$a_3 = a + 2d = 7$, $S_6 = 3(2a + 5d) = 48 \implies 2a + 5d = 16$이다.
두 식을 연립하면 $d = 2, \; a = 3$이므로 등차수열의 일반항은 $a_n = 3 + 2(n - 1) = 2n + 1$이다.
이를 대입하면 $b_n = 2^{(2n+1-1)/2} = 2^n$이다.

$b_k = 2^k$은 첫째항이 $2$, 공비가 $2$인 등비수열이므로 $\sum_{k=1}^{10} b_k = \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2046$이다.
또한 $\dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k+1} - \dfrac{1}{2k+3}\right)$이므로
$\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{23}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{20}{69} = \dfrac{10}{69}$이다.

(i) $n = 1$일 때: 좌변은 $(2\cdot 1 + 1)2^1 = 6$이고, 우변은 $(2\cdot 1 - 1)2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$이므로 성립한다.
(ii) $n = m$일 때 등식 $\sum_{k=1}^m (2k + 1)2^k = (2m - 1)2^{m+1} + 2$가 성립한다고 가정하자.
양변에 $k = m + 1$번째 항인 $(2m + 3)2^{m+1}$을 더하면
$\sum_{k=1}^{m+1} (2k + 1)2^k = (2m - 1)2^{m+1} + (2m + 3)2^{m+1} + 2 = (4m + 2)2^{m+1} + 2 = (2m + 1)2^{m+2} + 2 = \left\{2(m+1) - 1\right\}2^{(m+1)+1} + 2$이다.
따라서 $n = m + 1$일 때도 등식이 성립하므로, 수학적 귀납법에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 성립한다.

함수방정식에 $x = 0, y = 0$을 대입하면 $f(0) = 2f(0) - 2 \implies f(0) = 2$이다.
도함수의 정의에 의하여
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) + 3xh(x+h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h} + 3x^2 = f'(0) + 3x^2 = 3x^2 - 9$이다.
이를 부정적분하고 $f(0) = 2$를 대입하면 $f(x) = x^3 - 9x + 2$이다.

$f'(x) = 3(x^2 - 3) = 0$에서 두 극점의 $x$좌표는 $x = -\sqrt{3}, \sqrt{3}$이다.
$f(-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} + 2$, $f(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3} + 2$이므로
두 극점 $A(-\sqrt{3}, 6\sqrt{3}+2)$, $B(\sqrt{3}, -6\sqrt{3}+2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\dfrac{-12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -6$이고 방정식은 $y = -6x + 2$이다.
선분 $AB$의 중점은 $M(0, 2)$이며, $f(0) = 2$이므로 중점 $M$은 곡선 $y = f(x)$ 위에 있다.

부등식 $x^3 - 9x + 2 \ge kx - 14 \iff x^3 - (k + 9)x + 16 \ge 0$이 구간 $[0, 3]$에서 항상 성립해야 한다.
$x = 0$일 때 $16 \ge 0$은 항상 성립하고, $0 < x \le 3$일 때 $k + 9 \le x^2 + \dfrac{16}{x}$이다.
함수 $g(x) = x^2 + \dfrac{16}{x}$ ($0 < x \le 3$)에 대하여 $g'(x) = 2x - \dfrac{16}{x^2} = \dfrac{2(x^3 - 8)}{x^2} = 0$에서
$x = 2$일 때 극소이자 최소이며 $g(2) = 4 + 8 = 12$이다.
따라서 $k + 9 \le 12 \implies k \le 3$이므로 실수 $k$의 최댓값은 $3$이다.

$F'(x) = f(x)$이고 $F(x)$가 $x = -1$에서 극대, $x = 3$에서 극소이므로 최고차항 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$는
$f(x) = 3(x + 1)(x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$이다.
$F(0) = \int_0^0 f(t)\,dt = 0$이므로 $F(x) = \int_0^x (3t^2 - 6t - 9)\,dt = x^3 - 3x^2 - 9x$이다.
이때 극댓값은 $F(-1) = -1 - 3 + 9 = 5$로 조건을 만족하며, 극솟값은 $F(3) = 27 - 27 - 27 = -27$이다.

$I(a) = \int_a^{a+2} (3x^2 - 6x - 9)\,dx = F(a+2) - F(a)$이다.
양변을 $a$에 대하여 미분하면 $I'(a) = f(a+2) - f(a) = 3\left\{(a+2)^2 - a^2\right\} - 6\left\{(a+2) - a\right\} = 3(4a + 4) - 12 = 12a$이다.
$I'(a) = 0$에서 $a = 0$이고, $a = 0$의 좌우에서 $I'(a)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $a = 0$에서 최솟값을 갖는다.
최솟값은 $I(0) = F(2) - F(0) = (8 - 12 - 18) - 0 = -22$이다.

곡선 $y = f(x) = 3(x + 1)(x - 3)$은 구간 $[-1, 3]$에서 $f(x) \le 0$이므로 $x$축과 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는
$S = \int_{-1}^3 |f(x)|\,dx = -\int_{-1}^3 f(x)\,dx = -\left\{F(3) - F(-1)\right\} = F(-1) - F(3)$이다.
따라서 $S = 5 - (-27) = 32$이다.