함수 \(y = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)의 주기는 \(4\)이므로, 닫힌구간 \([0, 4n]\)은 길이 \(4\)인 \(n\)개의 부분 구간 \(I_k = [4k-4, 4k]\) (\(k = 1, 2, \dots, n\))로 분할됩니다.
각 구간 \(I_k\)에서 \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \gt 0\)인 구간은 \((4k-4, 4k-2)\)이며, 이 구간에서 그래프는 직선 \(x = 4k - 3\)에 대하여 대칭이고 최댓값 \(1 \gt \frac{1}{3}\)을 가집니다.
따라서 직선 \(y = \frac{1}{3}\)과 각 구간 \(I_k\)마다 서로 다른 두 점에서 만나므로 전체 실근의 개수는 \(a_n = 2n\)입니다.
또한 \(k\)번째 구간의 두 실근을 \(\alpha_k, \beta_k\)라 하면 대칭성에 의해 \(\dfrac{\alpha_k + \beta_k}{2} = 4k - 3 \implies \alpha_k + \beta_k = 8k - 6\)입니다.
그러므로 모든 실근의 합 \(S_n\)은\[S_n = \sum_{k=1}^n (8k - 6) = 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 6n = 4n^2 - 2n = 2n(2n-1)\]입니다. 따라서 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{15} S_n = 4\sum_{n=1}^{15} n^2 - 2\sum_{n=1}^{15} n = 4 \times \frac{15 \times 16 \times 31}{6} - 2 \times \frac{15 \times 16}{2} = 4960 - 240 = 4720\]입니다.

함수 \(y = \left|\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right|\)는 주기가 \(2\)이고 치역이 \([0, 1]\)인 연속함수입니다.
구간 \([0, 4n]\)을 길이 \(2\)인 \(2n\)개의 구간 \(J_j = [2j-2, 2j]\) (\(j = 1, 2, \dots, 2n\))으로 나누어 관찰합니다.
• 첫 번째 구간 \(J_1 = [0, 2]\): \(x \in [0, 1]\)에서 \(\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)는 \(1\)에서 \(0\)으로 감소하고 직선 \(y = \frac{x}{4n}\)은 \(0\)에서 \(\frac{1}{4n}\)으로 증가하므로 \(1\)개의 교점을 가집니다. \(x \in [1, 2]\)에서는 곡선이 \(0\)에서 \(1\)로 증가하고 직선은 \(\frac{1}{4n}\)에서 \(\frac{2}{4n} \lt 1\)로 증가하므로 다시 \(1\)개의 교점을 가져 총 \(2\)개의 실근을 가집니다.
• \(2 \le j \le 2n-1\)인 각 구간 \(J_j\): 양 끝점 \(x = 2j-2, 2j\)에서 곡선의 값은 \(1\)이고 중심 \(x = 2j-1\)에서 \(0\)이므로, 높이가 \(0 \lt \frac{x}{4n} \lt 1\)인 직선과 내려가는 구간과 올라가는 구간에서 각각 \(1\)번씩 총 \(2\)개의 교점을 가집니다.
• 마지막 구간 \(J_{2n} = [4n-2, 4n]\): \([4n-2, 4n-1]\)에서 \(1\)개, 그리고 \([4n-1, 4n]\)에서는 곡선이 \((4n-1, 0)\)에서 \((4n, 1)\)로 위로 볼록하게 증가하여 끝점 \((4n, 1)\)에서 직선과 정확히 만나므로 \(1\)개의 교점을 가집니다.
따라서 모든 구간 \(J_j\) (\(j=1, \dots, 2n\))에서 각각 \(2\)개씩 만나므로 총 실근의 개수는 \(b_n = 2 \times 2n = 4n\)입니다.

(1-ⅰ)에서 \(a_n = 2n\)이고 \(S_n = 4n^2 - 2n\)이므로 분모를 정리하면\[S_n + a_n - 1 = (4n^2 - 2n) + 2n - 1 = 4n^2 - 1 = (2n - 1)(2n + 1)\]입니다. 따라서 일반항을 부분분수로 분해하면\[\frac{2}{S_n + a_n - 1} = \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\]이 성립합니다. 이제 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^m \frac{2}{S_n + a_n - 1} &= \sum_{n=1}^m \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2m-1} - \frac{1}{2m+1}\right) \\ &= 1 - \frac{1}{2m+1} = \frac{2m}{2m+1} \end{aligned}\]입니다. 주어진 부등식 \(\dfrac{2m}{2m+1} \ge \dfrac{98}{99}\)를 풀면\[1 - \frac{1}{2m+1} \ge 1 - \frac{1}{99} \iff 2m + 1 \ge 99 \iff 2m \ge 98 \iff m \ge 49\]이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(49\)입니다.

\(P(x)\)를 이차식 \((x+1)^2\) 및 \((x-1)^2\)으로 나눈 공통 나머지가 \(R(x)\)이므로, \(R(x)\)는 일차 이하의 다항식 \(R(x) = ax + b\) (\(a, b\)는 상수)입니다.
조건 (가)에 의해 다항식 \(P(x) - R(x)\)는 \((x+1)^2\)과 \((x-1)^2\)으로 각각 나누어떨어지며, \((x+1)^2\)과 \((x-1)^2\)은 서로소이고 \(P(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차다항식이므로\[P(x) - R(x) = (x+1)^2(x-1)^2 = (x^2 - 1)^2\]입니다. 따라서 \(P(x) = (x^2 - 1)^2 + ax + b = x^4 - 2x^2 + ax + b + 1\)이고, 미분하면 \(P'(x) = 4x^3 - 4x + a\)입니다.
조건 (나)에서 \(P(0) = b + 1 = 2 \implies b = 1\)이고, \(P'(0) = a = 2\)입니다.
그러므로 \(R(x) = 2x + 1\)이고, \(P(x) = (x^2 - 1)^2 + 2x + 1 = x^4 - 2x^2 + 2x + 2\)입니다.

\(h(x) = P(x) - R(x) = (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1\)이라 하면 \(h'(x) = 4x(x-1)(x+1)\)입니다.
\(h(x)\)는 \(x = \pm 1\)에서 극솟값 \(h(\pm 1) = 0\)을 갖고, \(x = 0\)에서 극댓값 \(h(0) = 1\)을 갖는 대칭 사차함수입니다.
따라서 방정식 \(h(x) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 직선 \(y = k\)가 극댓점을 지나는 경우이므로 \(k = 1\)입니다.
\(k = 1\)일 때 \((x^2 - 1)^2 = 1 \iff x^4 - 2x^2 = x^2(x^2 - 2) = 0\)이므로 세 실근은 \(x = -\sqrt{2}, \; 0, \; \sqrt{2}\)입니다.
한편 \(G(t) = \displaystyle\int_0^t (x^2-1)^2\,dx\)를 미분하면 모든 실수 \(t\)에 대하여\[G'(t) = (t^2 - 1)^2 \ge 0\]이며, \(G'(t) = 0\)이 되는 점은 유한개(\(t = \pm 1\))뿐이므로 함수 \(G(t)\)는 실수 전체의 집합에서 엄격하게 증가합니다.
또한 \(G(0) = 0\)이고 일대일 함수이므로 방정식 \(G(t) = 0\)의 실근은 \(t = 0\) 하나뿐, 즉 실근의 개수는 \(1\)개입니다.

곡선 \(y = P(x)\)와 직선 \(y = R(x)\)의 교점은 \(P(x) - R(x) = (x^2 - 1)^2 = 0\)에서 \(x = -1, \; 1\) (각각 접점)입니다.
피적분함수 \(P(x) - R(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \ge 0\)은 우함수이므로:
(1) 곡선과 직선으로 둘러싸인 닫힌 영역의 넓이 \(S_1\) (\(x \in [-1, 1]\))은\[\begin{aligned} S_1 &= \int_{-1}^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx = 2\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 2 \times \frac{8}{15} = \frac{16}{15} \end{aligned}\]입니다.
(2) 구간 \([-2, 2]\)에서 둘러싸인 모든 영역의 넓이의 합 \(S_2\)는 모든 \(x\)에서 \((x^2-1)^2 \ge 0\)이므로\[\begin{aligned} S_2 &= \int_{-2}^2 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx = 2\int_0^2 (x^4 - 2x^2 + 1)\,dx \\ &= 2\left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5} - \frac{16}{3} + 2\right) = 2 \times \frac{46}{15} = \frac{92}{15} \end{aligned}\]입니다.

특수 등급 사건을 \(E\), 일반 등급 사건을 \(E^c\)라 하면 \(P(E) = 0.1 = \frac{1}{10}, \; P(E^c) = 0.9 = \frac{9}{10}\)입니다.
\(k\)회 연속 양성 판정을 받는 사건을 \(A_k\)라 하면, 각 회차 검사가 조건부 독립이므로\[P(A_k | E) = (0.8)^k = \left(\frac{4}{5}\right)^k, \quad P(A_k | E^c) = (0.2)^k = \left(\frac{1}{5}\right)^k\]입니다. 제시문 <1>에 의하여 조건부확률 \(p_k = P(E | A_k)\)를 계산하면 분자·분모를 \(\frac{1}{10}\left(\frac{1}{5}\right)^k\)로 약분하여\[p_k = \frac{\frac{1}{10}\left(\frac{4}{5}\right)^k}{\frac{1}{10}\left(\frac{4}{5}\right)^k + \frac{9}{10}\left(\frac{1}{5}\right)^k} = \frac{4^k}{4^k + 9}\]입니다. 부등식 \(p_k \ge 0.99 = \dfrac{99}{100}\)를 풀면\[\frac{4^k}{4^k + 9} \ge \frac{99}{100} \iff 100 \cdot 4^k \ge 99 \cdot 4^k + 891 \iff 4^k \ge 891\]\(4^4 = 256 \lt 891\)이고 \(4^5 = 1024 \ge 891\)이므로 자연수 \(k\)의 최솟값은 \(5\)입니다.

확률변수 \(X \sim \mathrm{N}(50, 4^2)\)의 확률밀도함수는 평균 \(m = 50\)에 대하여 좌우 대칭이고 \(x = 50\)에서 최댓값을 가지며 멀어질수록 감소합니다.
구간 \([2t - 6, \; 2t + 10]\)의 길이는 \((2t + 10) - (2t - 6) = 16\)으로 일정하므로, 이 구간의 확률 \(h(t)\)가 최대가 되려면 구간의 중점이 정규분포의 대칭축 \(m = 50\)과 일치해야 합니다.
\[\frac{(2t - 6) + (2t + 10)}{2} = 50 \iff 2t + 2 = 50 \iff t = 24\]\(t = 24\)일 때 구간은 \([42, 58]\)이므로 표준화 변수 \(Z = \dfrac{X - 50}{4}\)로 변환하면\[h(24) = P(42 \le X \le 58) = P(-2 \le Z \le 2) = 2P(0 \le Z \le 2) = 2 \times 0.4772 = 0.9544\]입니다.

모집단 \(\mathrm{N}(50, 4^2)\)에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 제시문 <2>에 의하여 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(\mathrm{N}\left(50, \frac{4^2}{n}\right)\)을 따릅니다.
따라서 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 50}{4/\sqrt{n}}\)은 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따르므로\[\begin{aligned} P(|\overline{X} - 50| \le 1) &= P\left(|Z| \le \frac{1}{4/\sqrt{n}}\right) = P\left(-\frac{\sqrt{n}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \\ &= 2P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \end{aligned}\]입니다. 주어진 조건에서 \(2P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \ge 0.9544 \iff P\left(0 \le Z \le \frac{\sqrt{n}}{4}\right) \ge 0.4772\)입니다.
제시문 <3>에서 \(P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)이므로\[\frac{\sqrt{n}}{4} \ge 2 \iff \sqrt{n} \ge 8 \iff n \ge 64\]가 되어 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(64\)입니다.