연립방정식 \(\begin{cases} 2^{a+1} + 3^{b+2} = 113 \\ 2^{a+2} + 3^{b+1} = 91 \end{cases}\)의 해 \(a\)와 \(b\)에 대하여,
\[\log_a\left(a+\frac{1}{b}\right)^2 + \log_b\left(b+\frac{1}{a}\right) = \log_b\frac{m}{n}\]
을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(m\)과 \(n\)은 서로소인 자연수이다.)

(1) \(a+b\)의 값을 구하시오.

(2) \(n\sqrt{m}\)의 값을 구하시오.

\(0 \lt x \lt \pi\)에서 방정식 \(\frac{1}{2-2\cos x} - \frac{1}{2+2\cos x} = \frac{2}{3}\)의 해를 \(\alpha\)라 하자. 외접원의 반지름 길이가 \(\sqrt{15}\)인 삼각형 \(\text{ABC}\)에 대하여 \(\cos A = \frac{1}{2}\cos\alpha\)를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\alpha\)의 값을 구하시오.

(2) \(\sin A\)의 값을 구하시오.

(3) 선분 \(\overline{\text{BC}}\)의 길이를 구하시오.

삼각형 \(\text{ABC}\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\sin^2 A = \sin^2 B + 2\sin^2 C\)
(나) \(\sin B = 2\sin C\)

선분 \(\overline{\text{BC}}\)의 길이는 \(2\sqrt{6}\)이고, 변 \(\text{AB}\) 위에 점 \(\text{E}\)와 변 \(\text{AC}\) 위에 점 \(\text{F}\)에 대하여 삼각형 \(\text{AEF}\)의 넓이가 삼각형 \(\text{ABC}\) 넓이의 \(\frac{1}{4}\)이다. 선분 \(\overline{\text{AE}}\)의 길이를 \(p\), 선분 \(\overline{\text{AF}}\)의 길이를 \(q\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(\cos A\)의 값을 구하시오.

(2) \(pq\)의 값을 구하시오.

(3) 선분 \(\overline{\text{EF}}\)의 길이의 최솟값을 구하시오.

모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n < a_{n+1}\)이고, 첫째항 \(a_1\)과 공비의 곱이 1인 등비수열 \({a_n}\)에 대하여 수열 \({b_n}\)을 \(b_n = a_{3n-1}\)이라 하자. 수열 \({a_n}\)의 첫째항에서 제 \(n\)항까지의 합을 \(A_n\), 수열 \({b_n}\)의 첫째항에서 제 \(n\)항까지의 합을 \(B_n\)이라 할 때, \(2A_9 = 7B_3\)을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 등비수열 \({a_n}\)의 공비를 구하는 과정을 서술하고, 공비를 구하시오.

(2) \(\frac{b_n}{a_n} > 1024\)를 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)을 구하시오.

(3) \(\log_{b_3} a_5\)의 값을 구하시오.

수열 \({a_n}\)이 아래의 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n+1} \ne a_n\)이다.
(나) \(\sum_{k=1}^n a_k = a_n^2 + (n+1)a_n\)

(1) 수열 \({a_n}\)의 첫째항 \(a_1\)을 구하는 과정을 서술하고, \(a_1\)을 구하시오.

(2) \(\left|\sum_{k=1}^n a_k\right| > 900\)을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)을 구하시오.

두 다항함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가
\[g(x) = x^2 + \int_0^1 (2x+t)f(t)dt, \quad \int_1^x f(t)dt = xg(x)+2x+2\]
를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(g(x)\)를 구하시오.

(2) 함수 \(f(x)\)를 구하시오.

(3) 직선 \(y=2\)와 곡선 \(y=f(x)-g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

함수 \(f(x) = \begin{cases} |(x+a)(x^2-3x)| & (x \ge 0) \\ |(x+b)(x^2+3x)| & (x < 0) \end{cases}\) 라 하자. 함수 \(f(x)\)는 \(x=0\)에서만 미분가능하지 않을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, \(a\)와 \(b\)는 상수이다.)

(1) \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(a, b\)의 값을 구하시오.

(2) 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 직선 \(y=n\)과의 교점의 개수를 \(g(n)\)이라 할 때, \(g(0)+g(2)+g(4)+g(6)\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(x)\)의 도함수 \(y=f'(x)\)의 그래프는 \(x\)축과 \(x=-1\)에서 만나고, \(x=alpha\ (\alpha > 0)\)에서 접한다.
(나) \(f(\alpha)=0\)이고, \(f(0)=-16\)이다.

구간 \(-1 \le x \le t\ (t \ge -1)\)에서 \(f'(x)\)의 최댓값을 \(g(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 양수 \(\alpha\)의 값을 구하시오.

(2) \(g\left(\frac{3}{2}\right)\)의 값을 구하시오.

(3) \(\int_{-1}^4 g(t)dt\)의 값을 구하시오.

<보기>의 설명 중 윗글과 일치하지 않는 기호 2개를 골라 쓰고, 내용을 바르게 고치시오.

<보기>
- ㉠ 조선 시대 초상화는 사당이나 서원에 모시기 위한 목적으로 성행했다.
- ㉡ 어진은 나라에 큰 무공을 세운 신하들을 치하하기 위한 초상이다.
- ㉢ 기로도상은 70세 이상 원로 대신들의 공을 기리는 그림이다.
- ㉣ '전신 사조'에서 '전신'은 그림을 그리는 작가의 고고한 정신세계를 담는 것을 뜻한다.
- ㉤ 배경을 과감히 생략하여 주인공에게 경건하게 집중시키는 특징이 있다.

<보기>의 ①~⑤의 밑줄 친 단어를 발음할 때 적용되는 규칙 기호를 윗글 ㉠~㉤에서 찾아 쓰시오.

- 손을 뻗으면 손잡이에 손이 ①닿는다.
- 시계를 ②잡히고 돈을 빌렸다.
- 몸에 좋다고 해도 이 음식은 ③싫소.
- 세상에 ④닳고 닳은 녀석 같으니.
- ⑤옳은 소리가 귀에는 거슬리는 법이다.