\(N_n = 12^n = (2^2 \cdot 3)^n = 2^{2n} \cdot 3^n\)이므로, \(D_n\)의 원소는 \(d = 2^i 3^j\) (\(0 \le i \le 2n, \; 0 \le j \le n\)인 정수)입니다.
따라서 \(n(D_n) = (2n + 1)(n + 1)\)입니다.
약수 \(d = 2^i 3^j\)이 \(6 = 2 \cdot 3\)의 배수가 되려면 \(1 \le i \le 2n\)이고 \(1 \le j \le n\)이어야 하므로 \(n(E_n) = 2n \cdot n = 2n^2\)입니다.
한편 \(\log_2(2^i 3^j) = i + j\alpha\) (\(\alpha = \log_2 3\))이므로 전체 약수에 대한 로그 총합 \(A_n\)은\[\begin{aligned} A_n &= \sum_{i=0}^{2n} \sum_{j=0}^n (i + j\alpha) = (n + 1)\sum_{i=0}^{2n} i + (2n + 1)\alpha \sum_{j=0}^n j \\ &= (n + 1) \cdot \frac{2n(2n + 1)}{2} + (2n + 1)\alpha \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \\ &= n(n + 1)(2n + 1)\left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned}\]입니다. (약수의 대칭성 \(d \cdot \frac{N_n}{d} = 12^n\)을 이용하여도 동일하게 얻어집니다.)

집합 \(E_n\)의 원소는 \(1 \le i \le 2n, \; 1 \le j \le n\)을 만족하므로 로그 총합 \(B_n\)은\[\begin{aligned} B_n &= \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^n (i + j\alpha) = n\sum_{i=1}^{2n} i + 2n\alpha \sum_{j=1}^n j \\ &= n \cdot \frac{2n(2n + 1)}{2} + 2n\alpha \cdot \frac{n(n + 1)}{2} \\ &= n^2(2n + 1) + n^2(n + 1)\alpha \end{aligned}\]입니다. \(A_n\)과 \(B_n\)을 \(n\)에 대한 삼차다항식으로 전개하여 최고차항(\(n^3\))의 계수를 비교하면\[A_n = (2 + \alpha)n^3 + O(n^2), \quad B_n = (2 + \alpha)n^3 + O(n^2)\]이므로 구하는 극한값은 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{B_n}{A_n} = \frac{2 + \alpha}{2 + \alpha} = 1\)입니다.

(1-ⅰ)과 (1-ⅱ)에서 구한 \(A_n\)과 \(B_n\)의 차를 구하면\[\begin{aligned} A_n - B_n &= \left\{n(n+1)(2n+1) - n^2(2n+1)\right\} + \left\{\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) - n^2(n+1)\right\}\alpha \\ &= n(2n+1)\{(n+1) - n\} + \frac{1}{2}n(n+1)\{(2n+1) - 2n\}\alpha \\ &= n(2n+1) + \frac{1}{2}n(n+1)\alpha = (2n^2 + n) + \frac{1}{2}(n^2 + n)\alpha \end{aligned}\]입니다. 이제 \(n = 1\)부터 \(10\)까지 합산하면 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{10} n = 55, \; \sum_{n=1}^{10} n^2 = 385\)이므로\[\begin{aligned} p &= \sum_{n=1}^{10} (2n^2 + n) = 2 \times 385 + 55 = 770 + 55 = 825, \\ q &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{10} (n^2 + n) = \frac{1}{2}(385 + 55) = \frac{440}{2} = 220 \end{aligned}\]입니다. 따라서 \(p = 825, \; q = 220\)입니다.

제시문 <1>에 의하여 \(ax^2 + bx + c\)가 최대가 되는 순열 \((a, b, c)\)에서 가장 큰 계수 \(3\)이 곱해지는 항에는 최솟값 \(h(x)\)에서 가장 작은 계수 \(1\)이 곱해집니다.
즉, 임의의 고정된 실수 \(x\)에서 \(g(x)\)를 만드는 순열을 \((a^*, b^*, c^*)\)라 하면, \(h(x)\)를 만드는 순열은 \((4-a^*, 4-b^*, 4-c^*)\)이므로 모든 실수 \(x\)에서\[g(x) + h(x) = (a^* + 4 - a^*)x^2 + (b^* + 4 - b^*)x + (c^* + 4 - c^*) = 4(x^2 + x + 1)\]이 항등적으로 성립합니다. 이제 세 수 \(x^2, x, 1\)의 대소 관계에 따라 구간을 나누면:
① \(x \lt -1\)일 때 (\(x \lt 1 \lt x^2\)): \(g(x) = 3x^2 + x + 2, \quad h(x) = x^2 + 3x + 2\)
② \(-1 \le x \lt 0\)일 때 (\(x \lt x^2 \le 1\)): \(g(x) = 2x^2 + x + 3, \quad h(x) = 2x^2 + 3x + 1\)
③ \(0 \le x \lt 1\)일 때 (\(x^2 \le x \lt 1\)): \(g(x) = x^2 + 2x + 3, \quad h(x) = 3x^2 + 2x + 1\)
④ \(x \ge 1\)일 때 (\(1 \le x \le x^2\)): \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1, \quad h(x) = x^2 + 2x + 3\) 입니다.

\(g(x)\)는 각 열린구간에서 이차함수이므로 미분가능하며, 경계점 \(x_0 \in \{-1, 0, 1\}\)에서의 좌·우미분계수를 조사합니다.
구간별 도함수는 \(x \lt -1\)에서 \(6x+1\), \(-1 \lt x \lt 0\)에서 \(4x+1\), \(0 \lt x \lt 1\)에서 \(2x+2\), \(x \gt 1\)에서 \(6x+2\)입니다.
• \(x_0 = -1\): 좌미분계수 \(= 6(-1)+1 = -5\), 우미분계수 \(= 4(-1)+1 = -3 \implies |-3 - (-5)| = 2\)
• \(x_0 = 0\): 좌미분계수 \(= 4(0)+1 = 1\), 우미분계수 \(= 2(0)+2 = 2 \implies |2 - 1| = 1\)
• \(x_0 = 1\): 좌미분계수 \(= 2(1)+2 = 4\), 우미분계수 \(= 6(1)+2 = 8 \implies |8 - 4| = 4\)
세 경계점 모두 좌·우미분계수가 다르므로 미분가능하지 않은 점은 \(x_0 = -1, \; 0, \; 1\)이고, 차의 절댓값들의 합은 \(2 + 1 + 4 = 7\)입니다.

(2-ⅰ)에서 구한 \(g(x)\)와 \(h(x)\)로부터 구간 \([-2, 1]\)에서의 차 \(D(x) = g(x) - h(x)\)를 구하면 다음과 같습니다.
• \(-2 \le x \lt -1\)에서: \(D(x) = (3x^2 + x + 2) - (x^2 + 3x + 2) = 2x^2 - 2x\)
• \(-1 \le x \lt 0\)에서: \(D(x) = (2x^2 + x + 3) - (2x^2 + 3x + 1) = -2x + 2\)
• \(0 \le x \le 1\)에서: \(D(x) = (x^2 + 2x + 3) - (3x^2 + 2x + 1) = -2x^2 + 2\)
따라서 세 구간으로 나누어 정적분을 계산하면\[\begin{aligned} \int_{-2}^1 \{g(x) - h(x)\}\,dx &= \int_{-2}^{-1} (2x^2 - 2x)\,dx + \int_{-1}^0 (-2x + 2)\,dx + \int_0^1 (-2x^2 + 2)\,dx \\ &= \left[\frac{2}{3}x^3 - x^2\right]_{-2}^{-1} + \left[-x^2 + 2x\right]_{-1}^0 + \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x\right]_0^1 \\ &= \left\{\left(-\frac{2}{3} - 1\right) - \left(-\frac{16}{3} - 4\right)\right\} + \{0 - (-1 - 2)\} + \left(-\frac{2}{3} + 2\right) \\ &= \frac{23}{3} + 3 + \frac{4}{3} = 9 + 3 = 12 \end{aligned}\]입니다.

\(A, B, C \in \{1, 2, 3, 4\}\)의 전체 순서쌍의 개수는 \(4^3 = 64\)가지입니다.
이차방정식 \(Ax^2 + 2Bx + C = 0\)이 실근을 가질 조건은 \(\dfrac{D}{4} = B^2 - AC \ge 0 \iff AC \le B^2\)입니다. \(B\)의 값에 따라 \((A, C)\)의 개수를 구하면:
• \(B = 1\) (\(AC \le 1\)): \((1,1)\) \(\implies 1\)가지
• \(B = 2\) (\(AC \le 4\)): \(A=1\)일 때 \(4\)개, \(A=2\)일 때 \(2\)개, \(A=3\)일 때 \(1\)개, \(A=4\)일 때 \(1\)개 \(\implies 8\)가지
• \(B = 3\) (\(AC \le 9\)): \(A=1\)(\(4\)개), \(A=2\)(\(4\)개), \(A=3\)(\(3\)개), \(A=4\)(\(2\)개) \(\implies 13\)가지
• \(B = 4\) (\(AC \le 16\)): 모든 \((A, C)\)가 성립 \(\implies 16\)가지
따라서 실근을 갖는 순서쌍은 \(1 + 8 + 13 + 16 = 38\)가지이므로 \(p = \dfrac{38}{64} = \dfrac{19}{32}\)입니다.
중근 조건 \(B^2 = AC\)를 만족하는 순서쌍 \((A, B, C)\)는 \((1,1,1), (2,2,2), (1,2,4), (4,2,1), (3,3,3), (4,4,4)\)의 총 \(6\)가지입니다.
각 경우에서 \(A + C\)의 값은 \(2, 4, 5, 5, 6, 8\)이므로 조건부 기댓값은 \(E(A+C \mid \text{중근}) = \dfrac{2+4+5+5+6+8}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\)입니다.

\(I = \displaystyle\int_0^1 (Ax^2 + 2Bx + C)\,dx = \left[\frac{A}{3}x^3 + Bx^2 + Cx\right]_0^1 = \frac{1}{3}A + B + C\)입니다.
복원추출이므로 \(A, B, C\)는 서로 독립이고 동일한 분포를 따릅니다. 한 번의 시행에서 나오는 눈 \(X \in \{1, 2, 3, 4\}\)의 기댓값과 분산은\[\begin{aligned} E(X) &= \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = \frac{5}{2}, \\ V(X) &= \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2}{4} - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{30}{4} - \frac{25}{4} = \frac{5}{4} \end{aligned}\]입니다. 따라서 제시문 <1>의 선형결합 공식에 의하여\[\begin{aligned} E(I) &= \left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right)E(X) = \frac{7}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{6}, \\ V(I) &= \left\{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2 + 1^2\right\}V(X) = \frac{19}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{95}{36} \end{aligned}\]입니다.

구간 \([0, 1]\)에서 정의된 연속확률변수 \(U\)의 균등분포로 해석하면 \(\displaystyle\int_0^1 \{Q(x) - I\}^2\,dx = \int_0^1 \{Q(x)\}^2\,dx - I^2 \ge 0\)이므로 모든 표본점 \((A, B, C)\)에 대하여\[I^2 = \left\{\int_0^1 Q(x)\,dx\right\}^2 \le \int_0^1 \{Q(x)\}^2\,dx\]가 항상 성립하며, \(A, B \gt 0\)이므로 \(Q(x)\)는 상수함수가 될 수 없어 등호는 성립하지 않고 엄격한 부등호(\( \lt \))가 성립합니다.
이제 (3-ⅱ)에서 구한 \(E(I) = \dfrac{35}{6}\)와 \(V(I) = \dfrac{95}{36}\)을 분산의 정의식 \(V(I) = E(I^2) - \{E(I)\}^2\)에 대입하면\[\begin{aligned} E(I^2) &= V(I) + \{E(I)\}^2 = \frac{95}{36} + \left(\frac{35}{6}\right)^2 \\ &= \frac{95 + 1225}{36} = \frac{1320}{36} = \frac{110}{3} \end{aligned}\]입니다.