두 함수 \(f(x) = 2^{x-1} + 1\)과 \(g(x) = \log_2(x-1) + 1\)이 있다. 직선 \(y = -x + k\)가 두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)와 제1사분면에서 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)라 하자.
(1) 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 서로 역함수 관계임을 서술하고, 직선 \(y=x\) 위의 교점의 좌표를 구하시오.
(2) 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이가 \(2\sqrt{2}\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
원 \(\mathcal{C}\)에 내접하는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}}=3\), \(\overline{\mathrm{BC}}=4\), \(\overline{\mathrm{CD}}=3\), \(\angle \mathrm{ABC} = 120^\circ\)이다.
(1) 선분 \(\mathrm{AC}\)의 길이를 구하시오.
(2) 선분 \(\mathrm{AD}\)의 길이를 구하시오.
(3) 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이를 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}}\)이라 하자.
(1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
(2) \(\sum_{k=1}^n b_k\)를 \(n\)에 대한 식으로 나타내시오.
(3) \(\sum_{k=1}^{20} b_k\)의 값을 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(a_1 = 1\)
(나) \(a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 3 & (a_n \le 5) \\ a_n - 4 & (a_n > 5) \end{cases}\)
(1) \(a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\)의 값을 차례로 구하시오.
(2) 수열 \(\{a_n\}\)의 주기를 구하고, \(\sum_{k=1}^{30} a_k\)의 값을 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) 위의 점 \(\mathrm{P}(2, -2)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자.
(1) 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
(2) 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(l\)이 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 다른 점에서 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하시오.
(3) 곡선 \(y = f(x)\)와 접선 \(l\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
함수 \(f(x) = |x-a|(x^2 - 4x + 3)\)이 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 상수 \(a\)의 값을 구하고, 그 이유를 논리적으로 서술하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
함수 \(f(x) = \int_0^x (t^2 - 2t - 3)dt\)에 대하여 구간 \([-2, 4]\)에서 \(f(x)\)의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)
원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\)의 시각 \(t\ (t \ge 0)\)에서의 속도가 \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\)이다.
(1) 점 \(\mathrm{P}\)가 출발 후 운동 방향을 바꾸는 시각을 모두 구하시오.
(2) 시각 \(t=0\)부터 \(t=4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)의 위치의 변화량을 구하시오.
(3) 시각 \(t=0\)부터 \(t=4\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 실제로 움직인 거리를 구하시오.
답안 작성란 (풀이 과정을 논리적으로 서술하시오)