| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제7회 [실전모의] |
[문제 1] | 공통수학, 대수 | \(18^n\)의 약수 집합과 \(12\)의 배수 약수들의 로그 지수 합 \(a_n, b_n, S_n\) 및 망원급수 (2025 기출 1번 변형) | 30점 | 상 |
| [문제 2] | 미적분Ⅰ (수학Ⅱ) | 포물선 \(y=x^2-2x\)와 직선 \(y=2x-5\) 사이의 최단거리, 내접 삼각형 넓이 최댓값 및 정적분 (2025 기출 2번 변형) | 40점 | 최상 | |
| [문제 3] | 확률과 통계 | 독립인 두 이산확률변수 \(X, Y\)의 분포 결정과 선형결합 \(Z_t = tX + (1-t)Y\)의 분산 최소화 (2025 기출 3번 변형) | 30점 | 상 |
\(18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}\)이므로 \(U_n\)의 원소는 \(x = 2^i \cdot 3^j\) (\(0 \le i \le n, \; 0 \le j \le 2n\))입니다.
따라서 전체 약수의 개수는 \(a_n = (n+1)(2n+1) = 2n^2 + 3n + 1\)입니다.
한편 \(12 = 2^2 \cdot 3^1\)의 배수가 되려면 \(2 \le i \le n\) (\(n-1\)가지)이고 \(1 \le j \le 2n\) (\(2n\)가지)이어야 하므로\[b_n = 2n(n-1) = 2n^2 - 2n\]입니다. 따라서 \(\dfrac{2}{b_n} = \dfrac{1}{(n-1)n} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}\)이므로\[\sum_{n=2}^{10} \frac{2}{b_n} = \sum_{n=2}^{10} \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}\]입니다.
집합 \(D_n = \{2^i \cdot 3^j \mid 2 \le i \le n, \; 1 \le j \le 2n\}\)에서 각 \(i \in \{2, 3, \dots, n\}\)에 대응하는 \(j \in \{1, 2, \dots, 2n\}\)는 \(2n\)개씩 존재합니다.
따라서 \(S_n\)을 이중 시그마로 계산하면\[\begin{aligned} S_n &= \sum_{j=1}^{2n} \sum_{i=2}^{n} i = 2n \left(\sum_{i=1}^{n} i - 1\right) = 2n \left\{\frac{n(n+1)}{2} - 1\right\} \\ &= n(n^2 + n - 2) = n(n-1)(n+2) \end{aligned}\]입니다. 여기에 \(n = 5\)를 대입하면 \(S_5 = 5 \times 4 \times 7 = 140\)입니다.
(1-ⅰ)의 \(b_n = 2n(n-1)\)과 (1-ⅱ)의 \(S_n = n(n-1)(n+2)\)를 대입하면 \(2n(n-1)\)이 약분되어\[\frac{b_n}{2 S_n (n+3)} = \frac{2n(n-1)}{2n(n-1)(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\]입니다. 따라서 \(n=2\)부터 \(m\)까지의 부분합은\[\sum_{n=2}^{m} \left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right) = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m+2} - \frac{1}{m+3}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{m+3}\]입니다. 주어진 부등식 \(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{m+3} \ge \dfrac{7}{36}\)을 정리하면\[\frac{1}{m+3} \le \frac{1}{4} - \frac{7}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \iff m + 3 \ge 18 \iff m \ge 15\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(15\)입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [1-ⅰ] | \(a_n = (n+1)(2n+1), \; b_n = 2n(n-1)\) 도출 및 \(\sum_{n=2}^{10} \frac{2}{b_n} = \frac{9}{10}\) 산출 (10점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | 지수 범위 \(2 \le i \le n, \; 1 \le j \le 2n\) 분리 및 \(S_n = n(n-1)(n+2)\) 유도 (6점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | \(n=5\)를 대입하여 \(S_5 = 140\) 정확 계산 (4점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | 일반항 \(\frac{b_n}{2S_n(n+3)} = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\) 및 부분합 \(\frac{1}{4} - \frac{1}{m+3}\) 도출 (5점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | 부등식 \(m+3 \ge 18\)을 풀어 최솟값 \(m = 15\) 완결 (5점) |
\(f(x) = x^2 - 2x\)에서 \(f'(x) = 2x - 2\)입니다. 직선 \(\ell : 2x - y - 5 = 0\)과 평행한 접선의 접점 \(P_0(t, t^2-2t)\)에서는 \(f'(t) = 2t - 2 = 2\)이므로 \(t = 2\)이고, \(P_0(2, 0)\)입니다.
실제로 임의의 점 \(P(t, t^2-2t)\)에서 직선 \(2x - y - 5 = 0\)까지의 거리는\[d(t) = \frac{|2t - (t^2 - 2t) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{t^2 - 4t + 5}{\sqrt{5}} = \frac{(t-2)^2 + 1}{\sqrt{5}}\]이므로 \(t = 2\), 즉 \(P_0(2, 0)\)에서 최단거리 \(d_{\min} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)를 가집니다.
또한 점 \(P_0(2, 0)\)에서의 접선 \(\ell_0\)의 방정식은 \(y - 0 = 2(x - 2) \iff y = 2x - 4\)입니다.
두 점 \(A(-1, 3), B(3, 3)\)을 잇는 선분 \(AB\)는 직선 \(y = 3\) 위에 있으며 길이는 \(\overline{AB} = 3 - (-1) = 4\)입니다.
\(0 \lt t \lt 3\)일 때 점 \(P(t, t^2-2t)\)의 \(y\)좌표는 \(t^2 - 2t \lt 3\)이므로, 점 \(P\)에서 직선 \(y = 3\)까지의 거리(삼각형의 높이)는 \(h(t) = 3 - (t^2 - 2t) = -t^2 + 2t + 3\)입니다.
따라서 삼각형 \(ABP\)의 넓이 \(S(t)\)는\[S(t) = \frac{1}{2} \times 4 \times (-t^2 + 2t + 3) = -2t^2 + 4t + 6 = -2(t - 1)^2 + 8\]입니다. \(S'(t) = -4t + 4 = 0\)에서 \(t = 1 \in (0, 3)\)일 때 유일한 극대이자 최대가 되므로, \(t = 1\)일 때 최댓값 \(S(1) = 8\)을 가집니다.
포물선 \(C : y = x^2 - 2x\)와 접선 \(\ell_0 : y = 2x - 4\)의 차를 구하면\[(x^2 - 2x) - (2x - 4) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ge 0\]이므로 구간 \([0, 3]\) 전체에서 포물선 \(C\)가 접선 \(\ell_0\)보다 위쪽에 있거나(\(x \ne 2\)) 접합니다(\(x = 2\)).
따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(W\)는 정적분으로 다음과 같이 계산됩니다.\[\begin{aligned} W &= \int_0^3 \left\{(x^2 - 2x) - (2x - 4)\right\}dx = \int_0^3 (x - 2)^2\,dx \\ &= \left[\frac{1}{3}(x - 2)^3\right]_0^3 = \frac{1}{3}\left\{1^3 - (-2)^3\right\} = \frac{1}{3}(1 + 8) = 3 \end{aligned}\]입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [2-ⅰ] | 접선 기울기 \(2t-2=2\) 또는 거리식 \(\frac{(t-2)^2+1}{\sqrt{5}}\)로부터 \(P_0(2,0)\) 도출 (6점) |
| 소문항 [2-ⅰ] | 최단거리 \(d_{\min} = \frac{\sqrt{5}}{5}\) 및 접선 \(\ell_0 : y = 2x - 4\) 산출 (6점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | 밑변 \(\overline{AB}=4\)와 높이 \(3-(t^2-2t)\)로부터 \(S(t) = -2t^2+4t+6\) 수립 (7점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | \(S'(t) = -4(t-1) = 0\) 극대 판정으로 \(t=1\)에서 최댓값 \(8\) 도출 (7점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | 피적분함수 \((x^2-2x)-(2x-4) = (x-2)^2 \ge 0\) 완전제곱식 변형 (7점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | 정적분 \(\int_0^3 (x-2)^2 dx = \left[\frac{1}{3}(x-2)^3\right]_0^3 = 3\) 완결 (7점) |
확률의 총합이 \(1\)이므로 \(p + \frac{1}{2} + q = 1 \iff p + q = \frac{1}{2}\)이고, \(E(X) = -p + q = \frac{1}{6}\)입니다.
두 식을 연립하면 \(q = \frac{1}{3}, \; p = \frac{1}{6}\)입니다. 따라서\[E(X^2) = (-1)^2 \cdot \frac{1}{6} + 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}, \quad V(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{17}{36}\]입니다. 한편 \(W \sim \mathrm{B}\left(2, \frac{1}{2}\right)\)이므로 \(E(W) = 1, \; V(W) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)이며, \(Y = W - 1\)에서\[E(Y) = E(W) - 1 = 0, \quad V(Y) = V(W) = \frac{1}{2} = \frac{18}{36}\]입니다.
\(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이므로 제시문 <2>에 의하여\[V(Z_t) = t^2 V(X) + (1-t)^2 V(Y) = \frac{17}{36}t^2 + \frac{18}{36}(1 - 2t + t^2) = \frac{35}{36}t^2 - t + \frac{1}{2}\]입니다. 이를 완전제곱식으로 변형하면\[V(Z_t) = \frac{35}{36}\left(t - \frac{18}{35}\right)^2 + \frac{1}{2} - \frac{9}{35} = \frac{35}{36}\left(t - \frac{18}{35}\right)^2 + \frac{17}{70}\]이므로 \(t = \dfrac{18}{35} \in [0, 1]\)일 때 최솟값 \(\dfrac{17}{70}\)을 가집니다.
\(W \sim \mathrm{B}\left(2, \frac{1}{2}\right)\)이므로 \(Y = W - 1\)의 확률분포는 \(P(Y=-1) = \frac{1}{4}, \; P(Y=0) = \frac{1}{2}, \; P(Y=1) = \frac{1}{4}\)입니다.
\(X, Y \in \{-1, 0, 1\}\)에서 \(X + Y = 1\)이 되는 순서쌍 \((X, Y)\)는 \((0, 1)\)과 \((1, 0)\)의 두 가지뿐입니다.
\(X\)와 \(Y\)가 서로 독립이므로 각 순서쌍의 확률은\[\begin{aligned} P(X=0, Y=1) &= P(X=0)P(Y=1) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = \frac{3}{24}, \\ P(X=1, Y=0) &= P(X=1)P(Y=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6} = \frac{4}{24} \end{aligned}\]입니다. 따라서 \(P(X+Y=1) = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}\)이며, 구하는 조건부확률은\[P(X=1 \mid X+Y=1) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(X+Y=1)} = \frac{\frac{4}{24}}{\frac{7}{24}} = \frac{4}{7}\]입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [3-ⅰ] | 연립방정식으로 \(p=\frac{1}{6}, q=\frac{1}{3}\) 및 \(V(X)=\frac{17}{36}, E(Y)=0, V(Y)=\frac{1}{2}\) 도출 (10점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | 독립 성질로 \(V(Z_t) = \frac{35}{36}t^2 - t + \frac{1}{2}\) 이차함수 식 유도 (5점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | 꼭짓점 \(t = \frac{18}{35}\)에서 최솟값 \(\frac{17}{70}\) 정확 산출 (5점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | \(X+Y=1\)을 \((0,1), (1,0)\)으로 분할하여 \(P(X+Y=1) = \frac{7}{24}\) 계산 (5점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | 조건부확률 \(P(X=1 \mid X+Y=1) = \frac{4}{7}\) 완결 (5점) |