\(y = 2^{x-1}\)을 \(x\)에 대하여 풀면 \(x - 1 = \log_2 y \iff x = \log_2 y + 1\)이고, \(x\)와 \(y\)를 서로 바꾸면 \(y = \log_2 x + 1 = g(x)\)이므로 두 함수는 서로 역함수 관계이며 그래프는 직선 \(y = x\)에 대칭입니다.
직선 \(\ell_n : x + y = 2n + 2\) 역시 직선 \(y = x\)에 대칭이므로 두 교점 \(A_n, B_n\)은 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이고, 그 중점 \(M_n\)은 직선 \(y = x\)와 \(x + y = 2n + 2\)의 교점인\[M_n(n+1, \; n+1)\]입니다. 따라서 \(a_n = \overline{O M_n}^2 = (n+1)^2 + (n+1)^2 = 2(n+1)^2\)이며, 제시문 <2>에 의하여\[\sum_{n=1}^{9} a_n = 2\sum_{n=1}^{9} (n+1)^2 = 2\sum_{k=2}^{10} k^2 = 2(385 - 1) = 768\]입니다.

곡선 \(y = 2^{x-3}\)은 곡선 \(y = 2^{x-1}\)을 \(x\)축의 방향으로 \(+2\)만큼 평행이동한 그래프입니다.
두 곡선과 직선 \(y = 1\)의 교점은 각각 \(A(1, 1), \; B(3, 1)\)이고, 직선 \(y = 4\)와의 교점은 각각 \(D(3, 4), \; C(5, 4)\)입니다.
임의의 \(y \in [1, 4]\)에 대하여 수평선과 두 곡선이 만나는 두 점 사이의 가로 길이는 항상 \(2\)로 일정하므로, 둘러싸인 도형에서 곡선 부분을 잘라 평행이동하면 밑변의 길이가 \(\overline{AB} = 2\)이고 높이가 \(4 - 1 = 3\)인 직사각형과 넓이가 같습니다. 따라서 구하는 넓이는\[S = 2 \times (4 - 1) = 6\]입니다.

\(c_n = a_n - 2 = 2(n+1)^2 - 2 = 2(n^2 + 2n) = 2n(n+2)\)이므로\[\frac{4}{c_n} = \frac{4}{2n(n+2)} = \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\]입니다. 이를 \(n=1\)부터 \(m\)까지 더하여 2칸 간격 망원급수로 소거하면\[\sum_{n=1}^{m} \frac{4}{c_n} = \sum_{n=1}^{m} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2} = \frac{3}{2} - \frac{2m+3}{(m+1)(m+2)}\]입니다. 부등식 \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \ge \dfrac{41}{30}\)을 정리하면\[\frac{2m+3}{(m+1)(m+2)} \le \frac{3}{2} - \frac{41}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} \iff 15(2m+3) \le 2(m+1)(m+2) \iff 2m^2 - 24m - 41 \ge 0\]\(m = 13\)일 때 \(2(169) - 312 - 41 = -15 \lt 0\)이고, \(m = 14\)일 때 \(2(196) - 336 - 41 = 15 \gt 0\)이므로 자연수 \(m\)의 최솟값은 \(14\)입니다.

\(f(x) = x^3 - 3x\)에서 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이므로 \(f'(1) = 0\)입니다. 따라서 제시문 <2>에 의하여\[G'(x) = f(x) = x^3 - 3x = x(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})\]이고, 적분하면 \(G(x) = \dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2\)입니다.
닫힌구간 \([-1, 2]\)에서 \(G'(x) = 0\)인 점은 \(x = 0\)과 \(x = \sqrt{3}\)이므로 극값과 양 끝값을 비교하면
• \(G(-1) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{4}\)
• \(G(0) = 0\) (극대)
• \(G(\sqrt{3}) = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{9}{4}\) (극소)
• \(G(2) = 4 - 6 = -2\)
따라서 구간 \([-1, 2]\)에서 \(G(x)\)의 최댓값은 \(0\), 최솟값은 \(-\dfrac{9}{4}\)입니다.

\(f'(x) = 3(x+1)(x-1) = 0\)에서 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극댓값 \(f(-1) = 2\), \(x = 1\)에서 극솟값 \(f(1) = -2\)를 가집니다.
절댓값 함수 \(W(x) = |f(x) - k|\)가 미분불가능한 점은 방정식 \(f(x) - k = 0\)의 실근 중 부호가 바뀌는 홀수 차수(단순) 실근입니다.
• \(0 \lt k \lt 2\)이면 \(f(x) = k\)가 서로 다른 세 단순 실근을 가지므로 미분불가능한 점이 \(3\)개입니다.
• \(k \ge 2\)이면: 특히 \(k = 2\)일 때 \(f(x) - 2 = x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)\)이므로 \(x = -1\)에서는 중근을 가져 \(W'(x)\)가 \(0\)으로 미분가능하고, 오직 \(x = 2\)에서만 부호가 바뀌어 미분불가능합니다.
따라서 양수 \(k\)의 최솟값은 \(k = 2\)이며 미분불가능한 점은 \(a = 2\)입니다. \(f'(2) = 9\)이므로 \(x = 2\)에서의 좌미분계수는 \(-f'(2) = -9\), 우미분계수는 \(f'(2) = 9\)입니다.

\(k = 2\)일 때 \(f(x) - 2 = (x+1)^2(x-2)\)이므로 \(x \le 2\)에서는 \(f(x) - 2 \le 0\), \(x \ge 2\)에서는 \(f(x) - 2 \ge 0\)입니다.
(1) 구간 \([-2, 2]\)에서는 \(W(x) = -(x^3 - 3x - 2) = -x^3 + 3x + 2\)이고 기함수 항 \(-x^3 + 3x\)의 대칭 구간 정적분은 \(0\)이므로\[\int_{-2}^{2} W(x)\,dx = \int_{-2}^{2} (-x^3 + 3x + 2)\,dx = 2\int_0^2 2\,dx = 8\]입니다.
(2) 구간 \([2, 3]\)에서는 \(W(x) = x^3 - 3x - 2\)이므로\[\int_2^3 (x^3 - 3x - 2)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x\right]_2^3 = \left(\frac{81}{4} - \frac{27}{2} - 6\right) - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{27}{4}\]입니다. 따라서\[\int_{-2}^{3} W(x)\,dx = 8 + \frac{27}{4} = \frac{59}{4}\]입니다.

이차방정식 \(x^2 - 2kx + 4 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가질 조건은 판별식 \(D/4 = k^2 - 4 \gt 0 \iff k \ge 3\)이므로 \(k \in \{3, 4, 5, 6\}\)이고 \(P(E) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\)입니다.
\(4\)회 독립시행에서 사건 \(E\)가 일어나는 횟수 \(R \sim \mathrm{B}\left(4, \frac{2}{3}\right)\)이므로\[P(R \ge 3) = {}_4\mathrm{C}_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right) + {}_4\mathrm{C}_4 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{32}{81} + \frac{16}{81} = \frac{48}{81} = \frac{16}{27}\]입니다. 또한 \(P(R = 3) = \dfrac{32}{81}\)이고, 첫 번째 시행에서 눈 \(2\) (사건 \(E^c\)에 속하며 확률 \(\frac{1}{6}\))가 나오고 나머지 \(2, 3, 4\)번째 시행에서 모두 사건 \(E\)가 일어날 확률은\[\frac{1}{6} \times \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{162} = \frac{4}{81}\]이므로, 구하는 조건부확률은 \(\dfrac{4/81}{32/81} = \dfrac{1}{8}\)입니다.

모집단이 정규분포 \(\mathrm{N}(30, 6^2)\)을 따르고 표본의 크기가 \(n = 9\)이므로 제시문 <2>에 의하여\[E(\overline{X}) = 30, \quad \sigma(\overline{X}) = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2\]즉 \(\overline{X} \sim \mathrm{N}(30, 2^2)\)입니다. 이를 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 30}{2}\)로 표준화하면\[\begin{aligned} P(28 \le \overline{X} \le 34) &= P\left(\frac{28 - 30}{2} \le Z \le \frac{34 - 30}{2}\right) = P(-1 \le Z \le 2) \\ &= P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 \end{aligned}\]입니다.

함수 \(h(t) = P(t \le \overline{X} \le t + 4)\)를 표준정규확률변수 \(Z = \dfrac{\overline{X} - 30}{2}\)로 나타내면\[h(t) = P\left(\frac{t - 30}{2} \le Z \le \frac{t - 26}{2}\right)\]입니다. 적분 구간의 길이가 \(\dfrac{t - 26}{2} - \dfrac{t - 30}{2} = 2\)로 일정하므로, 표준정규분포의 확률밀도함수가 \(z = 0\)에 대하여 대칭이고 \(z = 0\)에서 최댓값을 갖는 단봉형 곡선이라는 성질에 의하여 구간의 양 끝점이 원점에 대칭일 때 확률 \(h(t)\)가 최대가 됩니다.\[\frac{t - 30}{2} + \frac{t - 26}{2} = 0 \iff 2t - 56 = 0 \iff t = 28\]이때 최댓값은\[h(28) = P(-1 \le Z \le 1) = 2P(0 \le Z \le 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826\]입니다.