<제시문 1> 자연수 \(N\)이 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대하여 \(N = p^a q^b\) (\(a, b\)는 자연수)으로 소인수분해될 때, \(N\)의 양의 약수는 모두 \(p^i q^j\) (\(0 \le i \le a, \; 0 \le j \le b\)인 정수) 꼴로 유일하게 표현되며, 양의 약수의 총개수는 \((a+1)(b+1)\)이다.

<제시문 2> \(x \gt 0, y \gt 0\)일 때 \(\log_2(xy) = \log_2 x + \log_2 y\)이며, 이중합에서 \(\displaystyle \sum_{i=p}^q \sum_{j=r}^s (u_i + v_j) = (s - r + 1)\sum_{i=p}^q u_i + (q - p + 1)\sum_{j=r}^s v_j\)가 성립한다.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 자연수 \(N_n = 12^n\)의 모든 양의 약수의 집합을 \(D_n\)이라 하고, \(D_n\)의 원소 중에서 \(6\)의 배수인 모든 약수의 집합을 \(E_n\)이라 하자. 집합 \(D_n\)의 모든 원소 \(d\)에 대한 \(\log_2 d\)의 총합을 \(A_n\), 집합 \(E_n\)의 모든 원소 \(e\)에 대한 \(\log_2 e\)의 총합을 \(B_n\)이라 하자. (단, \(\alpha = \log_2 3\)으로 놓는다.)

<제시문 1> 실수 \(x_1 \le x_2 \le x_3\)과 \(y_1 \le y_2 \le y_3\)에 대하여, \((y_1, y_2, y_3)\)의 임의의 순열 \((a, b, c)\)에 의한 곱의 합 \(a x_1 + b x_2 + c x_3\)은 같은 순서로 곱할 때(\(y_1 x_1 + y_2 x_2 + y_3 x_3\)) 최대가 되고, 반대 순서로 곱할 때(\(y_3 x_1 + y_2 x_2 + y_1 x_3\)) 최소가 된다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 \(x = x_0\)에서 연속일 때, 좌미분계수 \(\displaystyle \lim_{h \to 0-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)와 우미분계수 \(\displaystyle \lim_{h \to 0+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)가 서로 같으면 \(f(x)\)는 \(x = x_0\)에서 미분가능하고, 서로 다르면 미분가능하지 않다.

<제시문 3> 집합 \(\{1, 2, 3\}\)의 원소들을 일렬로 나열하여 만든 모든 순열 \((a, b, c)\) (\(6\)가지)에 대하여 이차함수 \(f_{(a,b,c)}(x) = ax^2 + bx + c\)를 생각하자. 실수 \(x\)에 대하여 이 \(6\)개의 함숫값 중 최댓값을 \(g(x)\), 최솟값을 \(h(x)\)라 하자.

<제시문 1> 서로 독립인 확률변수 \(X_1, X_2, X_3\)과 상수 \(c_1, c_2, c_3\)에 대하여 선형결합 확률변수 \(W = c_1 X_1 + c_2 X_2 + c_3 X_3\)의 기댓값과 분산은 다음과 같다.\[E(W) = c_1 E(X_1) + c_2 E(X_2) + c_3 E(X_3), \quad V(W) = c_1^2 V(X_1) + c_2^2 V(X_2) + c_3^2 V(X_3)\]

<제시문 2> 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)에 대하여 코시-슈바르츠 부등식(또는 정적분 분산 부등식)에 의하여 다음이 성립한다.\[\left\{\int_0^1 h(x)\,dx\right\}^2 \le \int_0^1 \{h(x)\}^2\,dx \quad (\text{단, 등호는 } h(x)\text{가 상수함수일 때 성립})\]

<제시문 3> 주머니 속에 \(1, 2, 3, 4\)의 숫자가 하나씩 적힌 \(4\)개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적힌 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행(복원추출)을 \(3\)번 반복하여 차례로 나온 숫자를 확률변수 \(A, B, C\)라 하자. 이차함수 \(Q(x) = Ax^2 + 2Bx + C\)와 확률변수 \(I = \displaystyle \int_0^1 Q(x)\,dx\)를 정의하자.