[1단계] 역함수 관계 및 교점 증명
\(y = f(x) = 2^{x-1}+1\)에서 \(y-1 = 2^{x-1}\)이므로 로그의 정의에 의해 \(x-1 = \log_2(y-1) \implies x = \log_2(y-1)+1\)이다. \(x\)와 \(y\)를 맞바꾸면 \(y = \log_2(x-1)+1 = g(x)\)이므로 두 함수는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭인 역함수 관계이다.
\(2^{x-1}+1 = x\)를 풀면 \(x=2\)일 때 \(2^1+1 = 3 \ne 2\)가 아니라 \(x=1\)일 때 \(2^0+1=2 \ne 1\), \(x=2\)일 때 \(2^1+1=3\), 실근을 점검하면 \(x=2\)는 교점이 아니고 \(2^{x-1}+1=x\)는 실근이 존재하지 않거나 접하지 않으나, 대칭축 \(y=x\)와 수직인 직선 \(y=-x+k\)와 두 점 \(\mathrm{A}(t, 2^{t-1}+1)\), \(\mathrm{B}(2^{t-1}+1, t)\)에서 만난다.

[2단계] 선분의 길이와 상수 \(k\) 계산
두 점의 좌표 차이는 \(|2^{t-1}+1 - t|\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)이므로 \(2^{t-1}+1 - t = 2 \implies 2^{t-1} = t+1\).
이를 만족하는 양수 \(t=3\)이다 (\(2^2 = 4 = 3+1\)).
따라서 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표는 \((3, 5)\)이며, 이 점이 직선 \(y=-x+k\) 위의 점이므로 \(5 = -3 + k \implies k = 8\).

[1단계] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 코사인법칙 적용
\[\overline{\mathrm{AC}}^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 16 - 24\left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 12 = 37 \implies \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{37}\]
[2단계] 삼각형 \(\mathrm{ADC}\)에서 코사인법칙 및 \(\overline{\mathrm{AD}}\) 산출
원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 \(180^\circ\)이므로 \(\angle \mathrm{ADC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
\(\overline{\mathrm{AD}} = x\)라 하면, \[\overline{\mathrm{AC}}^2 = x^2 + 3^2 - 2 \cdot x \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ \implies 37 = x^2 + 9 - 3x \implies x^2 - 3x - 28 = 0\]
\((x-7)(x+4)=0\)이므로 \(x > 0\)에서 \(x = 7\) (단, 변의 길이 비례 검증).

[3단계] 사각형의 넓이 계산
\(S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ + \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 3 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{21}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} + \frac{21\sqrt{3}}{4} = \frac{33\sqrt{3}}{4}\).

[1단계] 등차수열 일반항 유도
\(a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1\).

[2단계] 부분분수 전개 및 망원합 계산
\(a_{k+1} - a_k = 3\)이므로, \(b_k = \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)\).
\[\sum_{k=1}^n b_k = \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}\right)\right\} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3n+2}\right) = \frac{n}{2(3n+2)}\]
[3단계] \(n=20\) 대입
\(\sum_{k=1}^{20} b_k = \frac{20}{2(60+2)} = \frac{20}{124} = \frac{5}{31}\).

[1단계] 항의 순차 계산
\(a_1 = 1 \le 5 \implies a_2 = 1+3 = 4\)
\(a_2 = 4 \le 5 \implies a_3 = 4+3 = 7\)
\(a_3 = 7 > 5 \implies a_4 = 7-4 = 3\)
\(a_4 = 3 \le 5 \implies a_5 = 3+3 = 6\)
\(a_5 = 6 > 5 \implies a_6 = 6-4 = 2\)
\(a_6 = 2 \le 5 \implies a_7 = 2+3 = 5\)
\(a_7 = 5 \le 5 \implies a_8 = 5+3 = 8\)
\(a_8 = 8 > 5 \implies a_9 = 8-4 = 4 = a_2\).
따라서 제2항부터 주기 7로 반복됩니다: \((4, 7, 3, 6, 2, 5, 8)\).

[2단계] 30개 항의 합 계산
한 주기의 합: \(4+7+3+6+2+5+8 = 35\).
제2항부터 제29항까지 28개 항은 4주기이므로 합은 \(4 \times 35 = 140\).
\(a_1 = 1\), \(a_{30} = 4\)이므로 총합은 \(1 + 140 + 4 = 145\) (또는 계산 주기 정밀 산출).

[1단계] 접선의 방정식 유도
\(f'(x) = 3x^2 - 6x\). \(x=2\)에서 기울기는 \(f'(2) = 12 - 12 = 0\).
따라서 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = -2\)이다.

[2단계] 교점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표 산출
\(x^3 - 3x^2 + 2 = -2 \iff x^3 - 3x^2 + 4 = 0\).
\(x=2\)가 중근이므로 \((x-2)^2(x+1) = 0\).
따라서 다른 교점 \(\mathrm{Q}\)의 \(x\)좌표는 \(-1\)이며, 좌표는 \((-1, -2)\)이다.

[3단계] 둘러싸인 도형의 넓이 공식 적용
삼차함수와 접선으로 둘러싸인 넓이 공식 \(S = \frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^4\)에 의해:
\[S = \frac{1}{12}(2 - (-1))^4 = \frac{3^4}{12} = \frac{81}{12} = \frac{27}{4}\].

[1단계] 절댓값 함수와 인수의 미분가능성 성질
\(g(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)\)이라 하면, \(f(x) = |x-a|g(x)\)이다.
함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 \(g(a) = 0\)이다.

[2단계] 미분계수의 정의를 통한 증명
\(x=a\)에서의 좌미분계수와 우미분계수를 구하면:
\[\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^+} \frac{(x-a)g(x)}{x-a} = g(a)\]
\[\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a^-} \frac{-(x-a)g(x)}{x-a} = -g(a)\]
미분가능하려면 \(g(a) = -g(a) \iff 2g(a) = 0 \iff g(a) = 0\)이어야 한다.

[3단계] 상수 \(a\)의 결정
\(g(a) = (a-1)(a-3) = 0\)이므로 \(a = 1\) 또는 \(a = 3\)이다.
\(x \ne a\)인 모든 점에서는 다항함수의 곱이므로 당연히 미분가능하므로, 실수 전체에서 미분가능하게 만드는 \(a\)는 1과 3이다.

[1단계] 도함수 도출 및 극점 판정
\(f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)\).
\(f'(x) = 0\)인 점은 \(x = -1\) (극대), \(x = 3\) (극소)이다.

[2단계] 함수식 적분 및 경계값 계산
\(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\).
극댓값: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{5}{3}\).
극솟값: \(f(3) = 9 - 9 - 9 = -9\).
경계값: \(f(-2) = -\frac{8}{3} - 4 + 6 = -\frac{2}{3}\).
경계값: \(f(4) = \frac{64}{3} - 16 - 12 = \frac{64}{3} - 28 = -\frac{20}{3}\).

[3단계] 최대·최소 결정
비교하면 최댓값은 \(\frac{5}{3}\) (\(x=-1\)), 최솟값은 \(-9\) (\(x=3\))이다.

[1단계] 운동 방향 전환 시각
운동 방향을 바꾸는 시각은 \(v(t) = 0\)이면서 속도의 부호가 바뀌는 순간이다.
\(3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0 \implies t=1, t=3\).

[2단계] 위치의 변화량 계산
\(\Delta x = \int_0^4 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^4 = 64 - 96 + 36 = 4\).

[3단계] 움직인 거리 계산
움직인 거리는 속력의 적분 \(\int_0^4 |v(t)|dt\)이다.
\([0, 1]\): \(v(t) \ge 0 \implies \int_0^1 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_0^1 = 4\).
\([1, 3]\): \(v(t) \le 0 \implies -\int_1^3 v(t)dt = -[t^3 - 6t^2 + 9t]_1^3 = -(0 - 4) = 4\).
\([3, 4]\): \(v(t) \ge 0 \implies \int_3^4 v(t)dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_3^4 = 4 - 0 = 4\).
따라서 총 움직인 거리는 \(4 + 4 + 4 = 12\)이다.

[정답] ① 이익 (2.5점)
② 절용 (2.5점)
③ 장례 / 장례 의식 (2.5점)
④ 비악 (2.5점)

묵자의 4대 핵심 사상(겸애, 절용, 절장, 비악)과 그 개념을 대조한다.
• [① 이익]: 겸애가 실현되어 서로 나누어 가지는 것은 ‘이익(교리)’이다.
• [② 절용]: 재화를 낭비하지 않고 절도 있게 사용하는 주장은 ‘절용’이다.
• [③ 장례]: 삼년상 등 과도한 의식을 줄이는 대상은 ‘장례(장례 의식)’이다.
• [④ 비악]: 비생산적인 지배층의 음악과 향락을 배격하는 사상은 ‘비악’이다.

[정답] ① 주체 (1.8점)
② 상대 (1.8점)
③ 객체 (2.2점)
④ 상대 (2.2점)
⑤ 객체 (2.0점)

중세 국어의 주체·상대·객체 높임 선어말 어미 및 특수 어휘를 분석한다.
• [① 주체]: ‘사ᄅᆞ샤’의 ‘-ᄉᆞ샤-’, ‘여르시니’의 ‘-으시-’는 문장의 주어인 ‘주국 대왕’, ‘우리 시조’를 높이는 주체 높임이다.
• [② 상대]: ‘ᄒᆞ쇼셔’의 ‘-쇼셔’는 청자인 ‘여래’를 높이는 상대 높임이다.
• [③ 객체]: ‘이ᅀᅳᅀᆞᆸ리ᅌᅵ다’의 ‘-ᅀᆞᆸ-’은 문장의 목적어/부사어에 해당하는 대상인 ‘정사’를 높이는 객체 높임이다.
• [④ 상대]: ‘이ᅀᅳᅀᆞᆸ리ᅌᅵ다’의 ‘-ᅌᅵ-’는 청자인 ‘부처’를 높이는 상대 높임이다.
• [⑤ 객체]: 어휘적 요소 ‘ᄉᆞᆯ보다’의 ‘ᄉᆞᆲ-’은 행위의 대상인 부처를 높이는 객체 높임이다.