<제시문 1> 좌표평면에서 중심이 원점 \(O(0,0)\)이고 반지름의 길이가 \(r\)인 원 \(x^2 + y^2 = r^2\) 위의 점 \((x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(x_1 x + y_1 y = r^2\)이다. 또한 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등분한다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 거듭제곱의 합과 분수꼴 수열의 합은 다음과 같이 계산한다.\[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2\]

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면 위에 두 원 \(C_n : x^2 + y^2 = n^2\)과 \(C_{n+1} : x^2 + y^2 = (n+1)^2\)이 있다. 원 \(C_n\) 위의 점 \(P_n(0, n)\)에서의 접선 \(\ell_n\)이 원 \(C_{n+1}\)과 만나는 두 점을 각각 \(A_n, B_n\)이라 하자. 선분 \(A_n B_n\) (양 끝점 포함) 위에 있는 점 중에서 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점의 개수를 \(a_n\)이라 하고, 삼각형 \(O A_n B_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 할 때 \(b_n = S_n^2\)으로 정의하자.

<제시문 1> 미분가능한 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 밖의 한 점 \((a, b)\)에서 곡선에 그은 접선의 개수는, 접점의 \(x\)좌표를 \(s\)라 할 때 접선의 방정식 \(y - f(s) = f'(s)(x - s)\)에 점 \((a, b)\)를 대입한 방정식 \(b - f(s) = f'(s)(a - s)\)의 서로 다른 실근 \(s\)의 개수와 같다.

<제시문 2> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)에 대하여 정적분 \(\displaystyle \int_a^b |h(x)|\,dx\)를 계산할 때에는, 구간 \([a, b]\)에서 \(h(x) = 0\)이 되는 점을 경계로 적분 구간을 나누어 절댓값 기호를 제거한 후 적분한다.

<제시문 3> 상수 \(k\)에 대하여 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + k\)가 주어져 있다. 또한 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(t)\)를 다음과 같이 정의하자.\[g(t) = \int_t^{t+2} |f'(x)|\,dx\]

<제시문 1> 두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A) \gt 0\)일 때, 사건 \(A\)가 일어났을 때의 사건 \(B\)의 조건부확률은 \(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)이다. 또한 매 시행에서 사건 \(E\)가 일어날 확률이 \(p\) (\(q=1-p\))인 독립시행을 \(n\)회 반복할 때 사건 \(E\)가 일어나는 횟수 \(R\)은 이항분포 \(\mathrm{B}(n, p)\)를 따른다.

<제시문 2> 이항분포 \(\mathrm{B}(n, p)\)를 따르는 확률변수 \(R\)의 기댓값과 분산은 각각 \(E(R) = np, \; V(R) = npq\)이며, 상수 \(a, b\)에 대하여 \(E(aR+b) = aE(R)+b, \; V(aR+b) = a^2 V(R)\)이고 \(E(R^2) = V(R) + \{E(R)\}^2\)이다.

<제시문 3> 좌표평면의 원점 \(P_0(0, 0)\)에 놓인 점 \(P\)가 있다. 한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 점 \(P\)를 \(x\)축 방향으로 \(+2\), \(y\)축 방향으로 \(+1\)만큼 이동시키고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 \(x\)축 방향으로 \(+1\), \(y\)축 방향으로 \(-1\)만큼 이동시킨다. 주사위를 \(n\)번 던진 후 점 \(P\)의 좌표를 \(P_n(X_n, Y_n)\)이라 하자.

<제시문 1> 삼각형 \(ABC\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때, 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\)와 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)가 성립한다. 또한 원의 두 현 \(AB, CD\)가 원 내부의 점 \(P\)에서 만날 때 \(\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}\)가 성립한다.

<제시문 2> 원 \(O\)에 내접하는 삼각형 \(ABC\)에서 \(\overline{AB} = 6, \; \overline{AC} = 3, \; \angle BAC = 120^\circ\)이다. \(\angle BAC\)의 이등분선이 변 \(BC\)와 만나는 점을 \(D_1\), 원 \(O\)와 만나는 점을 \(M\) (\(M \ne A\))이라 하자.

<제시문 3> 제시문 <2>의 선분 \(A D_1\)을 한 변으로 하는 정삼각형 \(T_1\)을 그리고, \(T_1\)의 높이를 한 변으로 하는 정삼각형 \(T_2\)를 그린다. 이와 같은 과정으로 자연수 \(n\)에 대하여 정삼각형 \(T_n\)의 높이를 한 변으로 하는 정삼각형 \(T_{n+1}\)을 한없이 그릴 때, 정삼각형 \(T_n\)의 넓이를 \(s_n\)이라 하자.

<제시문 1> 삼차함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)와 \(x = \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 극값을 가질 때, 방정식 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가질 필요충분조건은 극댓값과 극솟값의 곱이 음수, 즉 \(f(\alpha)f(\beta) \lt 0\)인 것이다.

<제시문 2> 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([p, q]\)에서 증가하고 점 \(\left(\frac{p+q}{2}, \; f\left(\frac{p+q}{2}\right)\right)\)에 대하여 대칭일 때, 실수 \(t\)에 대한 정적분 함수 \(g(t) = \displaystyle \int_p^q |f(x) - t|\,dx\)는 \(t = f\left(\frac{p+q}{2}\right)\)에서 최솟값을 갖는다.

<제시문 3> 양의 실수 \(a\) (\(a \gt 0\))에 대하여 삼차함수 \(f(x)\)를 다음과 같이 정의하자.\[f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3(a^2 - 1)x\]

<제시문 1> 자연수 \(n\)에 대하여 이항정리에 의하면 \((1 + x)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k\)이 성립한다. 또한 조합의 성질에 의하여 \(1 \le k \le n\)일 때 \(k \, {}_n\mathrm{C}_k = n \, {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}\)이다.

<제시문 2> 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 정의된 연속확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수 \(f(x)\)는 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) 구간 \([\alpha, \beta]\)에 속하는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) \ge 0\)이다.
(나) \(\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\,dx = 1\)이며, 기댓값은 \(E(Y) = \displaystyle \int_\alpha^\beta x f(x)\,dx\), 분산은 \(V(Y) = \displaystyle \int_\alpha^\beta x^2 f(x)\,dx - \{E(Y)\}^2\)이다.

<제시문 3> 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 정의된 연속확률변수 \(Y\)의 확률밀도함수가 이차함수 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\))로 주어져 있다.

<제시문 1> 두 양수 \(A, B\)에 대하여 산술평균과 기하평균의 관계 \(\dfrac{A + B}{2} \ge \sqrt{AB}\) (단, 등호는 \(A = B\)일 때 성립)가 성립한다. 또한 \(a \gt 0, a \ne 1, b \gt 0, b \ne 1\)일 때 로그의 밑의 변환 공식에 의하여 \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면에서 세 부등식\[1 \le x \le 4^n, \quad y \ge \log_4 x, \quad y \le \log_2 x\]를 동시에 만족시키는 영역을 \(D_n\)이라 하자.

<제시문 3> 제시문 <2>의 영역 \(D_n\)에 속하는 점 \((x, y)\) 중에서 \(x = 2^k\) (\(k\)는 음이 아닌 정수)이고 \(y\)가 정수인 점 \((x, y)\)의 개수를 \(a_n\)이라 하자.

<제시문 1> 미분가능한 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(t, f(t))\)와 곡선 밖의 정점 \(C(a, b)\)에 대하여, 선분 \(CP\)의 길이가 최소(또는 극소)가 될 때 점 \(P\)에서의 접선은 직선 \(CP\)와 수직이다. 즉, 직선 \(CP\)는 점 \(P\)에서의 법선이다.

<제시문 2> 이차함수 \(y = px^2 + qx + r\) (\(p \ne 0\))의 그래프와 직선 \(y = mx + n\)이 서로 다른 두 점 \(x = \alpha, \beta\) (\(\alpha \lt \beta\))에서 만날 때, 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\displaystyle \int_\alpha^\beta |(px^2+qx+r) - (mx+n)|\,dx = \frac{|p|}{6}(\beta - \alpha)^3\)이다.

<제시문 3> 좌표평면에서 포물선 \(W_1 : y = \dfrac{1}{2}x^2\)과 점 \(C(0, a)\)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 \(r\)인 원 \(x^2 + (y - a)^2 = r^2\)이 서로 다른 두 점에서 접한다. 또한 포물선 \(W_2 : y = x^2\) 위의 제1사분면의 점 \(P(t, t^2)\) (\(t \gt 0\))에서의 접선에 수직이고 점 \(P\)를 지나는 직선이 \(y\)축과 만나는 점을 \(Q\)라 하자.

<제시문 1> 원 둘레 위에 있는 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 원의 중심 \(O\)를 내부에 포함할 필요충분조건은 그 삼각형이 예각삼각형인 것이며, 원의 지름을 한 변으로 할 필요충분조건은 직각삼각형인 것이다.

<제시문 2> 두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)가 성립하면 두 사건 \(A, B\)는 서로 독립이라 하고, 성립하지 않으면 서로 종속이라 한다.

<제시문 3> 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심이 \(O\)인 원 둘레를 \(2m\) (\(m \ge 3\)인 자연수)등분하는 \(2m\)개의 점 \(P_1, P_2, \dots, P_{2m}\)이 시계 반대 방향으로 차례로 놓여 있다. 이 \(2m\)개의 점 중에서 임의로 서로 다른 \(3\)개의 점을 동시에 택하여 삼각형을 만든다.

<제시문 1> 실수 \(x\)에 대하여 삼각함수 \(y = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)와 \(y = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)는 모두 주기가 \(\dfrac{2\pi}{\pi/2} = 4\)인 주기함수이다. 또한 함수 \(y = \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)의 그래프는 직선 \(x = 4k + 1\) (\(k\)는 정수)에 대하여 대칭이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4n]\)에서 정의된 방정식\[\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \frac{1}{3}\]의 서로 다른 모든 실근의 개수를 \(a_n\), 모든 실근의 합을 \(S_n\)이라 하자.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([0, 4n]\)에서 정의된 방정식\[\left|\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right| = \frac{x}{4n}\]의 서로 다른 모든 실근의 개수를 \(b_n\)이라 하자.

<제시문 1> 다항식 \(P(x)\)를 다항식 \(A(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면 \(P(x) = A(x)Q(x) + R(x)\) (단, \(\deg R(x) \lt \deg A(x)\) 또는 \(R(x) = 0\))가 성립한다. 특히 미분가능한 항등식의 양변을 미분하여도 등식이 성립한다.

<제시문 2> 최고차항의 계수가 \(1\)인 사차다항식 \(P(x)\)가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) \(P(x)\)를 \((x+1)^2\)으로 나눈 나머지와 \((x-1)^2\)으로 나눈 나머지가 서로 같고, 이 공통인 나머지를 \(R(x)\)라 한다.
(나) \(P(0) = 2\)이고 \(P'(0) = 2\)이다.

<제시문 3> 제시문 <2>의 사차다항식 \(P(x)\)와 나머지 \(R(x)\)에 대하여 실수 \(t\)에 관한 정적분 함수 \(G(t)\)를 다음과 같이 정의하자.\[G(t) = \int_0^t \{P(x) - R(x)\}\,dx\]

<제시문 1> 표본공간 \(S\)의 분할 \(E, E^c\)와 사건 \(A\) (\(P(A) \gt 0\))에 대하여 조건부확률과 곱셈정리에 의하면\[P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)} = \frac{P(E)P(A|E)}{P(E)P(A|E) + P(E^c)P(A|E^c)}\]이 성립한다.

<제시문 2> 확률변수 \(X\)가 정규분포 \(\mathrm{N}(m, \sigma^2)\)을 따를 때, \(Z = \dfrac{X - m}{\sigma}\)은 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따른다. 또한 모집단 \(\mathrm{N}(m, \sigma^2)\)에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(\mathrm{N}\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)\)을 따른다.

<제시문 3> 어느 반도체 공장에서 생산되는 전체 웨이퍼 중 \(10\%\)는 ‘특수 등급’(\(E\))이고, 나머지 \(90\%\)는 ‘일반 등급’(\(E^c\))이다. 등급 판별 장치는 특수 등급 웨이퍼를 검사할 때 \(80\%\)의 확률로 ‘양성’ 판정을 내리고, 일반 등급 웨이퍼를 검사할 때 \(20\%\)의 확률로 ‘양성’ 판정을 내린다. 임의로 선택한 한 개의 웨이퍼에 대하여 반복 검사 결과는 그 웨이퍼의 등급이 정해진 상태에서 서로 독립이다.
한편 이 공장의 웨이퍼 두께 \(X\) (단위: \(\mu\text{m}\))는 정규분포 \(\mathrm{N}(50, 4^2)\)을 따르며, 표준정규분포에서 \(P(0 \le Z \le 1) = 0.3413, \; P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)이다.

<제시문 1> 자연수 \(N\)이 서로 다른 소수 \(p, q\)에 대하여 \(N = p^a q^b\) (\(a, b\)는 자연수)으로 소인수분해될 때, \(N\)의 양의 약수는 모두 \(p^i q^j\) (\(0 \le i \le a, \; 0 \le j \le b\)인 정수) 꼴로 유일하게 표현되며, 양의 약수의 총개수는 \((a+1)(b+1)\)이다.

<제시문 2> \(x \gt 0, y \gt 0\)일 때 \(\log_2(xy) = \log_2 x + \log_2 y\)이며, 이중합에서 \(\displaystyle \sum_{i=p}^q \sum_{j=r}^s (u_i + v_j) = (s - r + 1)\sum_{i=p}^q u_i + (q - p + 1)\sum_{j=r}^s v_j\)가 성립한다.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 자연수 \(N_n = 12^n\)의 모든 양의 약수의 집합을 \(D_n\)이라 하고, \(D_n\)의 원소 중에서 \(6\)의 배수인 모든 약수의 집합을 \(E_n\)이라 하자. 집합 \(D_n\)의 모든 원소 \(d\)에 대한 \(\log_2 d\)의 총합을 \(A_n\), 집합 \(E_n\)의 모든 원소 \(e\)에 대한 \(\log_2 e\)의 총합을 \(B_n\)이라 하자. (단, \(\alpha = \log_2 3\)으로 놓는다.)

<제시문 1> 실수 \(x_1 \le x_2 \le x_3\)과 \(y_1 \le y_2 \le y_3\)에 대하여, \((y_1, y_2, y_3)\)의 임의의 순열 \((a, b, c)\)에 의한 곱의 합 \(a x_1 + b x_2 + c x_3\)은 같은 순서로 곱할 때(\(y_1 x_1 + y_2 x_2 + y_3 x_3\)) 최대가 되고, 반대 순서로 곱할 때(\(y_3 x_1 + y_2 x_2 + y_1 x_3\)) 최소가 된다.

<제시문 2> 함수 \(f(x)\)가 \(x = x_0\)에서 연속일 때, 좌미분계수 \(\displaystyle \lim_{h \to 0-} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)와 우미분계수 \(\displaystyle \lim_{h \to 0+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)가 서로 같으면 \(f(x)\)는 \(x = x_0\)에서 미분가능하고, 서로 다르면 미분가능하지 않다.

<제시문 3> 집합 \(\{1, 2, 3\}\)의 원소들을 일렬로 나열하여 만든 모든 순열 \((a, b, c)\) (\(6\)가지)에 대하여 이차함수 \(f_{(a,b,c)}(x) = ax^2 + bx + c\)를 생각하자. 실수 \(x\)에 대하여 이 \(6\)개의 함숫값 중 최댓값을 \(g(x)\), 최솟값을 \(h(x)\)라 하자.

<제시문 1> 서로 독립인 확률변수 \(X_1, X_2, X_3\)과 상수 \(c_1, c_2, c_3\)에 대하여 선형결합 확률변수 \(W = c_1 X_1 + c_2 X_2 + c_3 X_3\)의 기댓값과 분산은 다음과 같다.\[E(W) = c_1 E(X_1) + c_2 E(X_2) + c_3 E(X_3), \quad V(W) = c_1^2 V(X_1) + c_2^2 V(X_2) + c_3^2 V(X_3)\]

<제시문 2> 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 연속인 함수 \(h(x)\)에 대하여 코시-슈바르츠 부등식(또는 정적분 분산 부등식)에 의하여 다음이 성립한다.\[\left\{\int_0^1 h(x)\,dx\right\}^2 \le \int_0^1 \{h(x)\}^2\,dx \quad (\text{단, 등호는 } h(x)\text{가 상수함수일 때 성립})\]

<제시문 3> 주머니 속에 \(1, 2, 3, 4\)의 숫자가 하나씩 적힌 \(4\)개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 적힌 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행(복원추출)을 \(3\)번 반복하여 차례로 나온 숫자를 확률변수 \(A, B, C\)라 하자. 이차함수 \(Q(x) = Ax^2 + 2Bx + C\)와 확률변수 \(I = \displaystyle \int_0^1 Q(x)\,dx\)를 정의하자.

<제시문 1> 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수를 \(x\)의 정수 부분이라 하고, \(x\)에서 정수 부분을 뺀 값을 \(x\)의 소수 부분이라 한다. 자연수 \(k\)와 양의 무리수 \(x\)에 대하여 \(k \lt x \lt k+1\)이면 \(x\)의 정수 부분은 \(k\)이고 소수 부분은 \(x - k\)이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 거듭제곱의 합과 분수꼴 수열의 합은 다음과 같이 계산한다.\[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\]

<제시문 3> 자연수 \(n \ge 4\)에 대하여 무리수 \(\sqrt{n^2+6n}\)의 정수 부분을 \(p_n\), 소수 부분을 \(q_n\)이라 하자. 또한 \(x\)에 대한 이차부등식\[x^2 - 2n^2 x + p_n \le 0\]을 만족시키는 자연수 \(x\)의 개수를 \(a_n\)이라 하고, 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = \left(\sqrt{n^2+6n} + p_n\right)q_n\)으로 정의하자.

<제시문 1> 미분가능한 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 \(P(t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)이다. 또한 기울기가 각각 \(m_1, m_2\) (\(m_1 m_2 \ne 0\))인 두 직선이 서로 수직일 필요충분조건은 \(m_1 m_2 = -1\)이다.

<제시문 2> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속인 두 함수 \(y=g(x), y=h(x)\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(\displaystyle S = \int_a^b |g(x) - h(x)|\,dx\)이다.

<제시문 3> 좌표평면 위에 곡선 \(C : y = \dfrac{1}{4}x^2\)과 곡선 \(C\) 밖의 한 점 \(A(4, -1)\)이 있다. 곡선 \(C\) 위를 움직이는 점 \(Q\left(t, \frac{1}{4}t^2\right)\)에 대하여 선분 \(AQ\)의 길이의 제곱을 \(D(t) = \overline{AQ}^2\)이라 하자.

<제시문 1> 표본공간 \(S\)의 두 배반사건 \(A_1, A_2\) (\(A_1 \cup A_2 = S\))와 \(P(E) \gt 0\)인 사건 \(E\)에 대하여\[P(E) = P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2), \quad P(A_1|E) = \frac{P(A_1)P(E|A_1)}{P(E)}\]이 성립한다.

<제시문 2> 이산확률변수 \(X\)가 취하는 값이 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)이고 각각의 확률이 \(p_1, p_2, \dots, p_n\)일 때, 기댓값과 분산은 \(E(X) = \sum x_i p_i\), \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)이다.

<제시문 3> 주머니 \(A\)에는 흰 공 \(3\)개와 검은 공 \(2\)개가 들어 있고, 주머니 \(B\)에는 흰 공 \(2\)개와 검은 공 \(3\)개가 들어 있다. 한 개의 주사위를 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 주머니 \(A\)를 선택하고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 주머니 \(B\)를 선택하여 선택된 주머니에서 임의로 공 \(2\)개를 동시에 꺼낸다.

<제시문 1> 양수 \(M, N\)과 \(a \gt 0, a \ne 1\)에 대하여 로그의 성질 \(\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N\), \(\log_a M^k = k\log_a M\)이 성립한다. 또한 자연수 \(N = p^a q^b\) (\(p, q\)는 서로 다른 소수)의 양의 약수는 \(p^i q^j\) (\(0 \le i \le a, \; 0 \le j \le b\)) 꼴이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 등차수열의 합과 부분분수 분해 공식은 다음과 같다.\[\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\]

<제시문 3> 자연수 \(n \ge 2\)에 대하여 \(18^n\)의 모든 양의 약수의 집합을 \(U_n\)이라 하고, \(U_n\)의 원소 중 \(12\)의 배수인 모든 수의 집합을 \(D_n\)이라 하자. 집합 \(U_n\)의 원소의 개수를 \(a_n\), 집합 \(D_n\)의 원소의 개수를 \(b_n\)이라 하고, 집합 \(D_n\)의 각 원소 \(x = 2^i \cdot 3^j\)에 대하여 \(f(x) = \log_2\left(\dfrac{x}{3^j}\right) = i\)라 할 때 수열 \(S_n\)을 다음과 같이 정의하자.\[S_n = \sum_{x \in D_n} f(x)\]

<제시문 1> 좌표평면 위의 점 \((x_0, y_0)\)과 직선 \(ax + by + c = 0\) 사이의 거리는 \(d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)이다. 또한 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점과 직선 \(y = mx + k\) 사이의 거리가 최소가 되는 점에서의 접선의 기울기는 \(m\)과 같다.

<제시문 2> 미분가능한 함수 \(g(t)\)가 열린구간 \((a, b)\)의 점 \(t = c\)에서 극대이면서 동시에 유일한 극값을 가지면, \(g(t)\)는 \(t = c\)에서 최댓값을 가진다.

<제시문 3> 좌표평면 위에 포물선 \(C : y = x^2 - 2x\)와 직선 \(\ell : y = 2x - 5\)가 있다. 포물선 \(C\) 위의 점 \(P(t, t^2 - 2t)\)에서 직선 \(\ell\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자.

<제시문 1> 이산확률변수 \(X\)의 확률질량함수가 \(P(X = x_i) = p_i\) (\(i=1,2,\dots,n\))일 때, \(\sum_{i=1}^n p_i = 1\)이고 기댓값은 \(E(X) = \sum_{i=1}^n x_i p_i\), 분산은 \(V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2\)이다.

<제시문 2> 서로 독립인 두 확률변수 \(X, Y\)와 실수 \(a, b\)에 대하여 선형결합 \(Z = aX + bY\)의 기댓값과 분산은 다음과 같다.\[E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y), \quad V(aX + bY) = a^2 V(X) + b^2 V(Y)\]

<제시문 3> 서로 독립인 두 이산확률변수 \(X, Y\)가 취할 수 있는 값은 모두 \(-1, 0, 1\)이다. 확률변수 \(X\)는 \(P(X = -1) = p, \; P(X = 0) = \dfrac{1}{2}, \; P(X = 1) = q\)를 만족시키고 \(E(X) = \dfrac{1}{6}\)이다. 또한 확률변수 \(Y\)는 이항분포 \(\mathrm{B}\left(2, \dfrac{1}{2}\right)\)을 따르는 확률변수 \(W\)에 대하여 \(Y = W - 1\)로 정의된다.

<제시문 1> 삼각형 \(ABC\)에서 세 변의 길이를 \(a, b, c\)라 하고 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때, 사인법칙과 코사인법칙은 다음과 같다.\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

<제시문 2> 평행한 두 직선 \(ax + by + c_1 = 0\)과 \(ax + by + c_2 = 0\) 사이의 거리는 \(d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)이며, 한 변의 길이가 \(\ell\)인 정삼각형의 높이는 \(h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\ell\), 넓이는 \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\ell^2\)이다.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면 위에 평행한 두 직선 \(\ell_1 : y = x + 2n\)과 \(\ell_2 : y = x - n\)이 있다. 한 꼭짓점 \(A_n\)은 직선 \(\ell_1\) 위에 있고 다른 두 꼭짓점 \(B_n, C_n\)은 직선 \(\ell_2\) 위에 있는 정삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 넓이를 \(S_n\)이라 하자.

<제시문 1> 미분가능한 함수 \(y = f(x)\)의 그래프 위의 점 \((s, f(s))\)에서의 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지날 필요충분조건은 \(f(s) = s f'(s)\)이다.

<제시문 2> 닫힌구간 \([a, b]\)에서 두 연속함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(\displaystyle \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)이다.

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([2n-1, 2n+1]\)에서 정의된 이차함수 \(f_n(x)\)를\[f_n(x) = (x - 2n)^2 + 4n + 1\]이라 하자. 원점 \(O(0, 0)\)에서 곡선 \(y = f_n(x)\) (\(2n-1 \le x \le 2n+1\))에 그은 접선의 접점을 \(P_n(s_n, f_n(s_n))\), 그 접선을 \(\ell_n\)이라 하자.

<제시문 1> 표본공간 \(S\)의 두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)이고, \(P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)이다.

<제시문 2> 모비율이 \(p\)인 모집단에서 임의추출한 크기가 \(n\)인 표본의 표본비율을 \(\hat{p}\)이라 할 때, \(n\)이 충분히 크면 모비율 \(p\)에 대한 신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간은 (\(\hat{q} = 1 - \hat{p}\), \(P(|Z| \le 1.96) = 0.95\))\[\hat{p} - 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \le p \le \hat{p} + 1.96\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\]이다.

<제시문 3> 어느 공장에서 생산되는 반도체 칩을 검사하는 두 인공지능 장비 \(A, B\)가 있다. 임의로 선택한 칩 \(1\)개를 검사할 때 장비 \(A\)가 불량으로 판정할 사건을 \(A\), 장비 \(B\)가 불량으로 판정할 사건을 \(B\)라 하자. 두 사건 \(A, B\)는 다음 세 조건을 만족시킨다.
(가) \(P(A \cup B) = \dfrac{1}{2}\)
(나) \(P(B|A) = \dfrac{2}{5}, \quad P(A|B) = \dfrac{1}{2}\)
(다) \(P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = \dfrac{7}{20}\)

<제시문 1> 첫째항이 \(a\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항은 \(a_n = a + (n-1)d\)이며, 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_{n+1} - a_n = f(n)\)으로 귀납적 정의가 주어질 때 \(n \ge 2\)이면 \(a_n = a_1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} f(k)\)이다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대한 명제 \(P(n)\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하려면, (i) \(n=1\)일 때 \(P(1)\)이 성립함을 보이고, (ii) \(n=m\)일 때 \(P(m)\)이 성립한다고 가정하면 \(n=m+1\)일 때도 \(P(m+1)\)이 성립함을 보이면 된다.

<제시문 3> 수열 \(\{a_n\}\)이 첫째항 \(a_1 = 2\)이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음과 같은 귀납적 정의를 만족시킨다.\[a_{n+1} = a_n + 6n\]또한 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = (n+1)(a_n - 2)\)로 정의하자.

<제시문 1> 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때, 평균값 정리에 의하여 \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.

<제시문 2> 연속함수 \(h(t)\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(G(x) = \displaystyle \int_a^x h(t)\,dt\)의 도함수는 적분과 미분의 관계에 의하여 \(G'(x) = h(x)\)이다.

<제시문 3> 사차함수 \(f(x) = x^4 - 6x^2 + 4x + 9\)와 직선 \(\ell : y = 4x\)가 주어져 있다. 또한 실수 \(x\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(G(x)\)를 다음과 같이 정의하자.\[G(x) = \int_{-1}^{x} \frac{1}{4}\left\{f'(t) - 4\right\}\,dt\]

<제시문 1> 표본공간 \(S\)의 분할 \(A, A^c\)와 사건 \(B\) (\(P(B) \gt 0\))에 대하여 전체확률의 법칙과 조건부확률은\[P(B) = P(A)P(B|A) + P(A^c)P(B|A^c), \quad P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]로 주어진다.

<제시문 2> 이산확률변수 \(X\)가 취하는 값 \(x_i\)와 확률 \(p_i = P(X=x_i)\)에 대하여 기댓값과 분산은\[E(X) = \sum x_i p_i, \quad V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2, \quad E(aX+b) = aE(X)+b, \quad V(aX+b) = a^2 V(X)\]이다.

<제시문 3> 한 개의 주사위를 한 번 던져 \(3\)의 배수의 눈이 나오면 한 개의 동전을 \(3\)번 던지고, \(3\)의 배수가 아닌 눈이 나오면 한 개의 동전을 \(2\)번 던지는 시행을 한다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수를 확률변수 \(X\)라 하자.

<제시문 1> 일대일대응인 함수 \(y = f(x)\)와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\)의 그래프는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다. 또한 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = c\)는 직선 \(y = x\)와 수직으로 만난다.

<제시문 2> 자연수 \(n\)에 대하여 거듭제곱의 합과 분수꼴 수열의 부분분수 항등식은 다음과 같다.\[\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \frac{2}{n(n+2)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\]

<제시문 3> 자연수 \(n\)에 대하여 지수함수 \(f(x) = 2^{x-1}\)의 그래프와 로그함수 \(g(x) = \log_2 x + 1\)의 그래프가 직선 \(\ell_n : x + y = 2n + 2\)와 만나는 두 점을 각각 \(A_n, B_n\)이라 하고, 선분 \(A_n B_n\)의 중점을 \(M_n\)이라 하자. 원점 \(O\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)을 \(a_n = \overline{O M_n}^2\)으로 정의하자.

<제시문 1> 함수 \(y = h(x)\)의 그래프가 \(x = a\)에서 연속일 때, 좌미분계수 \(\lim_{x \to a-} \dfrac{h(x)-h(a)}{x-a}\)와 우미분계수 \(\lim_{x \to a+} \dfrac{h(x)-h(a)}{x-a}\)가 모두 존재하고 서로 같으면 \(h(x)\)는 \(x = a\)에서 미분가능하다.

<제시문 2> 연속함수 \(p(t)\)에 대하여 정적분으로 정의된 함수 \(G(x) = \displaystyle \int_0^x p(t)\,dt\)의 도함수는 \(G'(x) = p(x)\)이다.

<제시문 3> 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(G(x)\)와 양수 \(k\)에 대한 함수 \(W(x)\)를 다음과 같이 정의하자.\[G(x) = \int_0^x \left\{f(t) - f'(1)t\right\}\,dt, \quad W(x) = |f(x) - k|\]

<제시문 1> 매 시행에서 사건 \(E\)가 일어날 확률이 \(p\) (\(q = 1 - p\))인 독립시행을 \(n\)회 반복할 때, 사건 \(E\)가 일어나는 횟수 \(R\)가 \(r\)일 확률은 \(P(R = r) = {}_n\mathrm{C}_r p^r q^{n-r}\)이다.

<제시문 2> 모평균이 \(m\), 모표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포 \(\mathrm{N}(m, \sigma^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 \(\overline{X}\)는 정규분포 \(\mathrm{N}\left(m, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\)을 따르며 \(Z = \dfrac{\overline{X} - m}{\sigma/\sqrt{n}}\)는 표준정규분포 \(\mathrm{N}(0, 1)\)을 따른다.

<제시문 3> 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수를 \(k\)라 할 때, \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 - 2kx + 4 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖는 사건을 \(E\)라 하자. 또한 정규분포 \(\mathrm{N}(30, 6^2)\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(n = 9\)인 표본을 임의추출할 때의 표본평균을 \(\overline{X}\)라 하자. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)에 대하여 \(P(0 \le Z \le 1) = 0.3413, \; P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)이다.)