -1)\)을 지날 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.
💡 단계별 핵심 풀이 과정
(1) 조건 (가)는 \(\frac{f(p)}{p-1} > \frac{f(q)}{q-1}\)을 의미하므로 원점과 곡선 위의 점을 잇는 평균변화율이 감소하는 형태(위로 볼록한 지수로그 형태)로 \(a>1\)임을 의미한다.
조건 (나)에서 \(|\log_a 8| = 3 \rightarrow a=2\)이다.
(2) \(f(x) = \log_2 x \rightarrow \text{A}(1,0)\).
\(g(x) = -\log_2 x + 4 \rightarrow \text{B}(16,0)\). 밑변 \(\overline{\text{AB}} = 15\).
교점 \(\text{C}\)는 \(\log_2 x = -\log_2 x + 4 \rightarrow \log_2 x = 2 \rightarrow x=4\). 높이 \(y = 2\)이다.
넓이는 \(\frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.
(3) \(f(x) = \log_2 x\)의 역함수는 \(y = 2^x\)이다.
원점 대칭이동: \(y = -2^{-x}\).
직선 \(y=x\) 대칭이동: \(x = -2^{-y} \rightarrow y = -\log_2(-x)\).
\(x\)축으로 \(k\) 평행이동: \(y = -\log_2(-(x-k))\).
점 \((-6, -1)\) 대입: \(-1 = -\log_2(6+k) \rightarrow 6+k=2 \rightarrow k=-4\)이다.