(1) 등차중항 성질에 의해: \(2a = -3 + b \rightarrow b = 2a + 3\)이다.
등비중항 성질에 의해: \(b^2 = a^2 b\)이다. 모든 항이 서로 다르므로 \(b \ne 0\) 이고, 양변을 \(b\)로 나누면 \(b = a^2\)이다.
대입하면 \(a^2 - 2a - 3 = 0 \rightarrow (a-3)(a+1) = 0\) 이다.
- \(a = -1\) 이면 \(b = 1\), \(ab = -1\)이 되어 \(a\)와 \(ab\)의 값이 같아지므로 '서로 다른 네 수'라는 조건에 모순이다.
- \(a = 3\) 이면 \(b = 9\), \(ab = 27\)이 되어 네 수는 \(-3, 3, 9, 27\)로 모두 서로 다르므로 성립한다.
따라서 \(a=3, b=9\) 이다. 공차 \(d = a - (-3) = 6\)이다.

(2) 공비 \(r = \frac{b}{a} = \frac{9}{3} = 3\)이다.

(3) \(ab = 3 \times 9 = 27\)이다.

(1) \(x\)축과 만나지 않으려면 판별식 \(D/4 < 0\) 이어야 한다.
\(D/4 = (\log_2 a + 1)^2 - (\log_2 a + 7) < 0\) 이다.
\(\log_2 a = X\)라 치환하면, \((X+1)^2 - X - 7 = X^2 + X - 6 < 0 \rightarrow (X+3)(X-2) < 0 \rightarrow -3 < X < 2\)이다.
즉, \(-3 < \log_2 a < 2 \rightarrow 2^{-3} < a < 2^2\) 이다. 따라서 \(m = -3\)이다.

(2) \(n = 2\)이다.

(3) \(m=-3, n=2\)를 부등식에 대입하면: \(\log_4 (x^2 - 5x - 6) \le \log_2 \sqrt{30}\) 이다.
밑을 2로 통일하면: \(\frac{1}{2} \log_2 (x^2 - 5x - 6) \le \frac{1}{2} \log_2 30 \rightarrow \log_2 (x^2 - 5x - 6) \le \log_2 30\) 이다.
- 진수 조건: \(x^2 - 5x - 6 > 0 \rightarrow (x-6)(x+1) > 0 \rightarrow x < -1\) 또는 \(x > 6\)이다.
- 부등식 해: \(x^2 - 5x - 6 \le 30 \rightarrow x^2 - 5x - 36 \le 0 \rightarrow (x-9)(x+4) \le 0 \rightarrow -4 \le x \le 9\)이다.
두 범위를 동시에 만족하는 정수 \(x\)는 \(-4, -3, -2\) 와 \(7, 8, 9\)이다.
따라서 모든 정수 \(x\)의 합은 \(-4 - 3 - 2 + 7 + 8 + 9 = 15\)이다.

(1) \(x \ne 0\)일 때, 부등식을 \(x\)로 나눈다.
- \(x > 0\)일 때: \(-2x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le x + 2\)
- \(x < 0\)일 때: \(x + 2 \le \frac{f(x)}{x} \le -2x + 2\)
샌드위치 정리에 의해 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\)이다.
구하는 식의 분모 분자를 \(x^2\)으로 나누면:
\(\lim_{x \to 0} \frac{\{f(x)/x\}^2}{3 + f(x)/x} = \frac{2^2}{3 + 2} = \frac{4}{5}\)이다.

(2) \(x \to -2\)일 때 분모가 0으로 수렴하므로 분자 \(\lim_{x \to -2} \{f(x+2) - ax + b\} = f(0) + 2a + b = 0\)이어야 한다.
원래 부등식에 \(x=0\)을 대입하면 \(0 \le f(0) le 0 \rightarrow f(0) = 0\)이므로, \(b = -2a\)이다.
부등식에 대입하면: \(\lim_{x \to -2} \frac{f(x+2) - a(x+2)}{(x+2)(x-2)}\) 이다.
\(t = x+2\)로 치환하면 \(t \to 0\)이므로, \(\lim_{t \to 0} \frac{f(t) - at}{t(t-4)} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)/t - a}{t-4} = \frac{2-a}{-4} = 4 \rightarrow 2-a = -16 \rightarrow a=18\)이다.
\(b = -2a = -36\)이다.

(1) \(2a_{n+1} + 3S_n = 10\) 이라 하자.
- \(n=1\)일 때: \(2a_2 + 3a_1 = 10\)
- \(n \ge 2\)일 때: \(2a_n + 3S_{n-1} = 10\)
두 식을 빼면: \(2a_{n+1} + a_n = 0 \rightarrow a_{n+1} = -\frac{1}{2} a_n\) (\(n \ge 2\)) 이다.
즉, 제2항부터 공비가 \(-\frac{1}{2}\)인 등비수열을 이룬다.
일반항 \(a_n = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-2}\) (\(n \ge 2\)) 이다.
\(a_{50} = a_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^{48} = a_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{48} = \left(\frac{1}{2}\right)^{43}\) 이므로, \(a_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 32\)이다.

(2) \(n=1\)일 때 식 \(2a_2 + 3a_1 = 10 \rightarrow 64 + 3a_1 = 10 \rightarrow 3a_1 = -54 \rightarrow a_1 = -18\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^5 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = -18 + 32 - 16 + 8 - 4 = 2\)이다.

(1) \(\log x = X\)라 하면, \(X^2 - (a+2)X - a + 3 = 0\)의 두 실근은 \(\log p\), \(\log q\)이다.
근과 계수의 관계에 의하여:
- \(\log p + \log q = a + 2\)
- \(\log p \cdot \log q = -a + 3\)
\(q = 10p \rightarrow \log q = \log p + 1\) 이다. 대입하면:
\(2\log p + 1 = a + 2 \rightarrow a = 2\log p - 1\) 이다.
곱 식에 대입하면: \(\log p(\log p + 1) = -(2\log p - 1) + 3 = -2\log p + 4\)이다.
\(\log p = Y\)라 하면, \(Y^2 + 3Y - 4 = 0 \rightarrow (Y+4)(Y-1) = 0 \rightarrow Y=-4\) 또는 \(Y=1\)이다.
- \(Y = 1\) 이면 \(a = 1\)이 되어 음수 조건에 모순이다.
- \(Y = -4\) 이면 \(a = -9\)가 되어 성립한다. 따라서 \(a = -9\)이다.

(2) \(\log p = -4 \rightarrow p = 10^{-4}\)이다.

(3) \(\log q = -3 \rightarrow q = 10^{-3}\)이다.

(1) \(S_1 = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\)이다. 피타고라스 정리에 의해 \(AC=10\)이다.
내분비 \(1:m\)에 의하여: \(\overline{\text{PB}} = 8 \times \frac{m}{m+1}\), \(\overline{\text{BQ}} = 6 \times \frac{1}{m+1}\)이다.
삼각형 \(\text{PBQ}\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \overline{\text{PB}} \cdot \overline{\text{BQ}} = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다.

(2) \(\text{Area}(\text{QCR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{QC}} \cdot \overline{\text{CR}} \sin C\) 이고, \(\sin C = \frac{8}{10}\)이다.
대입하면: \(\frac{1}{2} \left(6 \times \frac{m}{m+1}\right) \left(10 \times \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{8}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다.
\(\text{Area}(\text{RAP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{RA}} \cdot \overline{\text{AP}} \sin A\) 이고, \(\sin A = \frac{6}{10}\)이다.
대입하면: \(\frac{1}{2} \left(10 \times \frac{m}{m+1}\right) \left(8 \times \frac{1}{m+1}\right) \left(\frac{6}{10}\right) = \frac{24m}{(m+1)^2}\)이다. 따라서 두 넓이는 같다.

(3) 세 외곽 삼각형의 넓이는 모두 \(\frac{24m}{(m+1)^2}\)로 일치한다.
\(S_2 = 24 - 3 \times \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow 3 \times \frac{24m}{(m+1)^2} = 12 \rightarrow \frac{6m}{(m+1)^2} = 1 \rightarrow m^2 - 4m + 1 = 0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(m = 2 \pm \sqrt{3}\) 이고, \(m>1\)이므로 \(m = 2 + \sqrt{3}\)이다.

(1) \(x=2\)에서 연속이므로: \(\lim_{x \to 2^-} f(x) = c = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2-8 = -6 \rightarrow c = -6\)이다.
\(x=0\)과 \(x=6\)에서 경계 연속도 만족한다. (\(f(0) = -6, \lim_{x \to 6^-} f(x) = 18 - 24 = -6\)). 따라서 \(c = -6\)이다.

(2) 한 주기 \([0, 6)\)에서 도함수는 \(f'(x) = \begin{cases} -2x+2 & (0 < x < 2) \\ x-4 & (2 < x < 6) \end{cases}\) 이다.
\(x = 1\)에서 극대 (부호 \(+ \to -\)), \(x = 4\)에서 극소 (부호 \(- \to +\))를 가진다.
극소점 \(a_k = 4 + 6k\) 이고, 범위 \(-100 < 4 + 6k < 100 \rightarrow -17.33 < k < 16\) 이므로 \(k = -17 \sim 15\) (총 33개)이다.
\(\sum_{k=1}^{33} a_k = 4 \times 33 + 6 \sum_{k=-17}^{15} k = 132 + 6(-33) = -66\)이다.

(3) 극대점 \(b_k = 1 + 6k\) 이고, 범위 \(-100 < 1 + 6k < 100 \rightarrow -16.83 < k < 16.5\) 이므로 \(k = -16 \sim 16\) (총 33개)이다.
\(\sum_{k=1}^{33} |b_k| = \sum_{k=-16}^{-1} (-6k-1) + \sum_{k=0}^{16} (6k+1) = 800 + 833 = 1633\)이다.

(1) \(\int_0^a f(x)dx = \int_0^1 (-x^2+1)dx + \int_1^a (3x^2-3)dx = \frac{2}{3} + [x^3-3x]_1^a = a^3 - 3a + \frac{8}{3}\)이다.
\(a^3 - 3a + \frac{8}{3} = \frac{14}{3} \rightarrow a^3 - 3a - 2 = 0 \rightarrow (a-2)(a+1)^2 = 0\) 이고, \(a \ge 1\)이므로 \(a = 2\)이다.

(2) \(x+1\)의 범위는 \(1 < x+1 \le 3\)이므로 1을 경계로 나뉜다.
- \(0 < x \le 1\) 일 때: \(S(x) = \int_x^1 (-t^2+1)dt + \int_1^{x+1} (3t^2-3)dt = \frac{4}{3}x^3+3x^2-x+\frac{2}{3}\)이다.
- \(1 \le x \le 2\) 일 때: \(S(x) = \int_x^{x+1} (3t^2-3)dt = 3x^2+3x-2\)이다.

(3) - \(0 < x < 1\) 구간: \(S'(x) = 4x^2 + 6x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}\)에서 극소이다.
- \(1 \le x \le 2\) 구간: \(S'(x) = 6x + 3 > 0\) 이므로 계속 증가한다.
따라서 함수 \(S(x)\)의 최솟값은 극소점인 \(b = \frac{-3+\sqrt{13}}{4}\)에서 발생한다.

[정답] ①-1 ㉢ (1.8점)    ①-2 감소 / 감소한다 (3.2점)
②-1 ㉣ (1.8점)    ②-2 열 / 열 에너지 / 용융염의 열 (3.2점)

3세대 원자로와 4세대 용융염 원자로(MSR)의 특성을 비교 분석한다.
• [오류 1 (㉢)]: 용융염 원자로는 온도가 상승하면 액체 핵연료 밀도가 감소하여 핵분열 반응 확률이 ‘감소’한다.
• [오류 2 (㉣)]: 열 교환기는 핵연료 물질이 배제된 채 노심 용융염의 ‘열(열 에너지)’만을 전달받아 발전기로 이동시킨다.

[정답] ① 첨가 / 모음(의) 첨가 (2.6점)
② 탈락 / 모음(의) 탈락 (2.4점)
③ 탈락 / 모음(의) 탈락 (2.4점)
④ 교체 / 모음(의) 교체 (2.6점)

모음 충돌 회피 과정에서 일어나는 음운 변동 유형을 정확히 대입한다.
• [① 첨가]: ‘피- + -어’ → [피여]는 모음 ‘ㅓ’ 앞에 반모음 ‘j’가 덧붙었으므로 ‘첨가’이다.
• [② 탈락]: ‘가- + -았-’ → [갇]은 동일 모음 ‘ㅏ’ 중 하나가 없어졌으므로 ‘탈락’이다.
• [③ 탈락]: ‘쓰- + -어라’ → [써라]는 어간의 모음 ‘ㅡ’가 없어졌으므로 ‘탈락’이다.
• [④ 교체]: ‘이기- + -어’ → [이겨]는 모음 ‘ㅣ’가 반모음 ‘j’로 바뀌었으므로 ‘교체’이다.