제시문 <1>에 의하여 원 \(C_n : x^2 + y^2 = n^2\) 위의 점 \(P_n(0, n)\)에서의 접선 \(\ell_n\)의 방정식은 \(0 \cdot x + n \cdot y = n^2\), 즉 \(y = n\)입니다.
이 직선 \(y = n\)과 원 \(C_{n+1} : x^2 + y^2 = (n+1)^2\)의 교점의 \(x\)좌표는\[\begin{aligned} x^2 + n^2 = (n+1)^2 &\iff x^2 = 2n + 1 \\ &\iff x = \pm\sqrt{2n+1} \end{aligned}\]이므로 두 교점은 \(A_n\left(-\sqrt{2n+1}, \; n\right), \; B_n\left(\sqrt{2n+1}, \; n\right)\)입니다.
선분 \(A_n B_n\) 위의 점 \((x, n)\)에서 \(y\)좌표 \(n\)은 이미 자연수(정수)이므로, 격자점의 개수 \(a_n\)은 부등식 \(-\sqrt{2n+1} \le x \le \sqrt{2n+1}\)을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수와 같습니다.
자연수 \(k = \left\lfloor \sqrt{2n+1} \right\rfloor\)라 하면 \(a_n = 2k + 1\)입니다. \(1 \le n \le 15\)일 때 \(3 \le 2n+1 \le 31\)이므로 구간을 나누면 다음과 같습니다.
• \(n = 1\) (\(2n+1=3\)): \(k = 1 \implies a_1 = 3\) (1개 항)
• \(2 \le n \le 3\) (\(5 \le 2n+1 \le 7\)): \(k = 2 \implies a_n = 5\) (2개 항)
• \(4 \le n \le 7\) (\(9 \le 2n+1 \le 15\)): \(k = 3 \implies a_n = 7\) (4개 항)
• \(8 \le n \le 11\) (\(17 \le 2n+1 \le 23\)): \(k = 4 \implies a_n = 9\) (4개 항)
• \(12 \le n \le 15\) (\(25 \le 2n+1 \le 31\)): \(k = 5 \implies a_n = 11\) (4개 항)
따라서 구하는 합은 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{15} a_n = 3 \times 1 + 5 \times 2 + 7 \times 4 + 9 \times 4 + 11 \times 4 = 3 + 10 + 28 + 36 + 44 = 121\)입니다.

선분 \(A_n B_n\)의 길이는 \(\overline{A_n B_n} = 2\sqrt{2n+1}\)이고, 원점 \(O(0,0)\)에서 직선 \(y=n\)까지의 거리는 \(n\)입니다.
따라서 삼각형 \(O A_n B_n\)의 넓이는 \(S_n = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2n+1} \times n = n\sqrt{2n+1}\)이며, 제곱수열 \(b_n\)의 일반항은\[b_n = S_n^2 = n^2(2n+1) = 2n^3 + n^2\]입니다. 제시문 <2>의 거듭제곱 합 공식을 적용하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{10} b_n &= 2\sum_{n=1}^{10} n^3 + \sum_{n=1}^{10} n^2 = 2\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 + \frac{10 \times 11 \times 21}{6} \\ &= 2 \times 3025 + 385 = 6050 + 385 = 6435 \end{aligned}\]입니다.

(1-ⅱ)에서 구한 \(b_n = n^2(2n+1)\)을 주어진 급수의 일반항에 대입하면 \(n^2\)이 약분되어\[\frac{b_n}{n^4(n+1)^2} = \frac{n^2(2n+1)}{n^4(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\]이 성립합니다. 따라서 제\(m\)항까지의 부분합을 망원급수로 소거하면\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^m \frac{b_n}{n^4(n+1)^2} &= \sum_{n=1}^m \left\{\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}\right\} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{m^2} - \frac{1}{(m+1)^2}\right) = 1 - \frac{1}{(m+1)^2} \end{aligned}\]입니다. 주어진 부등식 \(1 - \dfrac{1}{(m+1)^2} \ge \dfrac{99}{100}\)를 풀면\[\frac{1}{(m+1)^2} \le \frac{1}{100} \iff (m+1)^2 \ge 100 \iff m+1 \ge 10 \quad (\because m \text{은 자연수})\]이므로 \(m \ge 9\)입니다. 따라서 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(9\)입니다.

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + k\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)입니다.
곡선 위의 접점을 \((s, s^3 - 3s^2 + k)\)라 하면 접선의 방정식은 \(y - (s^3 - 3s^2 + k) = (3s^2 - 6s)(x - s)\)입니다.
이 직선이 점 \(P(3, 0)\)을 지나므로 \(x=3, y=0\)을 대입하여 정리하면\[\begin{aligned} -(s^3 - 3s^2 + k) &= 3s(s-2)(3-s) = -3s^3 + 15s^2 - 18s \\ \iff k &= 2s^3 - 12s^2 + 18s = 2s(s-3)^2 \end{aligned}\]삼차함수 \(h(s) = 2s^3 - 12s^2 + 18s\)로 놓으면, 서로 다른 세 접선을 그을 조건은 방정식 \(h(s) = k\)가 서로 다른 세 실근을 가질 조건과 같습니다.
\(h'(s) = 6s^2 - 24s + 18 = 6(s-1)(s-3) = 0\)에서 \(s=1\)일 때 극댓값 \(h(1) = 8\), \(s=3\)일 때 극솟값 \(h(3) = 0\)을 가집니다.
따라서 \(0 \lt k \lt 8\)이어야 하므로, 이를 만족하는 정수 \(k\)는 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\)이며 그 합은 \(\dfrac{7 \times 8}{2} = 28\)입니다.

\(f'(x) = 3x(x-2)\)이므로 \(x \le 0\) 또는 \(x \ge 2\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이고, \(0 \le x \le 2\)에서 \(f'(x) \le 0\)입니다. 한 부정적분을 \(F_0(x) = x^3 - 3x^2\)이라 하면 \(F_0'(x) = f'(x)\)입니다.
적분 구간 \([t, t+2]\)의 길이가 \(2\)이므로 \(0, 2\)와의 위치 관계에 따라 4개 구간으로 나누어 계산합니다.
① \(t+2 \le 0 \iff t \le -2\)일 때: 구간 전체에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로\[g(t) = \int_t^{t+2} (3x^2-6x)\,dx = F_0(t+2) - F_0(t) = \{(t+2)^3 - 3(t+2)^2\} - (t^3 - 3t^2) = 6t^2 - 4\]② \(-2 \lt t \le 0\) (즉 \(0 \lt t+2 \le 2\))일 때: \([t, 0]\)에서 \(f'(x) \ge 0\), \([0, t+2]\)에서 \(f'(x) \le 0\)이므로\[g(t) = \int_t^0 f'(x)\,dx - \int_0^{t+2} f'(x)\,dx = 2F_0(0) - F_0(t) - F_0(t+2) = -2t^3 + 4\]③ \(0 \lt t \le 2\) (즉 \(2 \lt t+2 \le 4\))일 때: \([t, 2]\)에서 \(f'(x) \le 0\), \([2, t+2]\)에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로\[g(t) = -\int_t^2 f'(x)\,dx + \int_2^{t+2} f'(x)\,dx = F_0(t) + F_0(t+2) - 2F_0(2) = 2t^3 + 4\]④ \(t \gt 2\)일 때: 구간 전체에서 \(f'(x) \ge 0\)이므로 \(g(t) = F_0(t+2) - F_0(t) = 6t^2 - 4\)입니다.
따라서 \(g(t)\)는 \(t \lt 0\)에서 감소하고 \(t \gt 0\)에서 증가하므로, \(t = 0\)에서 최솟값 \(g(0) = 4\)를 가집니다.

(2-ⅱ)에서 구한 \(g(t)\)를 정리하면 다음과 같습니다.\[g(t) = \begin{cases} 6t^2 - 4 & (t \le -2 \text{ 또는 } t \ge 2) \\ -2t^3 + 4 & (-2 \le t \le 0) \\ 2t^3 + 4 & (0 \le t \le 2) \end{cases}\]모든 실수 \(t\)에 대하여 \(g(-t) = g(t)\)가 성립하므로 \(g(t)\)는 \(y\)축에 대하여 대칭인 우함수입니다.
(1) 구간 \([-2, 2]\)에서의 정적분:\[\begin{aligned} \int_{-2}^2 g(t)\,dt &= 2\int_0^2 (2t^3 + 4)\,dt = 2\left[\frac{1}{2}t^4 + 4t\right]_0^2 \\ &= 2(8 + 8) = 32 \end{aligned}\](2) 구간 \([-3, 3]\)에서의 정적분:\[\begin{aligned} \int_{-3}^3 g(t)\,dt &= \int_{-2}^2 g(t)\,dt + 2\int_2^3 (6t^2 - 4)\,dt \\ &= 32 + 2\left[2t^3 - 4t\right]_2^3 = 32 + 2\{(54 - 12) - (16 - 8)\} = 32 + 2(42 - 8) = 32 + 68 = 100 \end{aligned}\]입니다.

주사위를 1회 던질 때 \(3\)의 배수(\(3, 6\))가 나올 확률은 \(p = \frac{1}{3}\)이고, 나오지 않을 확률은 \(q = \frac{2}{3}\)입니다.
\(n\)번의 독립시행 중 \(3\)의 배수의 눈이 나오는 횟수를 \(R\)이라 하면 \(R \sim \mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)\)이며, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오는 횟수는 \(n - R\)입니다.
따라서 \(n\)회 시행 후 점 \(P_n\)의 좌표 \((X_n, Y_n)\)은\[\begin{aligned} X_n &= 2R + 1 \cdot (n - R) = n + R, \\ Y_n &= 1 \cdot R + (-1)(n - R) = 2R - n \end{aligned}\]입니다. \(n = 6\)일 때 \(X_6 + 2Y_6 = (6 + R) + 2(2R - 6) = 5R - 6\)이므로, 사건 \(A : X_6 + 2Y_6 \ge 9\)는 \(5R - 6 \ge 9 \iff R \ge 3\)인 사건입니다.
\[P(A) = P(R \ge 3) = 1 - \sum_{r=0}^2 {}_6\mathrm{C}_r \left(\frac{1}{3}\right)^r \left(\frac{2}{3}\right)^{6-r} = 1 - \frac{496}{729} = \frac{233}{729}\]처음 2회 모두 \(3\)의 배수가 나오는 사건을 \(B\)라 하면, \(A \cap B\)는 처음 2회 성공 후 나머지 4회 중 \(1\)회 이상 성공할 사건이므로\[P(A \cap B) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left\{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^4\right\} = \frac{1}{9} \times \frac{65}{81} = \frac{65}{729}\]입니다. 따라서 구하는 조건부확률은 \(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{65}{233}\)입니다.

(3-ⅰ)의 좌표 관계식으로부터 \(Z_n = X_n - Y_n\)을 \(R\)에 관하여 정리하면\[Z_n = (n + R) - (2R - n) = 2n - R\]입니다. \(R \sim \mathrm{B}\left(n, \frac{1}{3}\right)\)이므로 제시문 <2>에 의하여 \(E(R) = \frac{1}{3}n, \; V(R) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}n\)입니다.
기댓값과 분산의 선형 성질을 적용하면\[\begin{aligned} E(Z_n) &= E(2n - R) = 2n - E(R) = 2n - \frac{1}{3}n = \frac{5}{3}n, \\ V(Z_n) &= V(2n - R) = (-1)^2 V(R) = \frac{2}{9}n \end{aligned}\]입니다.

확률변수 \(W_n = X_n + Y_n\)을 \(R\)에 관하여 나타내면\[W_n = (n + R) + (2R - n) = 3R\]입니다. 따라서 \(W_n\)의 기댓값과 분산은 각각\[E(W_n) = 3E(R) = 3 \cdot \frac{1}{3}n = n, \quad V(W_n) = 3^2 V(R) = 9 \cdot \frac{2}{9}n = 2n\]입니다. 제시문 <2>의 관계식 \(E(W_n^2) = V(W_n) + \{E(W_n)\}^2 = 2n + n^2\)을 대입하면\[\frac{E(W_n^2)}{\{E(W_n)\}^2} = \frac{n^2 + 2n}{n^2} = 1 + \frac{2}{n}\]입니다. 부등식 \(1 + \dfrac{2}{n} \le \dfrac{109}{100}\)을 정리하면\[\frac{2}{n} \le \frac{9}{100} \iff 9n \ge 200 \iff n \ge \frac{200}{9} = 22.22\cdots\]이므로, 이를 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(23\)입니다.