서로 다른 네 수 \(-3, a, b, ab\)에 대하여 \(-3, a, b\)는 이 순서대로 공차가 \(d\)인 등차수열을 이루고, \(a, b, ab\)는 이 순서대로 공비가 \(r\)인 등비수열을 이룰 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(d\)의 값을 구하시오. (3.2점)

(2) \(r\)의 값을 구하시오. (3.2점)

(3) \(ab\)의 값을 구하시오. (3.6점)

\(y = x^2 - 2(\log_2 a + 1)x + (\log_2 a + 7)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나지 않도록 하는 양수 \(a\)의 범위를 \(2^m \lt a \lt 2^n\)이라 하자.

(1) \(m\)의 값을 구하시오. (2.1점)

(2) \(n\)의 값을 구하시오. (2.1점)

(3) 위에서 구한 \(m, n\)에 대하여 부등식 \(\log_4 \{ x^2 + (m-n)x + mn \} \le \log_2 \sqrt{mn(m-n)}\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오. (5.8점)

함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-2x^2 + 2x \le f(x) \le x^2 + 2x\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\lim_{x \to 0} \frac{\{f(x)\}^2}{3x^2 + x f(x)}\)의 값을 구하시오. (4.8점)

(2) \(\lim_{x \to -2} \frac{f(x+2) - ax + b}{x^2 - 4} = 4\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(a, b\)의 값을 구하시오. (5.2점)

수열 \({a_n}\)에서 \(a_{50} = \left(\frac{1}{2}\right)^{43}\) 이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(2a_{n+1} + 3(a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n) = 10\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a_2\)의 값을 구하시오. (5점)

(2) \(a_1\)의 값을 구하시오. (2.2점)

(3) 수열의 합 \(\sum_{k=1}^5 a_k\)의 값을 구하시오. (2.8점)

\(x\)에 대한 방정식 \((\log x)^2 - (a+2)\log x - a + 3 = 0\)의 두 근을 \(p, q\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(q = 10p\)를 만족시키는 음수 \(a\)의 값을 구하시오. (4점)

(2) 위에서 구한 \(a\)의 값에 따른 두 근 \(p\)를 구하시오. (3.2점)

(3) 위에서 구한 \(a\)의 값에 따른 두 근 \(q\)를 구하시오. (2.8점)

그림과 같이 \(\overline{\text{AB}}=8, \overline{\text{BC}}=6\)인 직각삼각형 \(\text{ABC}\)에서 선분 \(\text{AB, BC, CA}\)를 \(1:m\)으로 내분하는 점을 각각 \(\text{P, Q, R}\)이라 하자. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 \(\text{PQR}\)의 넓이를 \(S_2\)라고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(m>1\)이고 \(\angle\text{CAB}=\theta\))

(1) 삼각형 \(\text{PBQ}\)의 넓이를 \(m\)에 관한 식으로 나타내시오. (2.6점)

(2) 두 삼각형 \(\text{QCR}\)과 \(\text{RAP}\)의 넓이가 같음을 보이는 과정을 서술하시오. (5.2점)

(3) \(S_2 = \frac{1}{2}S_1\)을 만족시키는 \(m\)의 값을 구하시오. (2.2점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 구간 \([0, 6)\)에서
\[f(x) = \begin{cases} -x^2+2x+c & (0 \le x < 2) \\ \frac{1}{2}x^2-4x & (2 \le x < 6) \end{cases}\]
이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(x+6)\)을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 연속일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 \(c\)의 값을 구하시오. (2점)

(2) 열린구간 \((-100, 100)\)에서 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극소인 모든 실수 \(a\)를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(a_1, a_2, \dots, a_m\)이라 할 때, \(\sum_{k=1}^m a_k\)의 값을 구하시오. (3.4점)

(3) \(x=b\)에서 극대인 모든 실수 \(b\)를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(b_1, b_2, \dots, b_n\)이라 할 때, \(\sum_{k=1}^n |b_k|\)의 값을 구하시오. (4.6점)

함수 \(f(x) = \begin{cases} -x^2+1 & (0 \le x < 1) \\ 3x^2-3 & (1 \le x \le 3) \end{cases}\) 라 하자.

(1) \(\int_0^a f(x)dx = \frac{14}{3}\) 인 \(a\)의 값을 구하시오. (1.7점)

(2) \(0 < x \le 2\)에서 \(S(x) = \int_x^{x+1} f(t)dt\)일 때, 함수 \(S(x)\)를 구하시오. (3.6점)

(3) 함수 \(S(x)\)가 \(x=b\)에서 최소일 때, \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(b\)의 값을 구하시오. (4.7점)

[문제 8] (10점) <보기>의 ㉠~㉤ 중 윗글의 내용과 일치하지 않는 두 개를 찾아 기호를 쓰고 바르게 고쳐 쓰시오.

[문제 2] (10점) <보기>의 ①, ②, ③, ④에서 모음과 모음이 만날 때 발생하는 음운 변동 현상을 윗글에서 찾아 쓰시오.