2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 모의고사 5회 문제집

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (5회)

자연계열 수리논술 5회 (등차·등비수열 혼합 귀납 추론 / 미분계수와 롤·평균값 정리 / 정적분 극값과 부등식 증명)

시험시간 100분 배점 100점

문제 1 등차수열과 등비수열의 부분합 성질 및 수학적 귀납법 [총 30점]

[출처: 교과서 본문 대수 Ⅲ-1. 등차수열과 등비수열 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.4 유제 5 변형 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-07]

[제시문]
(가) 첫째항이 $a$, 공차가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \dfrac{n\left\{2a + (n-1)d\right\}}{2}$이며, $n \ge 2$일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$이다.

(나) 등차수열 $\{a_n\}$이 $a_3 = 7$, $S_6 = 48$을 만족시키고, 수열 $\{b_n\}$은 모든 자연수 $n$에 대하여 $b_n = 2^{(a_n - 1)/2}$으로 정의된다.

(다) 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\sum_{k=1}^n a_k b_k = (2n - 1)2^{n+1} + 2$가 성립한다.

[1-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항 $a_n$과 수열 $\{b_n\}$의 일반항 $b_n$을 각각 구하시오. [9점]

[1-2] 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$10$항까지의 합 $\sum_{k=1}^{10} b_k$와 $\sum_{k=1}^{10} \dfrac{1}{a_k a_{k+1}}$의 값을 각각 구하시오. [10점]

[1-3] 제시문 (다)의 등식 $\sum_{k=1}^n (2k + 1)2^k = (2n - 1)2^{n+1} + 2$가 모든 자연수 $n$에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오. [11점]

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (5회)

자연계열 수리논술 5회 (등차·등비수열 혼합 귀납 추론 / 미분계수와 롤·평균값 정리 / 정적분 극값과 부등식 증명)

시험시간 100분 배점 100점

문제 2 도함수의 정의와 부등식의 활용 [총 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅱ-1. 미분계수와 도함수 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.2 유제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-08]

[제시문]
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수는 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$로 정의된다.

(나) 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x, y$에 대하여 함수방정식
$$f(x + y) = f(x) + f(y) + 3xy(x + y) - 2$$를 만족시키고, $f'(0) = -9$이다.

(다) 실수 $k$에 대하여 닫힌구간 $[0, 3]$에서 부등식 $f(x) \ge kx - 14$가 항상 성립한다.

[2-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 $f(0)$의 값을 구하고, 도함수의 정의를 써서 $f'(x)$와 $f(x)$의 식을 각각 구하시오. [12점]

[2-2] 함수 $f(x)$의 그래프 위의 두 극점 $A, B$를 지나는 직선의 방정식을 구하고, 선분 $AB$의 중점이 곡선 $y = f(x)$ 위에 있음을 보이시오. [11점]

[2-3] 제시문 (다)에서 닫힌구간 $[0, 3]$의 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $f(x) \ge kx - 14$가 성립하도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 구하시오. [12점]

2027학년도 서울과학기술대학교 모의논술고사 (5회)

자연계열 수리논술 5회 (등차·등비수열 혼합 귀납 추론 / 미분계수와 롤·평균값 정리 / 정적분 극값과 부등식 증명)

시험시간 100분 배점 100점

문제 3 정적분과 미분의 관계 및 정적분으로 정의된 함수의 극값 [총 35점]

[출처: 미래엔 미적분Ⅰ Ⅲ-1. 부정적분과 정적분 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.2 유제 5 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-04]

[제시문]
(가) 연속함수 $f(t)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$는 미분가능하고 $F'(x) = f(x)$가 성립한다.

(나) 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$가 $x = -1$에서 극댓값 $5$를 갖고, $x = 3$에서 극솟값을 갖는다.

(다) 실수 $a$에 대하여 정적분 $I(a) = \int_a^{a+2} f(x)\,dx$라 하자.

[3-1] 제시문 (가)와 (나)를 이용하여 이차함수 $f(x)$와 삼차함수 $F(x)$의 식을 구하고, $F(x)$의 극솟값을 구하시오. (단, $F(0) = 0$ 조건을 확인하시오.) [11점]

[3-2] 제시문 (다)의 함수 $I(a)$가 최솟값을 갖는 실수 $a$의 값과 그때의 최솟값을 각각 구하시오. [12점]

[3-3] 곡선 $y = f(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, $S$의 값이 $F(-1) - F(3)$과 같음을 설명하고 그 값을 구하시오. [12점]