<제시문 1> 두 양수 \(A, B\)에 대하여 산술평균과 기하평균의 관계 \(\dfrac{A + B}{2} \ge \sqrt{AB}\) (단, 등호는 \(A = B\)일 때 성립)가 성립한다. 또한 \(a \gt 0, a \ne 1, b \gt 0, b \ne 1\)일 때 로그의 밑의 변환 공식에 의하여 \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면에서 세 부등식\[1 \le x \le 4^n, \quad y \ge \log_4 x, \quad y \le \log_2 x\]를 동시에 만족시키는 영역을 \(D_n\)이라 하자.

<제시문 3> 제시문 <2>의 영역 \(D_n\)에 속하는 점 \((x, y)\) 중에서 \(x = 2^k\) (\(k\)는 음이 아닌 정수)이고 \(y\)가 정수인 점 \((x, y)\)의 개수를 \(a_n\)이라 하자.

<제시문 1> 미분가능한 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(t, f(t))\)와 곡선 밖의 정점 \(C(a, b)\)에 대하여, 선분 \(CP\)의 길이가 최소(또는 극소)가 될 때 점 \(P\)에서의 접선은 직선 \(CP\)와 수직이다. 즉, 직선 \(CP\)는 점 \(P\)에서의 법선이다.

<제시문 2> 이차함수 \(y = px^2 + qx + r\) (\(p \ne 0\))의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 만날 때, 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\displaystyle \int_\alpha^\beta |(px^2+qx+r) - (mx+n)|\,dx = \frac{|p|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

<제시문 3> 좌표평면에서 포물선 \(W_1 : y = \dfrac{1}{2}x^2\)과 점 \(C(0, a)\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\)인 원 \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\)이 서로 다른 두 점에서 접한다. 또한 포물선 \(W_2 : y = x^2\) 위의 제1사분면의 점 \(P(t, t^2)\) (\(t \gt 0\))에서의 접선에 수직이고 점 \(P\)를 지나는 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자.

<제시문 1> 원 둘레 위에 있는 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 원의 중심 \(O\)를 내부에 포함할 필요충분조건은 그 삼각형이 예각삼각형인 것이며, 원의 지름을 한 변으로 할 필요충분조건은 직각삼각형인 것이다.

<제시문 2> 두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)가 성립하면 두 사건 \(A, B\)는 서로 독립이라 하고, 성립하지 않으면 서로 종속이라 한다.

<제시문 3> 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심이 \(O\)인 원 둘레를 \(2m\) (\(m \ge 3\)인 자연수)등분하는 \(2m\)개의 점 \(P_1, P_2, \dots, P_{2m}\)이 시계 반대 방향으로 차례로 놓여 있다. 이 \(2m\)개의 점 중에서 임의로 서로 다른 \(3\)개의 점을 동시에 택하여 삼각형을 만든다.