1이 아닌 두 자연수 \(a, b\)에 대하여 \(a:b=2:1\)이고, 직선 \(y=3\)과 세 함수 \(y = \log_2 x\), \(y = \log_a x\), \(y = \log_b x\)의 그래프가 만나는 점을 각각 \(\text{A, B, C}\)라 하자. \(\overline{\text{AC}}:\overline{\text{BC}} = 1:8\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\sqrt{a^3+b^3}\)의 값을 구하시오.

(2) 선분 \(\overline{\text{AB}}\)의 길이를 구하시오.

(3) 점 \(\text{C}\)의 좌표를 구하시오.

양수 \(\alpha\)에 대하여 함수 \(g(x) = 5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\pi\right)\)의 주기를 \(h(\alpha)\)라 하고
\[f(\alpha) = g(h(\alpha)) - 2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\pi\right\}\]
이라 하자. 함수 \(f(\alpha)\)가 최댓값을 갖도록 하는 \(\alpha\)의 최솟값을 \(m\)이라 하고, 최솟값을 갖도록 하는 \(\alpha\)의 최솟값을 \(n\)이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(m\)과 \(n\)은 양수이다.)

(1) \(m\)의 값을 구하시오.

(2) \(n\)의 값을 구하시오.

(3) \(|h(m)-h(n)|\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \log_a x\ (a>0, a \ne 1)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(1 \lt p \lt q\)인 모든 실수 \(p, q\)에 대하여 \(f(p)(q-1) > f(q)(p-1)\)이다.
(나) \(|f(8)| = 3\)

함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 후, \(y\)축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x\)축과 만나는 점을 각각 \(\text{A, B}\)라 하고, 두 그래프의 교점을 \(\text{C}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(f(x) = \log_a x\)에서 밑 \(a\)의 값을 구하시오.

(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.

(3) 함수 \(y=f(x)\)의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 후, \(x\)축의 방향으로 \(k\)만큼 평행이동한 그래프가 점 \((-6, -1)\)을 지날 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_{2n-1} = n^3 + 1\)
(나) \(a_{2n} - a_{2n-1} = d\ (d\text{는 상수})\)
(다) \(a_n < a_{n+1}\)

다음 물음에 답하시오.

(1) \(\sum_{n=1}^{13} a_n\)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하고, 차이를 구하시오.

(2) \(\sum_{n=1}^{13} a_n\)의 값이 최소일 때, \(a_{16}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x) = x^2+ax+b\ (a, b\text{는 상수})\)와 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x) = (x^2-2x+k)f(x)\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(g'(2) \ne 0\)이고, \(\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-f(x)}{x-2} = 0\)이다.
(나) \(f(t) = f'(t)\)와 \(g'(t) = 3f'(t)\)를 동시에 만족시키는 실수 \(t\)가 존재한다.

다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 \(t\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(t\)의 값을 구하시오.

(2) \(\frac{b}{a}\)의 값을 구하시오.

(3) (1)을 만족시키는 \(t\)에 대하여 \(g(t+5) = \frac{m}{n}\)일 때, \(m+n\)의 값을 구하시오. (단, \(m\)과 \(n\)은 서로소인 자연수이다.)

함수 \(f(x) = \begin{cases} 3x-18 & (x \ge 3) \\ -2x-3 & (x < 3) \end{cases}\) 에 대하여 함수 \(g(x) = \int_0^x (t-3)f(t)dt\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(g(x)\)가 극값을 갖도록 하는 \(x\)의 값을 모두 정확히 구하시오.

(2) \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.

(3) 함수 \(y=g(x)\)의 그래프와 직선 \(y=n\)과의 교점의 개수를 \(a_n\)이라 할 때, \(\sum_{k=1}^{15} a_k\)의 값을 구하시오. (단, \(n\)은 자연수이다.)

최고차항의 계수가 1인 이차함 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}\)의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수가 \(g'(x) = f(|x+5|) - f(|x|)\)이다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=\frac{1}{2}\)에서 극솟값을 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 이차함수 \(f(x)\)를 구하시오.

(2) \(x_0 \ne \frac{1}{2}\)이고 \(g'(x_0) = 0\)을 만족시키는 두 실수 \(x_0 = \alpha\)와 \(x_0 = \beta\)를 구하는 과정을 서술하고, \(\alpha, \beta\)를 구하시오. (단, \(\alpha < \beta\)이다.)

(3) 함수 \(g(x)\)가 극댓값을 갖도록 하는 \(x\)의 값을 정확히 구하시오.

함수 \(f(x)\)가 \(x \ge 0\)에서 \(f(x) = x^2-4x\)이고, 모든 실수에 대하여 \(f(-x)+f(x)=0\)이다. 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([t, t+2]\)에서 \(f(x)\)의 최솟값을 \(g(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(g(1)\)의 값을 구하시오.

(2) \(f(x) \ne g(x)\)인 모든 \(x\)값의 범위를 구하시오.

(3) 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

<보기>의 진술 중 오류를 포함하는 항목 기호 2개를 골라 쓰고, 내용을 수정하시오.

<보기>
- ㉠ 공간과 시간의 양적 측정 단위를 양적으로 관찰하는 것은 지도학적 스케일이다.
- ㉡ 위계적 스케일은 사물의 질량이나 거리를 양적으로 측정하는 방법이다.
- ㉢ 구조주의적 관점은 스케일을 사회/공간적 관계의 주관적 재현물로 이해한다.
- ㉣ 포스트 구조주의는 사회적 실천과 담론이 스케일을 형성하는 데 초점을 맞춘다.
- ㉤ 스케일로 구체화된 지리적 상상은 우리의 공간적 지각에 막대한 영향을 준다.

<보기>의 ①~④의 발음에 적용되는 경음화 규칙 기호를 윗글 ㉠~㉤에서 찾아 쓰시오.

- 사람들이 모이면 우리집에서는 ①국수를 먹었다.
- 올겨울 우리가 목표했던 판매액을 초과 ②달성했다.
- 10년 만에 ③어릴 적 살던 동네를 찾았다.
- 시계태엽을 되돌려 ④감고 잠시 기다렸다.