2027학년도 대비 서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회)

2027학년도 대비 서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 모의고사 10회(실전 5회 + 심화 5회) — 제9회 (해설집) 100분 / 100점 만점 · 논술70%+교과30% · 수능최저 없음

[대문항 1] 지수·로그함수의 역함수 대칭성과 수직 직선 위의 교점 좌표 추론 (20점)

대수 Ⅰ-2. 지수함수와 로그함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[출처: (DB: GEOM_Ch02_비상) PDF p.4 변형 | 성취기준: 12기하02-02, 12기하02-03]

<제시문 (가)> 지수함수 \(y = 2^{x - 247} + 247\)와 그 역함수인 로그함수의 그래프는 항등직선 \(y - x = 0\cdot 498\)에 대하여 서로 대칭이다.
<제시문 (나)> 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 498\)은 대칭축과 수직으로 만나므로, 서로 역함수 관계인 두 곡선과 만나는 두 교점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 + x_2 = 498)\)도 대칭축에 대하여 서로 대칭이다.

직선 \(y = -x + 498\)이 서로 역함수 관계인 지수곡선과 로그곡선과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}(x_1, y_1),\; \mathrm{Q}(x_2, y_2)\;(x_1 \lt x_2,\; x_1 + y_1 = 498)\)라 할 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 1-1] (6점) 제시문 (나)의 역함수 대칭성을 이용하여 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 498\)임을 설명하고, 선분 PQ의 중점 \(\mathrm{M}(249, 249)\)의 좌표를 구하시오.

[문항 1-2] (7점) 선분 PQ의 길이가 \(\overline{\mathrm{PQ}} = 2\sqrt{2}\;(\text{중점 } 249)\)일 때, \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)\)를 이용하여 두 교점 P, Q의 좌표를 각각 구하시오.

[문항 1-3] (7점) 원점 O에서 직선 \(x + y - 498 = 0\)까지의 거리 \(h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}\)를 구하고, 삼각형 OPQ의 넓이를 구하시오.

🎯 모범 정답 : [1-1] \(x_1 + x_2 = 498,\; \mathrm{M}(249, 249)\) | [1-2] \(\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)\) | [1-3] 넓이 \(S = 498\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 두 교점은 직선 \(x + y = 498\) 위에 있고 역함수 대칭이므로 \(x_1 + x_2 = y_1 + y_2 = 498\)이며 중점은 \(\mathrm{M}(249, 249)\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 기울기가 \(-1\)인 직선 위의 두 점 거리 공식에서 \(\sqrt{2}(x_2 - x_1) = 2\sqrt{2} \implies x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)\)이므로 연립하면 \(\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원점에서 직선 \(x + y - 498 = 0\)까지의 거리는 \(h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}\)이므로 삼각형 OPQ의 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{498}{\sqrt{2}} = 498\)이다.

평가 소문항	서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [1-1]	• 역함수 대칭 \(x_1 + x_2 = 498\) 유도 +3점 / 중점 \(\mathrm{M}(249, 249)\) 도출 +3점
소문항 [1-2]	• 거리 공식 \(x_2 - x_1 = 2\;(\text{합 } 498)\) 도출 +3점 / 좌표 \(\mathrm{P}(248, 250),\; \mathrm{Q}(250, 248)\) 산출 +4점
소문항 [1-3]	• 원점과 직선 사이 거리 \(h = \dfrac{498}{\sqrt{2}}\) 계산 +4점 / 삼각형 넓이 \(S = 498\) 산출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 기울기가 \(-1\)인 직선 \(x + y = 498\) 위에서 두 점의 좌표 차가 주어지면 대칭축 중점 \(\mathrm{M}(249, 249)\)을 기준으로 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다.

[대문항 2] 코사인법칙과 사인법칙을 이용한 외접원·내접원 반지름의 비 추론 (20점)

대수 Ⅱ. 삼각함수 (사인법칙과 코사인법칙) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 대수 Ⅱ. 삼각함수 · 기출 변형 | 성취기준: 12대수02-07, 12대수02-08]

<제시문 (가)> 삼각형 ABC에서 코사인법칙 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\;\left(b=726,\; c=1210\right)\)와 사인법칙 \(\dfrac{a}{\sin A} = 2R\;\left(a=1694\right)\)이 성립한다.
<제시문 (나)> 삼각형 ABC의 넓이 \(S\)와 둘레의 길이 \(a + b + c = 3630\), 내접원의 반지름 \(r\) 사이에는 \(S = \dfrac{3630}{2}r\)가 성립한다.

삼각형 ABC에서 두 변의 길이가 \(b = 726,\; c = 1210\)이고 끼인각이 \(A = \dfrac{2\pi}{3}\;\left(\cos A = -\dfrac{1}{2},\; b=726\right)\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 2-1] (6점) 제시문 (가)의 코사인법칙을 이용하여 대변 \(a = 1694\)의 길이를 유도하시오.

[문항 2-2] (7점) 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 \(R = \dfrac{1694\sqrt{3}}{3}\)과 삼각형의 넓이 \(S = \dfrac{878460\sqrt{3}}{4}\)를 각각 구하시오.

[문항 2-3] (7점) 제시문 (나)를 이용하여 내접원의 반지름 \(r = \dfrac{242\sqrt{3}}{2}\)를 구하고 반지름의 곱 \(R\cdot r\)을 구하시오.

🎯 모범 정답 : [2-1] \(a = 1694\) | [2-2] \(R = \dfrac{1694\sqrt{3}}{3},\; S = \dfrac{878460\sqrt{3}}{4}\) | [2-3] \(r = \dfrac{242\sqrt{3}}{2},\; R\cdot r = \dfrac{409948}{2}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 코사인법칙에서 \(a^2 = 726^2 + 1210^2 - 2(726)(1210)(-1/2) = 49\times 242^2\)이므로 \(a = 1694\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 사인법칙에서 \(2R = \dfrac{1694}{\sqrt{3}/2} \implies R = \dfrac{1694\sqrt{3}}{3}\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}\times 726\times 1210\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{878460\sqrt{3}}{4}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 둘레가 \(a + b + c = 3630\)이므로 \(\dfrac{3630}{2}r = \dfrac{878460\sqrt{3}}{4} \implies r = \dfrac{242\sqrt{3}}{2}\)이고 \(R\cdot r = \dfrac{409948}{2}\)이다.

평가 소문항	서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [2-1]	• 코사인법칙 대입 \(a^2 = 49\times 242^2\) +3점 / \(a = 1694\) 도출 +3점
소문항 [2-2]	• 외접원 반지름 \(R = \dfrac{1694\sqrt{3}}{3}\) 산출 +3점 / 넓이 \(S = \dfrac{878460\sqrt{3}}{4}\) 계산 +4점
소문항 [2-3]	• 내접원 반지름 \(r = \dfrac{242\sqrt{3}}{2}\) 유도 +4점 / 곱 \(R\cdot r = \dfrac{409948}{2}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 끼인각이 \(120^\circ\)이고 두 변의 비가 \(3 : 5\)인 둔각삼각형은 대변의 비가 항상 \(7\)이 되는 대표적인 정수비 삼각형(\(3\times 242 : 5\times 242 : 7\times 242\))입니다.

[대문항 3] 정적분으로 정의된 함수의 도함수 유도와 극대·극소 차 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅲ-1. 정적분으로 정의된 함수 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-02, 12미적Ⅰ-03-03]

<제시문 (가)> 일차함수 \(f(t) = 6t - 1446\)에 대하여 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1446)\,dt\)는 적분변수 분리를 통해 미분할 수 있다.
<제시문 (나)> 곱의 미분법과 정적분 기본 정리에 의하여 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1446)\,dt = 3x^2 - 1446x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1446\)이다.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(F(x) = \int_0^x (x - t)(6t - 1446)\,dt\)에 대하여 다음 논제에 답하시오.

[문항 3-1] (6점) 제시문 (가), (나)를 이용하여 도함수 \(F'(x) = 3x^2 - 1446x\)와 이계도함수 \(F''(x) = 6x - 1446\)를 유도하시오.

[문항 3-2] (7점) 함수가 극값을 갖는 좌표를 구하고, 극댓값과 극솟값의 차 \(F(0) - F(482) = 55990084\)를 구하시오.

[문항 3-3] (7점) 이계도함수가 영이 되는 \(x = 241\)에서의 함숫값 \(F(241) = -27995042\)과 접선의 기울기 \(F'(241) = -174243\)을 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [3-1] \(F'(x) = 3x(x - 482),\; F''(x) = 6x - 1446\) | [3-2] 극대 \(x=0\), 극소 \(x=482\), 차 \(55990084\) | [3-3] \(F(241) = -27995042,\; F'(241) = -174243\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 적분변수를 분리하여 미분하면 \(F'(x) = \int_0^x (6t - 1446)\,dt = 3x^2 - 1446x\)이고 \(F''(x) = 6x - 1446\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] \(F'(x) = 3x(x - 482) = 0\)에서 극댓값 \(F(0) = 0\), 극솟값 \(F(482) = -55990084\)이므로 극값의 차는 \(55990084\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 원시함수 \(F(x) = x^3 - 723x^2\)에 \(x = 241\)을 대입하면 \(F(241) = -27995042\)이고 \(F'(241) = -174243\)이다.

평가 소문항	서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [3-1]	• 변수 분리 후 곱의 미분법 적용 +3점 / \(F'(x) = 3x^2 - 1446x\) 도출 +3점
소문항 [3-2]	• 극점 \(x = 0, 482\) 판정 +3점 / 극값의 차 \(55990084\) 산출 +4점
소문항 [3-3]	• \(F(241) = -27995042\) 계산 +4점 / \(F'(241) = -174243\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 피적분함수 \((x - t)(6t - 1446)\) 안에 적분변수가 아닌 \(x\)가 들어 있으므로 미분하기 전에 반드시 \(x\)를 적분 기호 밖으로 묶어내야 합니다.

[대문항 4] 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치 차 함수와 거리 최댓값 추론 (20점)

미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 미적분Ⅰ Ⅱ-2. 도함수의 활용 · 기출 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-08, 12미적Ⅰ-02-09]

<제시문 (가)> 수직선 위를 움직이는 두 점의 시각 \(t\;(0 \le t \le 729)\)에서의 위치 차 함수를 \(h(t) = t(t - 729)^2\)라 하면, 두 점의 속도 차는 도함수 \(h'(t)\)이다.
<제시문 (나)> 닫힌구간 \([0, 729]\)에서 두 점 사이의 거리 \(D(t) = |t(t - 729)^2|\)는 두 점의 속도가 같아지는 시각 또는 구간의 양 끝점에서 최댓값을 갖는다.

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 \(t\;(t \ge 0)\)에서의 위치 차 함수가 \(h(t) = t^3 - 1458t^2 + 531441t = t(t - 729)^2\)일 때, 다음 논제에 답하시오.

[문항 4-1] (6점) 출발 후 두 점 P, Q가 처음으로 만나는 시각 \(t_1 = 729\)를 구하고, 그 순간 두 점의 속도 차 \(h'(729) = 0\)의 값을 구하시오.

[문항 4-2] (7점) 닫힌구간 \([0, 729]\)에서 도함수 \(h'(t) = 3(t - 243)(t - 729)\)의 부호를 조사하여 거리 최댓값 \(D(243) = 57395628\)를 구하시오.

[문항 4-3] (7점) 가속도의 차 \(h''(t) = 6t - 2916 = 0\)이 되는 시각 \(t_2 = 486\)와 그때 두 점 사이의 거리 \(D(486) = 28697814\)를 각각 구하시오.

🎯 모범 정답 : [4-1] \(t_1 = 729,\; h'(729) = 0\) | [4-2] \(t = 243\)에서 최댓값 \(57395628\) | [4-3] \(t_2 = 486,\; D(486) = 28697814\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 위치 차 \(h(t) = t(t - 729)^2 = 0\;(t \gt 0)\)에서 \(t_1 = 729\)이고, 도함수 \(h'(t) = 3(t - 243)(t - 729)\)에 대입하면 \(h'(729) = 0\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 구간 \([0, 729]\)에서 내부 극대점은 \(t = 243\)이므로 최댓값은 \(D(243) = 243(-486)^2 = 57395628\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 이계도함수 \(h''(t) = 6t - 2916 = 0\)에서 \(t_2 = 486\)이고, 그때의 거리는 \(D(486) = 486(-243)^2 = 28697814\)이다.

평가 소문항	서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [4-1]	• \(t_1 = 729\) 도출 +3점 / 속도 차 \(h'(729) = 0\) 확인 +3점
소문항 [4-2]	• \(h'(t) = 3(t - 243)(t - 729) = 0\) 극대 판정 +4점 / 최댓값 \(57395628\) 산출 +3점
소문항 [4-3]	• \(h''(t) = 6t - 2916 = 0 \implies t_2 = 486\) 도출 +3점 / 거리 \(28697814\) 계산 +4점

💡 감점 방어 클리닉: 삼차함수 비율 관계(\(1 : 2 : 3\))에 의해 원점 \(t=0\), 극대 \(t=243\), 변곡 \(t=486\), 접점 \(t=729\)이 등간격 \(243\)로 배열됩니다.

[대문항 5] 베이즈 정리 사후확률과 표본비율을 이용한 모비율 신뢰구간 추론 (20점)

확률과 통계 (조건부확률과 모비율의 추정) | 배점 20점 (6+7+7점)

[단원 연계: 2022 개정 교육과정 확률과 통계 · 기출 변형 | 성취기준: 12확통02-04, 12확통03-06]

<제시문 (가)> 표본공간의 분할 \(A_1, A_2\)에서 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{240},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{240}\)일 때 베이즈 정리로 사후확률을 계산한다.
<제시문 (나)> 크기 \(n = 921600\)인 표본에서 표본비율이 \(\hat{p} = \dfrac{9}{25} = 0.36\)일 때, 모비율 \(p\)의 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{921600}}\)이다.

두 검사 라인의 사전확률이 동일하고 조건부확률이 \(P(B|A_1) = \dfrac{1}{240},\; P(B|A_2) = \dfrac{3}{240}\)이며, 크기 \(n = 921600\)인 표본의 표본비율이 \(\hat{p} = 0.36\)일 때 다음 논제에 답하시오.

[문항 5-1] (6점) 제시문 (가)를 이용하여 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{240}\)과 조건부확률 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{모수 } 240)\)를 각각 구하시오.

[문항 5-2] (7점) 표본의 크기 \(n = 921600\)을 대입하여 표본비율의 표준오차 \(\dfrac{12/25}{960} = \dfrac{3}{6000}\)를 유도하시오.

[문항 5-3] (7점) 모비율에 대한 신뢰도 \(95\%\) 신뢰구간 \([a, b]\)의 길이 \(b - a = \dfrac{294}{150000}\)를 기약분수로 구하시오.

🎯 모범 정답 : [5-1] \(P(B) = \dfrac{2}{240},\; P(A_2 | B) = \dfrac{3}{4}\) | [5-2] 표준오차 \(\dfrac{3}{6000}\) | [5-3] \(L = \dfrac{294}{150000}\)

[Step 1. 제시문 원리 선언 (30%)] 전확률 공식에서 \(P(B) = \dfrac{1}{480} + \dfrac{3}{480} = \dfrac{2}{240}\)이고, 베이즈 정리에 의해 \(P(A_2 | B) = \dfrac{3/(2\times 240)}{2/240} = \dfrac{3}{4}\)이다.

[Step 2. 단계별 수식 전개 (40%)] 표준오차는 \(\sqrt{\dfrac{9\times 16}{25^2 \times 921600}} = \dfrac{12}{25 \times 960} = \dfrac{3}{6000}\)이다.

[Step 3. 최종 결론 도출 (30%)] 신뢰구간의 길이는 \(L = 2 \times \dfrac{49}{25} \times \dfrac{3}{6000} = \dfrac{294}{150000}\)이다.

평가 소문항	서울과학기술대학교 자연·공학 수리논술 공식 2열 부분점수 채점 기준
소문항 [5-1]	• 전확률 \(P(B) = \dfrac{2}{240}\) 계산 +3점 / 사후확률 \(P(A_2\|B) = \dfrac{3}{4}\;(\text{분모 } 240)\) 도출 +3점
소문항 [5-2]	• \(\sqrt{n} = 960\) 계산 +4점 / 표준오차 \(\dfrac{3}{6000}\) 유도 +3점
소문항 [5-3]	• 신뢰구간 길이 공식 적용 +4점 / \(\dfrac{294}{150000}\) 도출 +3점

💡 감점 방어 클리닉: 2022 개정 교육과정 확률과 통계(`12확통03-06`)에서 재도입된 모비율 신뢰구간 공식과 표준오차 \(\dfrac{3}{6000}\) 계산 과정을 명확히 서술해야 합니다.

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