(1) \(x \gt 1\)이므로 \(\log_2 x \gt 0, \; \log_x 2 = \dfrac{1}{\log_2 x} \gt 0\)입니다. 산술·기하평균의 관계에 의하여\[h(x) = 4\log_2 x + \frac{9}{\log_2 x} \ge 2\sqrt{4\log_2 x \cdot \frac{9}{\log_2 x}} = 2 \times 6 = 12\]등호는 \(4\log_2 x = \dfrac{9}{\log_2 x} \iff (\log_2 x)^2 = \dfrac{9}{4} \iff \log_2 x = \dfrac{3}{2}\) (\(\because x \gt 1\)), 즉 \(x = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}\)일 때 성립하며 최솟값은 \(12\)입니다.
(2) \(\log_2 x + \log_4 y = \log_2 x + \log_2 \sqrt{y} = \log_2(x\sqrt{y}) = 3\)이므로 \(x\sqrt{y} = 2^3 = 8\)입니다.
\(x \gt 0, \sqrt{y} \gt 0\)이므로 산술·기하평균 관계에 의하여\[x + \sqrt{y} \ge 2\sqrt{x\sqrt{y}} = 2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\]이며, 등호는 \(x = \sqrt{y} = 2\sqrt{2}\) (즉 \(x = 2\sqrt{2}, \; y = 8\))일 때 성립하므로 최솟값은 \(4\sqrt{2}\)입니다.

\(1 \le x \le 4^n = 2^{2n}\)이고 \(x = 2^k\)이므로 음이 아닌 정수 \(k\)의 범위는 \(0 \le k \le 2n\)입니다.
\(x = 2^k\)을 부등식 \(\log_4 x \le y \le \log_2 x\)에 대입하면 \(\dfrac{k}{2} \le y \le k\)입니다.
• \(k = 2j\) (\(0 \le j \le n\))인 짝수일 때: \(j \le y \le 2j\)를 만족하는 정수 \(y\)의 개수는 \(2j - j + 1 = j + 1\)개입니다.
• \(k = 2j - 1\) (\(1 \le j \le n\))인 홀수일 때: \(j - \frac{1}{2} \le y \le 2j - 1\)을 만족하는 정수 \(y\)는 \(j \le y \le 2j - 1\)이므로 개수는 \((2j-1) - j + 1 = j\)개입니다.
따라서 영역 \(D_n\)에 속하는 조건의 점의 총개수 \(a_n\)은\[a_n = \sum_{j=0}^n (j + 1) + \sum_{j=1}^n j = \frac{(n+1)(n+2)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = (n+1)^2\]입니다. 그러므로 구하는 합은\[\sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=1}^{20} (n+1)^2 = \sum_{m=2}^{21} m^2 = \frac{21 \times 22 \times 43}{6} - 1^2 = 3311 - 1 = 3310\]입니다.

(1-ⅱ)에서 \(a_n = (n+1)^2\)이므로 \(a_n - 1 = (n+1)^2 - 1 = n(n+2)\)입니다.
부분분수 변형 \(\dfrac{1}{n(n+2)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+2}\right)\)를 이용하여 \(T_m\)을 정리하면\[\begin{aligned} T_m &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^m \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2}\right) \\ &= \frac{3}{4} - \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \end{aligned}\]입니다. 부등식 \(T_m \ge \dfrac{40}{63}\)를 정리하면\[\frac{3}{4} - \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \ge \frac{40}{63} \iff \frac{2m+3}{2(m+1)(m+2)} \le \frac{3}{4} - \frac{40}{63} = \frac{29}{252}\]\[\iff \frac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \le \frac{29}{126}\]\(T_m\)은 \(m\)에 대한 단조증가 수열입니다. \(m = 7\)일 때 \(\dfrac{17}{8 \times 9} = \dfrac{17}{72} = \dfrac{59.5}{252} \gt \dfrac{58}{252}\)로 성립하지 않고,
\(m = 8\)일 때 \(\dfrac{19}{9 \times 10} = \dfrac{19}{90} = \dfrac{53.2}{252} \le \dfrac{58}{252}\) (즉 \(T_8 = \dfrac{29}{45} = \dfrac{162.4}{252} \ge \dfrac{160}{252}\))이므로 성립합니다.
따라서 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(8\)입니다.

포물선 \(W_1 : y = \frac{1}{2}x^2\) 위의 임의의 점 \((x, y)\)에서 \(x^2 = 2y\) (\(y \ge 0\))입니다.
점 \(C(0, a)\)로부터 곡선 위의 점까지의 거리의 제곱을 \(y\)에 관한 함수 \(h(y)\)로 나타내면\[h(y) = x^2 + (y - a)^2 = 2y + (y - a)^2 = y^2 - 2(a - 1)y + a^2 = (y - a + 1)^2 + 2a - 1 \quad (y \ge 0)\]원과 포물선이 서로 다른 두 점 \((\pm x_0, y_0)\) (\(x_0 \gt 0 \iff y_0 \gt 0\))에서 접하려면, \(h(y)\)가 \(y \gt 0\)인 점에서 최솟값 \(r^2\)을 가져야 합니다.
이차함수 \(h(y)\)의 꼭짓점의 \(y\)좌표가 \(y_0 = a - 1\)이므로 \(y_0 \gt 0 \iff a \gt 1\)이어야 합니다.
그때 원의 반지름의 제곱은 최솟값 \(r^2 = h(a-1) = 2a - 1\)이므로, 반지름의 길이는 \(r = \sqrt{2a - 1}\)입니다.

\(y = x^2\)에서 \(y' = 2x\)이므로 점 \(P(t, t^2)\) (\(t \gt 0\))에서의 접선의 기울기는 \(2t\)이고, 이에 수직인 법선의 기울기는 \(-\dfrac{1}{2t}\)입니다.
따라서 법선의 방정식은 \(y - t^2 = -\dfrac{1}{2t}(x - t) \iff y = -\dfrac{1}{2t}x + t^2 + \dfrac{1}{2}\)이며, \(y\)축과의 교점은 \(Q\left(0, \; t^2 + \frac{1}{2}\right)\)입니다.
(1) 선분 \(PQ\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \sqrt{(t - 0)^2 + \left\{t^2 - \left(t^2 + \frac{1}{2}\right)\right\}^2} = \sqrt{t^2 + \frac{1}{4}}\)이므로\[\lim_{t \to 0+} \overline{PQ} = \lim_{t \to 0+} \sqrt{t^2 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]입니다.
(2) 삼각형 \(OPQ\)는 밑변이 \(\overline{OQ} = t^2 + \dfrac{1}{2}\)이고 높이가 점 \(P\)의 \(x\)좌표인 \(t\)이므로 넓이는\[S(t) = \frac{1}{2} \cdot \overline{OQ} \cdot t = \frac{1}{2}t\left(t^2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}t^3 + \frac{1}{4}t\]입니다. 따라서 \(\displaystyle\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t} = \lim_{t \to 0+} \left(\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}\)입니다.

(2-ⅰ)에서 \(a = \dfrac{5}{2}\)이면 접점의 \(y\)좌표는 \(y_0 = a - 1 = \dfrac{3}{2}\)이고, \(x_0^2 = 2y_0 = 3\)이므로 두 접점은 \(A\left(-\sqrt{3}, \; \frac{3}{2}\right), \; B\left(\sqrt{3}, \; \frac{3}{2}\right)\)입니다.
(1) 직선 \(AB : y = \dfrac{3}{2}\)와 포물선 \(W_1 : y = \dfrac{1}{2}x^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이는 제시문 <2>에 의하여\[\begin{aligned} \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2\right)dx &= \frac{\left|\frac{1}{2}\right|}{6}\left\{\sqrt{3} - (-\sqrt{3})\right\}^3 \\ &= \frac{1}{12}(2\sqrt{3})^3 = \frac{24\sqrt{3}}{12} = 2\sqrt{3} \end{aligned}\]입니다.
(2) 사각형 \(OACB\)에서 두 대각선 \(OC\)와 \(AB\)는 \(y\)축 위의 점 \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\)에서 서로 수직으로 만납니다.
선분 \(OC\)의 길이는 \(\overline{OC} = a = \dfrac{5}{2}\)이고, 선분 \(AB\)의 길이는 \(\overline{AB} = 2\sqrt{3}\)이므로 사각형 \(OACB\)의 넓이는\[\text{넓이}(OACB) = \frac{1}{2} \times \overline{OC} \times \overline{AB} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 2\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}\]입니다.

\(12\)개의 점 중 \(3\)개를 택하는 전체 경우의 수는 \({}_{12}\mathrm{C}_3 = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{6} = 220\)가지입니다.
(1) 직각삼각형 사건 \(A\): 마주 보는 점을 잇는 지름은 \(6\)개이고, 각 지름마다 나머지 \(10\)개의 점 중 하나를 택하면 직각삼각형이 되므로 개수는 \(6 \times 10 = 60\)개입니다. 따라서 \(P(A) = \dfrac{60}{220} = \dfrac{3}{11}\)입니다.
(2) 이등변삼각형 사건 \(B\): 꼭짓점 사이의 호의 칸수 합이 \(12\)가 되는 \((a, a, 12-2a)\) 순서쌍은 \((1,1,10), (2,2,8), (3,3,6), (4,4,4), (5,5,2)\)입니다.
정삼각형 \((4,4,4)\)는 \(4\)개이고, 나머지 4종류는 대칭축의 꼭짓점 \(12\)개마다 \(1\)개씩 총 \(4 \times 12 = 48\)개이므로 전체 이등변삼각형은 \(48 + 4 = 52\)개입니다. 따라서 \(P(B) = \dfrac{52}{220} = \dfrac{13}{55}\)입니다.
(3) 예각삼각형 사건 \(C\): 한 꼭짓점 \(P_1\)을 고정하고 시계 반대 방향으로 두 점 사이의 간격을 \(x, y, z\) (\(x+y+z=12\))라 하면 예각 조건은 \(1 \le x, y, z \le 5\)입니다. \((x,y,z)\)의 순서쌍은 \((2,5,5) \sim (4,4,4)\)에서 총 \(10\)개이므로, 전체 예각삼각형은 \(\dfrac{12 \times 10}{3} = 40\)개입니다. 따라서 \(P(C) = \dfrac{40}{220} = \dfrac{2}{11}\)입니다.

\(A \cap B\)는 직각이등변삼각형이 되는 사건으로, 호의 칸수가 \((3, 3, 6)\)인 경우이므로 개수는 \(12\)개입니다.
따라서 \(P(A \cap B) = \dfrac{12}{220} = \dfrac{3}{55}\)입니다. 반면\[P(A)P(B) = \frac{3}{11} \times \frac{13}{55} = \frac{39}{605} \ne \frac{3}{55} \left(= \frac{33}{605}\right)\]이므로 두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 종속입니다.
일반적인 \(2m\)개의 점에서 전체 삼각형 수는 \({}_{2m}\mathrm{C}_3 = \dfrac{2m(2m-1)(2m-2)}{6} = \dfrac{2m(m-1)(2m-1)}{3}\)입니다.
• 직각삼각형 개수는 지름 \(m\)개 \(\times (2m-2)\)개 점 \(= 2m(m-1)\)개이므로 \(p_m = \dfrac{3}{2m-1}\)입니다.
• 예각삼각형 개수는 \(\dfrac{2m(m-1)(m-2)}{6}\)개이므로 \(q_m = \dfrac{m-2}{2(2m-1)}\)입니다.

(3-ⅱ)에서 구한 \(p_m = \dfrac{3}{2m-1}\)과 \(q_m = \dfrac{m-2}{2(2m-1)}\)의 비를 구하면\[\frac{q_m}{p_m} = \frac{m - 2}{6} = \frac{7}{3} \iff m - 2 = 14 \iff m = 16\]입니다.
원의 중심 \(O\)로부터 삼각형의 세 변까지의 거리 중 최솟값 \(D\)가 \(0\)이 될 필요충분조건은 삼각형의 한 변이 원의 중심 \(O\)를 지나는 것, 즉 그 변이 원의 지름이 되어 삼각형이 직각삼각형이 되는 것입니다.
따라서 \(m = 16\)일 때 구하는 확률은\[P(D = 0) = p_{16} = \frac{3}{2 \times 16 - 1} = \frac{3}{31}\]입니다.