| 회차 | 문항 번호 | 출제 과목군 | 핵심 출제 테마 및 논증 포인트 | 배점 | 난이도 |
|---|---|---|---|---|---|
| 제2회 [실전모의] |
[문제 1] | 공통수학, 수학Ⅰ | 외접원 내접 삼각형의 사인·코사인법칙, 각이등분선 할선 길이와 등비수열 정삼각형 넓이 및 귀납법 부등식 | 30점 | 최상 |
| [문제 2] | 수학Ⅱ | 매개변수 삼차함수의 극값과 세 실근 조건, 변곡점 대칭성을 이용한 절댓값 정적분 최솟값 및 넓이 불변성 | 40점 | 최상 | |
| [문제 3] | 확률과 통계 | 이항정리 미분 항등식 증명, 이차 확률밀도함수의 결정과 비음 조건하 기댓값의 최대·최소 범위 | 30점 | 상 |
삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의하여 변 \(BC\)의 길이를 구하면\[\overline{BC}^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cos 120^\circ = 36 + 9 + 18 = 63 \implies \overline{BC} = 3\sqrt{7}\]사인법칙에 의하여 \(2R = \dfrac{\overline{BC}}{\sin 120^\circ} = \dfrac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}/2} = 2\sqrt{21}\)이므로 외접원의 반지름은 \(R = \sqrt{21}\)입니다.
내각의 이등분선 성질과 삼각형 넓이 분할 \(\triangle ABC = \triangle ABD_1 + \triangle ACD_1\)에 의하여\[\begin{aligned} \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \sin 120^\circ &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \overline{AD_1} \sin 60^\circ + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \overline{AD_1} \sin 60^\circ \\ &\implies \overline{AD_1} = \frac{18}{9} = 2 \end{aligned}\]입니다. 또한 \(\overline{BD_1} : \overline{CD_1} = 6 : 3 = 2 : 1\)이므로 \(\overline{BD_1} = 2\sqrt{7}, \; \overline{CD_1} = \sqrt{7}\)입니다.
원 내부의 두 현 \(AM, BC\)의 교점 \(D_1\)에서 \(\overline{AD_1} \cdot \overline{D_1 M} = \overline{BD_1} \cdot \overline{CD_1}\)이므로 \(2 \cdot \overline{D_1 M} = 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 14 \implies \overline{D_1 M} = 7\)입니다.
첫째 정삼각형 \(T_1\)의 한 변의 길이는 \(l_1 = \overline{AD_1} = 2\)이므로 넓이는 \(s_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}\)입니다.
정삼각형 \(T_n\)의 높이는 한 변의 길이의 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)배이므로, 넓이의 공비는 \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}\)인 등비수열을 이룹니다. 따라서 일반항은\[s_n = \sqrt{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\]입니다. 이를 주어진 로그 합에 대입하면 \(\dfrac{4^{k-1}}{\sqrt{3}} s_k = 3^{k-1}\)이므로\[\sum_{k=1}^{10} \log_3 \left(\frac{4^{k-1}}{\sqrt{3}} s_k\right) = \sum_{k=1}^{10} \log_3 \left(3^{k-1}\right) = \sum_{k=1}^{10} (k-1) = \frac{9 \times 10}{2} = 45\]입니다.
(1) \(n = 2\)일 때: 좌변은 \(2(\sqrt{3}-1) \approx 1.464\), 중앙은 \(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1.707\), 우변은 \(2\sqrt{2}-1 \approx 1.828\)이므로 부등식이 성립합니다.
(2) \(n = m\) (\(m \ge 2\))일 때 부등식이 성립한다고 가정하면\[2\left(\sqrt{m+1}-1\right) + \frac{1}{\sqrt{m+1}} \lt \sum_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 2\sqrt{m} - 1 + \frac{1}{\sqrt{m+1}}\]입니다. 여기서 좌변을 변형하면 \(\sqrt{m+2} + \sqrt{m+1} \gt 2\sqrt{m+1}\)이므로 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \gt \dfrac{2}{\sqrt{m+2}+\sqrt{m+1}} = 2\left(\sqrt{m+2}-\sqrt{m+1}\right)\)가 되어 좌측 부등식이 성립합니다.
마찬가지로 우변에서 \(\sqrt{m+1} + \sqrt{m} \lt 2\sqrt{m+1}\)이므로 \(\dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \lt \dfrac{2}{\sqrt{m+1}+\sqrt{m}} = 2\left(\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\right)\)가 되어 \(2\sqrt{m} - 1 + \dfrac{1}{\sqrt{m+1}} \lt 2\sqrt{m+1} - 1\)이므로 우측 부등식도 성립합니다.
따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 부등식이 성립합니다.
이제 \(n = 99\)를 대입하면 \(2(\sqrt{100}-1) \lt \displaystyle\sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 2\sqrt{99}-1 \lt 2\sqrt{100}-1\)이므로\[18 \lt \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 19\]가 되어 구하는 정수 부분은 \(18\)입니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [1-ⅰ] | 코사인·사인법칙으로 \(\overline{BC}=3\sqrt{7}, \; R=\sqrt{21}\) 및 넓이 분할로 \(\overline{AD_1}=2\) 도출 (6점) |
| 소문항 [1-ⅰ] | 내각 이등분선 비와 원의 할선 정리를 적용하여 \(\overline{D_1 M} = 7\) 산출 (4점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | 정삼각형 넓이 공비 \(\frac{3}{4}\) 규명 및 일반항 \(s_n = \sqrt{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\) 유도 (5점) |
| 소문항 [1-ⅱ] | 로그 식을 정리하여 등차수열의 합 \(\sum_{k=1}^{10} (k-1) = 45\) 계산 (5점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | 수학적 귀납법 초기조건(\(n=2\)) 확인 및 유리화 부등식을 통한 \(n=m+1\) 귀납 증명 (6점) |
| 소문항 [1-ⅲ] | \(n=99\) 대입을 통해 \(18 \lt \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{\sqrt{k}} \lt 19\) 및 정수 부분 \(18\) 도출 (4점) |
\(f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2-1)x\)를 미분하면\[f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3(a^2 - 1) = 3\left\{(x-a)^2 - 1\right\} = 3(x - a + 1)(x - a - 1)\]입니다. 따라서 \(f(x)\)는 \(x = a - 1\)에서 극대이고, \(x = a + 1\)에서 극소입니다. 각 극값을 계산하면\[\begin{aligned} f(a-1) &= (a-1)\left\{(a-1)^2 - 3a(a-1) + 3a^2 - 3\right\} = -a^3 + 3a + 2 = -(a+1)^2(a-2), \\ f(a+1) &= (a+1)\left\{(a+1)^2 - 3a(a+1) + 3a^2 - 3\right\} = -a^3 + 3a - 2 = -(a-1)^2(a+2) \end{aligned}\]제시문 <1>에 의해 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(f(a-1)f(a+1) \lt 0\)이므로\[(a+1)^2(a-2)(a-1)^2(a+2) \lt 0\]\(a \gt 0\)이므로 \((a+1)^2 \gt 0, \; a+2 \gt 0\)이고, \((a-1)^2(a-2) \lt 0\)이어야 합니다.
따라서 \(a \lt 2\)이고 \(a \ne 1\)이어야 하므로, 구하는 양수 \(a\)의 범위는 \(0 \lt a \lt 1\) 또는 \(1 \lt a \lt 2\)입니다.
\(f(x)\)를 \(x - a\)에 대하여 정리하면 \(f(x) = (x-a)^3 - 3(x-a) + (-a^3 + 3a)\)이고 \(f(a) = -a^3 + 3a\)입니다.
임의의 실수 \(u\)에 대하여 \(f(a+u) + f(a-u) = (u^3 - 3u + f(a)) + (-u^3 + 3u + f(a)) = 2f(a)\)가 항등적으로 성립하므로 곡선 \(y=f(x)\)는 점 \(M(a, f(a))\)에 대하여 대칭입니다.
구간 \([a-1, a+1]\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로 \(f(x)\)는 단조감소합니다. \(x - a = u\) (\(-1 \le u \le 1\))로 치환하고 \(c = t - f(a)\)라 두면\[g(t) = \int_{-1}^1 |u^3 - 3u - c|\,du\]기함수 \(h(u) = u^3 - 3u\)는 \([-1, 1]\)에서 \(-2 \le h(u) \le 2\)인 단조감소 함수이므로, \(c = 0\) 즉 \(t = f(a) = -a^3 + 3a\)일 때 적분 구간이 정확히 이등분되어 \(g(t)\)가 최소가 됩니다.
그때의 최솟값은 \(g(f(a)) = \displaystyle \int_{-1}^1 |u^3 - 3u|\,du = 2\int_0^1 (3u - u^3)\,du = 2\left[\frac{3}{2}u^2 - \frac{1}{4}u^4\right]_0^1 = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2}\)입니다.
방정식 \(f(x) = f(a)\)를 풀면 \((x-a)^3 - 3(x-a) = 0 \iff (x-a)\left\{(x-a)^2 - 3\right\} = 0\)이므로세 교점의 \(x\)좌표는 \(x = a - \sqrt{3}, \; a, \; a + \sqrt{3}\)입니다.
따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(S(a)\)는 치환적분 \(x - a = u\) (\(dx = du\))에 의하여\[\begin{aligned} S(a) &= \int_{a-\sqrt{3}}^{a+\sqrt{3}} |f(x) - f(a)|\,dx = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} |u^3 - 3u|\,du \\ &= 2\int_0^{\sqrt{3}} (3u - u^3)\,du = 2\left[\frac{3}{2}u^2 - \frac{1}{4}u^4\right]_0^{\sqrt{3}} \\ &= 2\left(\frac{9}{2} - \frac{9}{4}\right) = \frac{9}{2} \end{aligned}\]입니다. 적분식에서 매개변수 \(a\)가 완전히 소거되므로 넓이 \(S(a)\)는 양수 \(a\)의 값에 관계없이 항상 \(\dfrac{9}{2}\)로 일정합니다.
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [2-ⅰ] | \(f'(x) = 3(x-a+1)(x-a-1)\)로부터 극댓값 \(-a^3+3a+2\), 극솟값 \(-a^3+3a-2\) 도출 (6점) |
| 소문항 [2-ⅰ] | 인수분해된 부등식 \((a-1)^2(a-2) \lt 0\)을 풀어 \(0 \lt a \lt 1\) 또는 \(1 \lt a \lt 2\) 완결 (6점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | \(f(a+u) + f(a-u) = 2f(a)\)를 증명하여 점 \(M(a, -a^3+3a)\) 대칭성 입증 (6점) |
| 소문항 [2-ⅱ] | \(t = -a^3+3a\)에서 최소임을 논증하고 최솟값 \(\frac{5}{2}\) 정확 산출 (8점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | 교점 \(x = a, \; a \pm \sqrt{3}\) 도출 및 평행이동 치환 \(u = x-a\)로 \(a\)에 무관함을 증명 (7점) |
| 소문항 [2-ⅲ] | 대칭 구간 정적분을 계산하여 일정한 넓이 \(S(a) = \frac{9}{2}\) 도출 (7점) |
\((1+x)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면\[n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1}\]입니다. 양변에 \(x\)를 곱한 식 \(nx(1+x)^{n-1} = \displaystyle\sum_{k=1}^n k \, {}_n\mathrm{C}_k x^k\)의 양변을 다시 \(x\)에 대하여 미분하면\[\begin{aligned} n(1+x)^{n-1} + n(n-1)x(1+x)^{n-2} &= \sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} \\ \iff n(1+x)^{n-2}\{(1+x) + (n-1)x\} &= \sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} \end{aligned}\]즉, \(\displaystyle\sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} = n(nx + 1)(1+x)^{n-2}\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립합니다.
이 항등식의 양변에 \(x = 2\)를 대입하면\[\sum_{k=1}^n k^2 \, {}_n\mathrm{C}_k 2^{k-1} = n(2n + 1)(1 + 2)^{n-2} = n(2n+1)3^{n-2}\]이 성립함이 증명됩니다.
\(f(0) = 0 \implies c = 0\)이고, \(f(2) = 4a + 2b = 0 \implies b = -2a\)이므로 \(f(x) = ax(x-2)\)입니다.
제시문 <2>의 전확률 조건 \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 1\)에 의하여\[\int_0^2 (ax^2 - 2ax)\,dx = \left[\frac{a}{3}x^3 - ax^2\right]_0^2 = -\frac{4}{3}a = 1 \implies a = -\frac{3}{4}, \; b = \frac{3}{2}, \; c = 0\]입니다. \(f(x) = -\frac{3}{4}x(x-2)\)는 직선 \(x = 1\)에 대하여 대칭이므로 기댓값은 \(E(Y) = 1\)입니다.
제곱의 기댓값 \(E(Y^2)\)을 구하면\[E(Y^2) = \int_0^2 x^2 \left(-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x\right)dx = \left[-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4\right]_0^2 = -\frac{24}{5} + 6 = \frac{6}{5}\]따라서 분산은 \(V(Y) = E(Y^2) - \{E(Y)\}^2 = \dfrac{6}{5} - 1^2 = \dfrac{1}{5}\)입니다.
\(f(0) = 0\)이므로 \(c = 0\)이고 \(f(x) = ax^2 + bx = x(ax + b)\)입니다.
전확률 조건 \(\displaystyle\int_0^2 (ax^2 + bx)\,dx = \frac{8}{3}a + 2b = 1\)로부터 \(b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a\)입니다.
구간 \([0, 2]\)의 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = x(ax + b) \ge 0\)이어야 하므로, \(0 \lt x \le 2\)에서 일차식 \(ax + b \ge 0\)이어야 합니다.
일차함수 \(h(x) = ax + b\)가 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 항상 \(0\) 이상일 필요충분조건은 양 끝점에서의 함숫값이 모두 \(0\) 이상인 것입니다.
• \(h(0) = b \ge 0 \iff \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a \ge 0 \iff a \le \dfrac{3}{8}\)
• \(h(2) = 2a + b \ge 0 \iff 2a + \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3}a = \dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff a \ge -\dfrac{3}{4}\)
따라서 상수 \(a\)의 허용 범위는 \(-\dfrac{3}{4} \le a \le \dfrac{3}{8}\) (\(a \ne 0\))입니다. 이제 기댓값 \(E(Y)\)를 \(a\)로 나타내면\[E(Y) = \int_0^2 (ax^3 + bx^2)\,dx = 4a + \frac{8}{3}b = 4a + \frac{8}{3}\left(\frac{1}{2} - \frac{4}{3}a\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9}a\]이므로 \(-\dfrac{3}{4} \le a \le \dfrac{3}{8}\)를 대입하면 \(1 \le E(Y) \le \dfrac{3}{2}\)입니다. (단, \(a \ne 0\)이므로 \(E(Y) \ne \dfrac{4}{3}\))
| 평가 소문항 | 채점 기준 |
|---|---|
| 소문항 [3-ⅰ] | 이항정리의 두 번 미분(또는 조합 항등식 변형)을 통해 \(\sum k^2 {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} = n(nx+1)(1+x)^{n-2}\) 도출 (6점) |
| 소문항 [3-ⅰ] | \(x=2\)를 대입하여 우변 \(n(2n+1)3^{n-2}\) 등식 완성 (4점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | 전확률 조건으로 \(a = -\frac{3}{4}, \; b = \frac{3}{2}, \; c = 0\) 결정 (4점) |
| 소문항 [3-ⅱ] | 정적분을 통해 \(E(Y) = 1, \; V(Y) = \frac{1}{5}\) 정확 산출 (6점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | \(b = \frac{1}{2} - \frac{4}{3}a\) 관계식과 \(b \ge 0, \; 2a+b \ge 0\)으로부터 \(-\frac{3}{4} \le a \le \frac{3}{8}\) 도출 (5점) |
| 소문항 [3-ⅲ] | \(E(Y) = \frac{4}{3} + \frac{4}{9}a\) 식을 유도하여 \(1 \le E(Y) \le \frac{3}{2}\) (\(E(Y) \ne \frac{4}{3}\)) 완결 (5점) |