| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제8회 [실전모의] |
[문제 1] | 대수 | 평행선 \(y=x+2n, y=x-n\) 위의 정삼각형 최소 넓이 \(S_n\), 코사인법칙 및 망원급수 (2024 기출 1번 변형) | 30점 | 상 |
| [문제 2] | 미적분Ⅰ (수학Ⅱ) | 구간별 이차함수에 원점에서 그은 공통 접선 \(y=2x\), 넓이 불변성 및 정적분 합 (2024 기출 2번 변형) | 40점 | 최상 | |
| [문제 3] | 확률과 통계 | 표본공간 분할 조건부확률 연립방정식과 표본비율 \(\hat{p}\)을 이용한 모비율 \(95\%\) 신뢰구간 추정 (2024 기출 3번 변형) | 30점 | 상 |
두 직선 \(\ell_1 : x - y + 2n = 0\)과 \(\ell_2 : x - y - n = 0\) 사이의 거리 \(d_n\)은 정삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 높이와 같으므로\[d_n = \frac{|2n - (-n)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{3n}{\sqrt{2}}\]입니다. 정삼각형의 높이 공식 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ell_n = d_n = \dfrac{3n}{\sqrt{2}}\)으로부터 한 변의 길이와 넓이는\[\ell_n = \sqrt{6}\,n, \quad S_n = \frac{\sqrt{3}}{4}\ell_n^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}n^2\]입니다. 따라서 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{8} \frac{S_n}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2}\sum_{n=1}^{8} n^2 = \frac{3}{2} \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = \frac{3}{2} \times 204 = 306\]입니다.
삼각형 \(A_n C_n D_n\)에서 \(\overline{A_n C_n} = \ell_n = \sqrt{6}\,n\), \(\overline{C_n D_n} = \frac{1}{2}\ell_n = \frac{\sqrt{6}}{2}n\)이고, 정삼각형의 외각이므로 \(\angle A_n C_n D_n = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)입니다.
제시문 <1>의 코사인법칙을 적용하면 (\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\))\[\overline{A_n D_n}^2 = \ell_n^2 + \left(\frac{1}{2}\ell_n\right)^2 - 2\ell_n\left(\frac{1}{2}\ell_n\right)\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{4}\ell_n^2 = \frac{7}{4} \times 6n^2 = \frac{21}{2}n^2\]이므로 \(\overline{A_n D_n} = \dfrac{\sqrt{42}}{2}n\)입니다.
또한 삼각형 \(A_n C_n D_n\)에 사인법칙을 적용하면 (\(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\))\[2R_n = \frac{\overline{A_n D_n}}{\sin 120^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{42}}{2}n}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{14}\,n \implies R_n = \frac{\sqrt{14}}{2}n\]입니다.
(1-ⅱ)에서 \(R_n = \dfrac{\sqrt{14}}{2}n\)이므로 \(R_n R_{n+1} = \dfrac{14}{4}n(n+1) = \dfrac{7}{2}n(n+1)\)입니다.
따라서 주어진 급수의 일반항은\[\frac{7}{R_n R_{n+1}} = \frac{7}{\frac{7}{2}n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\]입니다. 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=1}^{m} \frac{7}{R_n R_{n+1}} = 2\sum_{n=1}^{m} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 2\left(1 - \frac{1}{m+1}\right)\]입니다. 부등식 \(2\left(1 - \dfrac{1}{m+1}\right) \ge \dfrac{15}{8}\)을 정리하면\[1 - \frac{1}{m+1} \ge \frac{15}{16} \iff \frac{1}{m+1} \le \frac{1}{16} \iff m + 1 \ge 16 \iff m \ge 15\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(15\)입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [1-ⅰ] | \(d_n = \frac{3n}{\sqrt{2}}, \; \ell_n = \sqrt{6}n, \; S_n = \frac{3\sqrt{3}}{2}n^2\) 도출 및 합 \(306\) 산출 (10점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | \(\angle A_n C_n D_n = 120^\circ\) 코사인법칙으로 \(\overline{A_n D_n} = \frac{\sqrt{42}}{2}n\) 유도 (5점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | 사인법칙을 적용하여 외접원 반지름 \(R_n = \frac{\sqrt{14}}{2}n\) 도출 (5점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | \(\frac{7}{R_n R_{n+1}} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)\) 변형 및 부분합 \(2\left(1 - \frac{1}{m+1}\right)\) 도출 (5점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | 부등식 \(m+1 \ge 16\)을 풀어 최솟값 \(m = 15\) 완결 (5점) |
\(f_n(x) = x^2 - 4nx + 4n^2 + 4n + 1\)이고 \(f_n'(x) = 2x - 4n\)입니다.
제시문 <1>에 의하여 원점을 지나는 접선의 접점 \(s_n \in [2n-1, 2n+1]\)은 방정식 \(f_n(s) = s f_n'(s)\)를 만족하므로\[s^2 - 4ns + 4n^2 + 4n + 1 = s(2s - 4n) \iff s^2 = (2n + 1)^2\]\(s_n \gt 0\)이므로 \(s_n = 2n + 1 \in [2n-1, 2n+1]\)입니다.
그때의 접점 좌표는 \(P_n(2n+1, 4n+2)\)이고 접선의 기울기는 \(f_n'(2n+1) = 2(2n+1) - 4n = 2\)이므로, 접선 \(\ell_n\)의 방정식은 \(y = 2x\)로서 자연수 \(n\)에 관계없이 항상 동일합니다.
곡선 \(y = f_n(x)\)와 직선 \(y = 2x\)의 차를 정리하면\[f_n(x) - 2x = x^2 - 2(2n+1)x + (2n+1)^2 = \{x - (2n+1)\}^2 \ge 0\]입니다. 따라서 구간 \([2n-1, 2n+1]\)에서 둘러싸인 넓이 \(A_n\)은\[\begin{aligned} A_n &= \int_{2n-1}^{2n+1} \{x - (2n+1)\}^2\,dx = \left[\frac{1}{3}\{x - (2n+1)\}^3\right]_{2n-1}^{2n+1} \\ &= 0 - \frac{1}{3}(-2)^3 = \frac{8}{3} \end{aligned}\]으로서 자연수 \(n\)의 값에 관계없이 항상 \(\dfrac{8}{3}\)으로 일정합니다.
\(f_n(x) = \{f_n(x) - 2x\} + 2x\)이므로 정적분 \(I_n\)은 (2-ⅱ)의 넓이 \(A_n = \frac{8}{3}\)과 직선 \(y = 2x\) 아래의 사다리꼴 넓이의 합과 같습니다.\[\begin{aligned} I_n &= \int_{2n-1}^{2n+1} \{f_n(x) - 2x\}\,dx + \int_{2n-1}^{2n+1} 2x\,dx \\ &= \frac{8}{3} + \left[x^2\right]_{2n-1}^{2n+1} = \frac{8}{3} + \left\{(2n+1)^2 - (2n-1)^2\right\} = 8n + \frac{8}{3} \end{aligned}\]따라서 \(n=1\)부터 \(6\)까지의 합은\[\sum_{n=1}^{6} I_n = 8\sum_{n=1}^{6} n + \sum_{n=1}^{6} \frac{8}{3} = 8 \times \frac{6 \times 7}{2} + 6 \times \frac{8}{3} = 168 + 16 = 184\]입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [2-ⅰ] | \(f_n(s) = sf_n'(s)\)로부터 \(s_n = 2n+1\) 도출 및 공통 접선 \(y = 2x\) 증명 (12점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | \(f_n(x) - 2x = (x - 2n - 1)^2\) 완전제곱식 인수분해 도출 (7점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | 정적분 계산으로 \(n\)에 무관한 일정한 넓이 \(A_n = \frac{8}{3}\) 산출 (7점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | \(I_n = A_n + \int_{2n-1}^{2n+1} 2x\,dx = 8n + \frac{8}{3}\) 일차식 유도 (7점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | \(\sum_{n=1}^6 I_n = 168 + 16 = 184\) 정확 계산 (7점) |
표본공간에서 합집합 \(A \cup B\)는 서로 배반인 세 사건 \(A \cap B^c\), \(A^c \cap B\), \(A \cap B\)의 합사건이므로\[P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)\]입니다. 조건 (가)의 \(P(A \cup B) = \frac{1}{2} = \frac{10}{20}\)과 조건 (다)의 \(P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = \frac{7}{20}\)을 대입하면\[P(A \cap B) = \frac{10}{20} - \frac{7}{20} = \frac{3}{20}\]입니다. 이제 조건 (나)의 조건부확률 정의를 적용하면\[P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{5} \implies P(A) = \frac{5}{2} \times \frac{3}{20} = \frac{3}{8}\]\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2} \implies P(B) = 2 \times \frac{3}{20} = \frac{3}{10}\]입니다.
\(A \cap B^c \subset A \cup B\)이므로 \((A \cap B^c) \cap (A \cup B) = A \cap B^c\)입니다.
(3-ⅰ)에서 구한 값으로부터\[P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{3}{8} - \frac{3}{20} = \frac{15 - 6}{40} = \frac{9}{40}\]입니다. 따라서 구하는 조건부확률은\[P(A \cap B^c \mid A \cup B) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(A \cup B)} = \frac{\frac{9}{40}}{\frac{1}{2}} = \frac{9}{20}\]입니다.
문제 조건에 의하여 표본비율은 \(\hat{p} = P(B) = \dfrac{3}{10} = 0.3\)이고, \(\hat{q} = 1 - \hat{p} = \dfrac{7}{10} = 0.7\)입니다.
제시문 <2>에 의하여 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a\)는\[b - a = 2 \times 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 3.92\sqrt{\frac{0.21}{n}}\]입니다. 부등식 \(3.92\sqrt{\dfrac{0.21}{n}} \le 0.049\)에서 \(\dfrac{3.92}{0.049} = \dfrac{3920}{49} = 80\)이므로\[80\sqrt{\frac{21}{100n}} \le 1 \iff 8\sqrt{\frac{21}{n}} \le 1 \iff \frac{64 \times 21}{n} \le 1 \iff n \ge 1344\]입니다. 따라서 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(1344\)입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [3-ⅰ] | \(P(A\cup B)\) 분할로 \(P(A\cap B) = \frac{3}{20}\) 및 \(P(A)=\frac{3}{8}, P(B)=\frac{3}{10}\) 도출 (10점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | \(P(A \cap B^c) = \frac{3}{8} - \frac{3}{20} = \frac{9}{40}\) 계산 (5점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | 조건부확률 \(P(A\cap B^c \mid A\cup B) = \frac{9/40}{1/2} = \frac{9}{20}\) 산출 (5점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | \(\hat{p}=0.3, \hat{q}=0.7\) 대입 및 신뢰구간 길이 \(2 \times 1.96\sqrt{\frac{0.21}{n}}\) 수립 (5점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | 부등식 \(64 \times 21 \le n\)을 풀어 자연수 \(n\)의 최솟값 \(1344\) 완결 (5점) |